江蘇省南通市海安市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試 數(shù)學(xué) 含解析

2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則（）A.－4 B.－2 C. D.22.若直線與平行，則（）A. B. C. D.23.已知數(shù)列滿足，且，則（）A. B.0 C.1 D.24.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為10，公差為，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為（）A. B.30 C.80 D.不存在5.已知雙曲線的離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則的頂點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B. C. D.36.如圖，是某心形二次曲線，則的方程可能為（）A. B.C. D.7.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，的面積是20，則（）A.5 B. C. D.108.已知是圓一條弦，，是的中點(diǎn).當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上總存在兩點(diǎn)，使得為鈍角，則的取值范圍是（）A. B.C D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角的取值范圍是B.斜率之積為的兩直線相互垂直C.在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線斜率為D.直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線10.下列四個(gè)命題中，正確的是（）A.要唯一確定圓，只需給出圓上三點(diǎn)B.要唯一確定拋物線，只需給出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線C.要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心橢圓，只需給出橢圓上兩點(diǎn)D.要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線和一個(gè)焦點(diǎn)11.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列為常數(shù)列（各項(xiàng)均為同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列）的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，試寫出一個(gè)半徑為1，且與軸和圓都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：_______________.13.定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)加上它的前一項(xiàng)所得的和都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，，，則公和為_(kāi)______________.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則__________；若為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于點(diǎn)，.（1）若直線的斜率為1，求；（2）求證：.16.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，，若，，成等差數(shù)列，求并證明為等差數(shù)列.17.已知為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線（與軸不重合）與相交于點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，，求的方程.18.已知等軸雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別，，且焦距為，分別是在第二象限和第一象限上的一點(diǎn)，且.（1）求的方程；（2）若直線的斜率為，求直線的斜率；（3）若四邊形的面積為，求直線的方程.19.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為.（1）證明：是關(guān)于的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；（2）等差數(shù)列公差為，且.①求的通項(xiàng)公式；②記數(shù)列前項(xiàng)和為，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則（）A.－4 B.－2 C. D.2【答案】D【解析】【分析】由兩點(diǎn)間斜率公式得到方程，求出答案.【詳解】，故，解得.故選：D2.若直線與平行，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線平行列式求解，并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】由題意可得：，解得，若，則直線、，兩直線平行，綜上所述：.故選：A.3.已知數(shù)列滿足，且，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推公式直接代入運(yùn)算求解.【詳解】因，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；故選：C.4.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為10，公差為，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為（）A. B.30 C.80 D.不存在【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分析的符號(hào)性，進(jìn)而可得前項(xiàng)和的最值.【詳解】由題意可知：，且數(shù)列an為遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以數(shù)列an的前項(xiàng)和的最大項(xiàng)數(shù)為5或6，最大值為.故選：B.5.已知雙曲線的離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則的頂點(diǎn)到漸近線的距離為（）A B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線準(zhǔn)線可得，根據(jù)離心率可得頂點(diǎn)和漸近線，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：拋物線的準(zhǔn)線為，則為雙曲線的焦點(diǎn)，即，又因?yàn)殡x心率為，可得，且，解得，取漸近線為，即，取頂點(diǎn)為，所以的頂點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：A.6.如圖，是某心形二次曲線，則的方程可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，根據(jù)對(duì)稱性排除CD，令，解方程排除B.【詳解】顯然圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即把x換成方程不變，可知CD錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，可得，解得或，不合題意；故選：A.7.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，的面積是20，則（）A.5 B. C. D.10【答案】D【解析】【分析】求出，由三角形的面積得到面積為10，設(shè)，則，將代入中得，求出，得到.【詳解】由題意得，故，故，因?yàn)榈拿娣e為20，所以面積為10，設(shè)，則，解得，將代入中得，故，則.故選：D8.已知是圓的一條弦，，是的中點(diǎn).當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上總存在兩點(diǎn)，使得為鈍角，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分析可知點(diǎn)的軌跡是以O(shè)0,0為圓心，半徑的圓C，且以為直徑的圓與圓C相交，以外切為臨界求解即可.【詳解】由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，因?yàn)?，則，可知點(diǎn)的軌跡是以O(shè)0,0為圓心，半徑的圓C，設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)闉殁g角，可知以為直徑的圓與圓C相交，且O0,0到直線的距離，可知，以外切為臨界，可得，可得，若使得存在兩點(diǎn)，滿足題意，則，所以AB的取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角的取值范圍是B.斜率之積為的兩直線相互垂直C.在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線斜率為D.直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)傾斜角定義分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)直線垂直分析判斷；對(duì)于C：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于D：根據(jù)直線的一般方程分析判斷.【詳解】對(duì)于A：直線的傾斜角的取值范圍是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：斜率之積為的兩直線相互垂直，故B正確；對(duì)于C：例如直線，此時(shí)在兩坐標(biāo)軸上截距均0，相等，但斜率不為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線，故D正確；故選：BD.10.下列四個(gè)命題中，正確的是（）A.要唯一確定圓，只需給出圓上三點(diǎn)B.要唯一確定拋物線，只需給出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線C.要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的橢圓，只需給出橢圓上兩點(diǎn)D.要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線和一個(gè)焦點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)三角形外接圓分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)拋物線的定義分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)橢圓形狀分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)雙曲線的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對(duì)于A：根據(jù)三角形的外接圓的唯一性可知：A正確；對(duì)于B：根據(jù)拋物線的定義可知：給出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線即可確定拋物線，故B正確；對(duì)于C：給出兩點(diǎn)不能確定橢圓，例如給定長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，此時(shí)橢圓有無(wú)數(shù)個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)橹行臑樽鴺?biāo)原點(diǎn)，若給出一條漸近線和一個(gè)焦點(diǎn)，可以求出a,b,c，且可以確定焦點(diǎn)位置，即可得雙曲線方程，可以確定雙曲線，故D正確；故選：ABD.11.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列為常數(shù)列（各項(xiàng)均為同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列）的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.，【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用得到，為常數(shù)列，A正確；B選項(xiàng)，推出，，不妨設(shè)，舉出反例；CD選項(xiàng)，均可得到，為充分條件.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故an的通項(xiàng)公式為，為常數(shù)列，故A正確；B選項(xiàng)，，，不妨設(shè)，則此時(shí)an不為常數(shù)列，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，，兩者相減得，故，即，故an為常數(shù)列，故C正確；D選項(xiàng)，時(shí)，，即，又，故在上恒成立，an為常數(shù)列，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，試寫出一個(gè)半徑為1，且與軸和圓都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：_______________.【答案】（答案不唯一，符合題意即可）【解析】【分析】所求圓的圓心為，則，結(jié)合兩圓位置關(guān)系列式求解即可.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑，設(shè)所求圓的圓心為，則，且或，若，，解得，可得圓心為，所求圓的方程為；若，，無(wú)解，不合題意；若，，解得或，可得圓心為或，所求圓的方程為或；若，，解得，可得圓心為，所求圓的方程為；故答案為：（答案不唯一，符合題意即可）.13.定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)加上它的前一項(xiàng)所得的和都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，，，則公和為_(kāi)______________.【答案】7【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，結(jié)合周期性分析求解.【詳解】由題意可知：（公和），則，可得，可知數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，可得，，所以公和.故答案為：7.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則__________；若為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】①.##0.5②.5【解析】【分析】根據(jù)題意可得圓的方程為，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解即可得；由結(jié)合幾何性質(zhì)可得，再結(jié)合拋物線的定義分析求解.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線為，設(shè)，圓，即為，則；因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，綜上所述：，當(dāng)且僅當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為0,3時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為5.故答案為：；5.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于點(diǎn)，.（1）若直線的斜率為1，求；（2）求證：.【答案】（1）（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）直線的方程為，聯(lián)立，求出兩根之和，兩根之積，利用弦長(zhǎng)公式得到；（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不合要求，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，得到兩根之和，兩根之積，計(jì)算出，得到，得到垂直關(guān)系.【小問(wèn)1詳解】直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)Ax1,則；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，舍去，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，設(shè)Ax1,則，故，故.16.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，，若，，成等差數(shù)列，求并證明為等差數(shù)列.【答案】（1）（2）,證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出和，從而得到的通項(xiàng)公式.（2）求出后代入表達(dá)式，再根據(jù)，，成等差數(shù)列求出，最后通過(guò)計(jì)算是否為常數(shù)來(lái)證明為等差數(shù)列.【小問(wèn)1詳解】已知，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得.又因?yàn)?，根?jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，可得，即.聯(lián)立方程組，可得，即.將代入，可得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由，，可得.所以.因?yàn)椋?，成等差?shù)列，則....故：.解得.當(dāng)時(shí)，.，為常數(shù).故bn為等差數(shù)列.17.已知為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線（與軸不重合）與相交于點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而可得方程；（2）設(shè)直線，，根據(jù)向量可得，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：的圓心為，半徑為4，且，則，可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，則，所以的方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，可知直線與橢圓必相交，設(shè)直線，，則，聯(lián)立方程，消去x可得，則，又因?yàn)?，若，則，即，可得，解得，所以的方程為，即.18.已知等軸雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別，，且焦距為，分別是在第二象限和第一象限上的一點(diǎn)，且.（1）求的方程；（2）若直線斜率為，求直線的斜率；（3）若四邊形的面積為，求直線的方程.【答案】（1）（2）3（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等軸雙曲線的定義列式求，即可得方程；（2）設(shè)直線，Ax1,y1,B（3）根據(jù)雙曲線方程利用兩點(diǎn)間距離公式和傾斜角推得，，結(jié)合面積關(guān)系可得，即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：，解得，所以雙曲線的方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，設(shè)直線，Ax1聯(lián)立方程，消去可得，則，可得，因?yàn)椋?/p>