數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：向量的數(shù)量積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精更上一層樓基礎(chǔ)·鞏固1。已知a=（3，2）,b=(2,—3），則向量a與b的夾角為（)A。B。C.D.思路解析：由a·b=3×2+2×（—3)=0,∴a⊥b。∴兩向量夾角為。也可通過(guò)畫(huà)簡(jiǎn)圖幫助分析。答案:D2。若向量a與b的夾角為120°,|b|=4，（a+2b）·(a—3b）=—72,則向量a的模為(）A。2B。4C.6思路解析：將（a+2b)·(a—3b)=-72展開(kāi)，即a2+2a·b—3a·b—6b∴｜a｜2-a·b-6|b|2+72=0，即|a｜2—｜a||b｜c(diǎn)os120°—24=0.∴｜a|2+2|a|-24=0，解得|a|=4或｜a|=-6(舍去）。故|a|=4。答案:B3。已知平面向量a=（4,2），b=(x,-4)，且a⊥b,則x等于()A。2B.1C。-1思路解析:4x+2×（-4)=0得x=2.答案:A4。已知a=（1，1),b=（1，0）且ka+b恰好與b垂直，則實(shí)數(shù)k的值是()A。1B?！?C。1或-1思路解析:ka+b=k(1,1）+(1,0）=(1+k，k),∵ka+b與b垂直，∴(ka+b）·b=0,即（1+k,k)·（1，0)=0?！啵?+k)×1+k×0=0得k=-1.答案：B5.已知a、b是非零向量且滿足（a-2b)⊥a,（b-2a)⊥b，則a與bA。B。C。D。思路解析:設(shè)a與b的夾角是α，∵（a—2b）⊥a,∴（a—2b）·a=0，即｜a|2-2a·b=0.又∵(b—2a)⊥b,∴(b-2a)·即|b｜2-2a·b=0.由①②知｜a|=|b|,a·b=|a|2=｜b｜2，∴cosα==.∴a與b的夾角為。答案：B6。已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足｜|=6，|｜=8,||=10，則···的值等于___________________________。思路解析：∵|｜2+|｜2=|｜2,∴∠B=90°cos∠ABC=0，cos∠BAC=,cos∠BCA=?！嘣?6×8×0+8×10×(-）+6×10×(—)=-100.答案：—1007.設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且它們相互不共線，下列命題：①（a·b)·c-(c·a）·b=0;②|a|—|b|＜|a—b|;③(b·c）a—（c·a）b不與c垂直;④(3a+2b）·(3a-2b）=9|a|2—4｜b｜2.其中正確的有思路解析:①錯(cuò)誤，因向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。③錯(cuò)誤，因［（b·c）·a-(c·a）·b］·c=(b·c)·(a·c）-(c·a）·（b·c)=0，則(b·c）·a-（c·a)·b與c垂直。②④都是正確的。答案:②④8.已知|a|=5,b=(-4，3)，且a⊥b,則a的坐標(biāo)為_(kāi)________________________。思路解析:設(shè)a的坐標(biāo)為(x，y),由已知?jiǎng)t有解得或答案:（3,4）或（—3,-4)9.已知|a｜=8，|b｜=10，當(dāng)（1)a∥b，(2）a⊥b,（3)a與b的夾角為60°時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積。思路分析：利用向量數(shù)量積的定義求解,求解時(shí)應(yīng)注意兩向量平行時(shí)需分兩類(lèi).解:(1）a∥b，若a與b同向,則θ=0°，∴a·b=|a|｜b|cos0°=8×10=80.若a與b反向,則θ=180°,∴a·b=|a｜｜b｜c(diǎn)os180°=8×10×（-1）=—80。（2)當(dāng)a⊥b時(shí),θ=90°,a·b=｜a|｜b|cos90°=0.(3）當(dāng)a與b的夾角為60°時(shí)，a·b=|a｜|b｜c(diǎn)os60°=8×10×=40.10。已知向量a=(3，4）,b=(4,3），試確定能使（xa+yb）⊥a且|xa+yb｜=1成立的x、y的值.思路分析：本題利用向量的模、垂直的坐標(biāo)表示等基礎(chǔ)知識(shí).解題時(shí)由已知條件建方程組解之即可.解：由于a=（3,4）,b=(4，3)，所以xa+yb=x（3,4)+y（4,3)=（3x+4y，4x+3y)。因?yàn)?xa+yb）⊥a且｜xa+yb｜=1，所以有解得或綜合·應(yīng)用11。若O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足（）·（）=0,則△ABC的形狀為（）A。正三角形B.直角三角形C。等腰三角形D。A、B、C均不是思路解析：由（)·(）=0，得·（）=0,又∵，∴(）·(）=0,即｜|2—||2=0?！啵鼃=｜｜?！唷鰽BC為等腰三角形.答案：C12.已知點(diǎn)A(1，0)、B(5，—2)、C（8，4）、D（4，6），則四邊形是（)A。正方形B。菱形C。梯形D.矩形思路解析:如右圖，=(4，-2），=(4,-2），∴.∴四邊形ABCD為平行四邊形.又·=（4,-2）·（3,6）=4×3+（—2)×6=0，∴⊥.又||≠|(zhì)｜,∴四邊形為矩形.答案：D13。已知a=(λ，3),b=（-3，5）且a與b的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是（）A。λ＞5B。λ≥5C。λ＜5思路解析:設(shè)兩向量的夾角為θ,由已知可得—1＜cosθ=＜0，經(jīng)驗(yàn)證A項(xiàng)正確。答案：A14。點(diǎn)A（3,0）、B（—2,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足·=x2，則點(diǎn)P的軌跡方程是_________________.思路解析:∵=（3-x，-y）,=(-2-x,-y).∴(3-x）（—2—x）+(-y)(-y）=x2?！鄖2=x+6。答案:y2=x+615.已知a、b為非零向量,當(dāng)t=________________時(shí),a+tb（t∈R）的模取最小值.思路解析：由|a+tb|2=t2|b|2+2ta·b+|a|2是關(guān)于t的二次式,∴當(dāng)t=-時(shí),即t=—。答案:—16。i、j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸、y軸正方向上的兩個(gè)單位向量，且=4i+2j,=3i+4j,證明△ABC是直角三角形，并求它的面積。思路分析：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及垂直的坐標(biāo)條件。證明:=（4，2),=（3，4），則=(3—4,4-2)=（-1，2),=（-4，-2)，∴·=（-1)×（—4)+（—2)×2=0?！唷?即△ABC是直角三角形。｜|=，|｜=,且∠B=90°，∴S△ABC=×=5。17.(2006四川高考)如圖2-4—8，已知正六邊形P1P2P3P4P圖2A。·B.·C.·D.·思路分析:設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，則·=1××cos30°=,·=1×2×cos60°=1，·=1××cos90°=0，·=1×1×cos120°=—。答案:A18.(2006重慶高考）與向量a=（，),b=(，）的夾角相等,且模為1的向量是（)A.（,-）B。(,-）或（-，）C.（，—)D。(，—)或(—，）思路解析：設(shè)出向量的坐標(biāo),利用已知條件建立方程組求解或反代排除法求解.方法一:設(shè)所求向量的坐標(biāo)為（x,y）,由已知可得解得或方法二：(反代排除法）驗(yàn)證（，—)滿足已知條件，驗(yàn)證（—,）也滿足已知條件，故選擇B.答案：B19。(2006江西高考）已知向量a=(1，2),b=(—2,-4)，｜c(diǎn)｜=，若（a+b)·c=,則a與c的夾角為()A.30°B。60°C.120°D。150°思路解析:本題利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和向量數(shù)量積的性質(zhì)。解題時(shí)要注意隱含條件a與a+b反向?！遖+b=(1，2)+(-2,-4)=（-1，—2)=—a,則a與a+b反向。又a+b=（-1,—2)，則｜a+b|=。則由（a+b)·c=，可得a+b與c的夾角為60°，∴a與c的夾角為120°.答案:C20。(2006重慶高考)已知三點(diǎn)A(2，3)、B（-1,—1)、C（6,k）,其中k為常數(shù).若｜｜=|｜,則與的夾角為（）A.arccos（—)B.或arccosC.arccosD?；颚?arccos思路解析：先由已知條件求出k的值，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出兩向量的夾角.由|｜=|｜可得，解得k=0或k=6。設(shè)與的夾角為θ.當(dāng)k=0時(shí),=(—3,-4）,=(4,-3）,則cosθ==0。當(dāng)k=6時(shí),=（—3,-4)，=（4,3)，則cosθ==—。所以θ的值為或π-arccos。答案：D21。(2006浙江高考)設(shè)向量a、b、c滿足a+b+c=0,且（a-b）⊥c，a⊥b,若｜a｜=1，則｜a|2+|b|2+｜c(diǎn)｜2的值是________________________.思路解析:由向量加、減法的平行四邊形法則,以a、b對(duì)應(yīng)有向線段為鄰邊可以構(gòu)成一個(gè)正方形,則其對(duì)角線長(zhǎng)為，且其中一條對(duì)應(yīng)向量c。答案：422。(2006天津高考)設(shè)向量a與b的夾角為θ，且a=(3,3）,2b-a=(—1,1）,則cosθ=_______________。思路解析:首先求出向量b,再利用夾角公式求解.答案:23.（2006北京高考)已知向量a=(cosα,sinα）,b=(cosβ，sinβ)，且a≠±b,那么a+b與a—b的夾角大小是______________________.思路解析：方法一：設(shè)a+b與a—b的夾角為θ?！遖=(cosα,sinα),b=(cosβ，sinβ)，∴a+b=（cos