數(shù)學達標訓練第一講二極坐標系

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精更上一層樓基礎·鞏固1點P的直角坐標為(-2，2)，那么它的極坐標可表示為（)A.(2,）B.(2，）C。(2，）D。（2，）思路解析：因為點P()在第二象限，與原點的距離為2,且OP的傾斜角為。故選B.答案：B2圖1-圖1思路分析：如圖所示,以AB所在直線為極軸,點A為極點建立極坐標系。找AB、AC、AD、AE的距離為各點的極徑,分別以x軸為始邊,AB、AC、AD、AE為終邊找在0到2π之間的極角.解：教學樓點A（0,0），體育館點B(60，0）,圖書館點C（120，），實驗樓點D(,）,辦公樓點E(50,)。3已知過曲線(θ為參數(shù)，且0≤θ≤π）上一點P與原點O的直線PO的傾斜角為，則P點坐標是（)A.(3，4)B。(,）C。（—3，—4)D。（,)思路解析：因為點P與原點O的直線PO的傾斜角為，即點P的極角θ=，直接代入已知曲線方程，即可求出點P的直角坐標來.答案：B4極坐標系中，點A的極坐標是(3，),則(1)點A關(guān)于極軸對稱的點是_______________;(2）點A關(guān)于極點對稱的點的極坐標是_______________;(3)點A關(guān)于直線θ=的對稱點的極坐標是_______________。（規(guī)定ρ〉0，θ∈［0,2π］)思路解析：如圖所示,在對稱的過程中極徑的長度始終沒有變化，主要在于極角的變化。另外，我們要注意:極角是以x軸正向為始邊,按照逆時針方向得到的.答案：(1)(3，）（2)(3，）（3)（3,）5直線l過點A(3,)、B(3,），則直線l與極軸夾角等于_______________。思路解析:如圖所示,先在圖形中找到直線l與極軸夾角，另外要注意到夾角是個銳角.然后根據(jù)點A、B的位置分析夾角的大小.∵|AO｜=|BO｜=3，∠AOB=-=,∴∠OAB=分π-。∴∠ACO=π--=.答案：6極坐標方程ρ=所對應的直角坐標方程為__________.思路解析:因為ρ=可化為ρ=，即ρ=,去分母,得ρ=2+ρcosθ。將公式代入得x2+y2=(2+x）2。整理可得.答案:y2=4（x+1）7在極軸上求與點A（，）距離為5的點M的坐標_________。思路分析：題目要求是點在極軸上,可設點M(r，0),由于極坐標中有一個量是關(guān)于角的,A、M兩點之間的距離為5,所以可以根據(jù)余弦定理求出點M的坐標來。解：設M(r，0），∵A（,），∴=5，即r2—8r+7=0。解得r=1或r=7。∴M點的坐標為（1,0)或(7,0)。在極坐標系下，任意兩點P1(ρ1,θ1），P2(ρ2,θ2)之間的距離可總結(jié)如下：｜P1P2|=,此式可直接利用余弦定理證得.8已知△ABC的三個頂點的極坐標分別為A（5,),B（5，），C(,），判斷△ABC的形狀，并求出它的面積。（提示：對于點M（ρ,θ），當極徑小于零時,此時M點在極角θ終邊的反向延長線上，且OM=|ρ|）思路分析:判斷△ABC的形狀，就需要計算三角形的邊長或角，在本題中計算邊長較為容易，不妨先計算邊長。解:∵∠AOB=,∠BOC=,∠AOC=,又∵｜OA｜=|OB｜=5，｜OC|=,∴由余弦定理，得|AC｜2=|OA｜2+|OC｜2-2|OA|·|OC|·cos∠AOC=52+（)2—2×5×·cos=133?！鄚AC|=.同理，|BC｜=.∴｜AC|=|BC|。∴△ABC為等腰三角形。又｜AB｜=|OA|=|OB|=5，∴AB邊上的高h=?！郤△ABC=×。綜合·應用9二次方程x2-ax+b=0的兩根為sinθ、cosθ,求點P（a，b)的軌跡方程（其中|θ|≤).思路分析：這是一道三角函數(shù)知識與極坐標知識的綜合運用題,尤其對三角要求比較高，還要注意三角函數(shù)的有界性,求出軌跡方程的限制條件。解：由已知，得。①②①2-2②,得a2=2（b+)。∵|θ|≤，由sinθ+cosθ=sin(θ+），知0≤a≤。由sinθ·cosθ=sin2θ,知|b｜≤?！郟（a,b)的軌跡方程是a2=2(b+)（0≤a≤）.10艦A在艦B的正東6km處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4km處，它們圍捕海洋動物。某時刻A發(fā)現(xiàn)動物信號，4秒后B、C同時發(fā)現(xiàn)這種信號。A發(fā)射麻醉炮彈。設艦與動物均為靜止的,動物信號的傳播速度是1km/s，炮彈運行的初速度是km/s，其中g(shù)為重力加速度.若不計空氣阻力與艦高，問若以艦A所在地為極點建立極坐標系，求艦A發(fā)射炮彈的極坐標.思路分析：先建立直角坐標系,分析出點P在雙曲線上,又在線段的垂直平分線上,求出交點P的坐標,然后求出P、A兩點之間的距離和PA與x軸正向所成的角,即可確定點P的極坐標.解：對艦B而言,A、C兩艦位置如圖所示.為方便起見,取B所在直線為x軸,AB的中點O為原點建立平面直角坐標系,則A、B、C三艦的坐標分別為(3，0）、（-3，0)、（-5，）。由于B、C同時發(fā)現(xiàn)動物信號,記動物所處位置為P,則｜PB|=｜PC|.于是P在BC的中垂線l上，此直線的傾斜角為30°，則其斜率為tan30°=，設此直線為y=x+b,將B，C的中點（—4，)代入上式，得b=,則求得其方程為x—3y+=0.又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)動物信號的時間差為4秒,知｜PB|-｜PA|=4。∴a=2。又A、B的坐標分別為(3,0）、(-3,0），可知c=3。∴.于是知P應在雙曲線=1的右支上.由得直線l與雙曲線的交點P(8,53)即為動物的位置,至此問題便可獲解.據(jù)已知兩點的斜率公式,得直線PA的傾斜角為60°.于是艦A發(fā)射炮彈的方位角應是北偏東30°。利用兩點間的距離公式，可得|PA｜==10。所以,以艦A所在地為極點，艦A發(fā)射炮彈的極坐標為（10,).11我們已經(jīng)熟悉了極點在直角坐標系的原點、極軸與x軸正向相同的極坐標系下直角坐標與極坐標的互化，那么當極點不在坐標原點，以與x軸平行的直線的正向為極軸時，又怎么求出點的極坐標來呢?（1）極坐標系的極點在直角坐標系的O′(-3+），極軸的方向與x軸正向相同，兩個坐標系的長度單位相同，則點P（-3,）的極坐標是____________。（2)極點在點O′（3,5）處，極軸與y軸正方向一致，兩個坐標系的長度單位相同，求點M(9，-1)的極坐標。思路分析：不管哪種建系原則,我們只要從定義出發(fā)，就能夠解決問題。需要的量是極徑、極點與點P的距離、極角，從極軸開始逆時針旋轉(zhuǎn)到OP所得到的角.解：(1）如圖(1）,在Rt△PAO′中，O′A=-3+-（-3)=,AP=-=.則tanα==1，α=，θ=∠x′O′P=π+=，ρ=|O′P|=。在極坐標系O′x′中,P點的極坐標是(,）。（2)利用定義求出點的極坐標。如圖(2），過O′點作O′A∥Ox軸，過M點作MA∥Oy軸，與O′A交于A點，連結(jié)O′M，則ρ=|O′M|=，在Rt△MAO′中,｜O′A｜=9—3=6,cos∠AO′M=,∴∠AO′M=。∴θ=—=。（注:極角是極軸按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)的）∴M().12如圖1—2-9所示是某防空部隊進行射擊訓練時的示意圖，以O為極點，OA所在直線為極軸，已知A點坐標為(1,0）（千米），直升飛機位于D點向目標C發(fā)射防空導彈，D點坐標為(,），該導彈運行與地面最大高度為3千米，相應水平距離為4千米(即圖中E點)，在地面O、A兩個觀測點測得空中固定目標C的仰角分別為α和β，tanα=,tanβ=，不考慮空氣阻力，導彈飛行軌道為一拋物線,那么按軌道運行的導彈能否擊中目標C?說明理由。圖1思路分析：能否擊中C點，關(guān)鍵是看一下C點是否在導彈飛行的軌跡上,需要算出它的軌跡方程來。先把極坐標化為直角坐標,然后建立直角坐標系：以地面為x軸，以點D向地面作的垂線為y軸,并且求出C點坐標，再驗證該點是否滿足軌跡方程.解：A點化為(1,0),D點化為(0,)，由已知E點為