數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精更上一層樓基礎(chǔ)·鞏固1.函數(shù)y=1—sinx，x∈［0，2π］的大致圖象是(）圖1思路解析：利用函數(shù)圖象的平移變換和對(duì)稱變換解題。函數(shù)y=1—sinx，x∈［0，2π］的圖象可以看作是將y=sinx,x∈[0,2π］的圖象首先作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，然后再向上平移1個(gè)單位得到的.答案：B2.把函數(shù)y=tan（2x+）的圖象隔開的直線是（）A.+（k∈Z)B.—(k∈Z)C。+(k∈Z)D.-(k∈Z）思路解析：由2x+=kπ+（k∈Z)，解得x=+(k∈Z)。答案：A3.方程sinx=lgx的實(shí)根的個(gè)數(shù)是（）A.1B。2C。3D.無數(shù)個(gè)思路解析：在同一坐標(biāo)系中作函數(shù)y=sinx與y=lgx的圖象,如下圖，顯然兩圖象有三個(gè)交點(diǎn)（xi,yi)，其中xi∈(1，10)（i=1，2，3)是方程sinx=lgx的解。答案:C4.函數(shù)y=sin（2x+）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（）A.(，1）B。（，0)C.（,0）D。(-，-)思路解析:由于對(duì)稱中心是使函數(shù)值為零的點(diǎn)，可排除A、D，當(dāng)x=時(shí),y=sin(2×+)=sinπ=0，故選B.答案:B5。下列命題中正確的是（)A。函數(shù)y=sinx僅在第一象限內(nèi)是增函數(shù)B.函數(shù)y=tanx在（-,）∪（,)上單調(diào)遞增C。函數(shù)y=-tanx在(0，)上是增函數(shù)D.函數(shù)y=tan(cosx）在(0，π)上單調(diào)遞增思路解析：由正弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)可排除A、B兩項(xiàng)，根據(jù)余弦函數(shù)和正切函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性排除D，故選C.答案：C6.函數(shù)y=3cos（x+)—1的最小正周期是___________________。思路解析:T==2π×=5π.答案：5π7。若函數(shù)y=cosx的圖象上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)縮小為原來的倍，再將圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，則變換后的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是______________________.思路解析:函數(shù)y=cosx的圖象上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)縮小為原來的得到函數(shù)y=cos3x的圖象，再將圖象沿x軸向左平移個(gè)單位得到y(tǒng)=cos3(x+）=—cos3x。答案：y=—cos3x8.已知f（x)=asinx+btanx+cx+1滿足f(5)=7,則f（—5)=______________________.思路解析：f(—5）=asin（—5）+btan（—5）+c·(—5)+1=-(asin5+btan5+c·5+1)+2=-f(5）+2=—5.答案：—59.如圖1-圖1(1）求這段時(shí)間的最大溫差；（2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式。思路分析:解決此問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象確定A、ω、φ的值。解：(1）由題圖可知，這段時(shí)間的最大溫差是30-10=20（℃)。（2）題圖中從6時(shí)至14時(shí)的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的半個(gè)周期的圖象，·=14-6,解得ω=。由題圖知，A=（30-10)=10,b=(30+10）=20。這時(shí)y=10sin(x+φ）+20.將x=6,y=10代入上式,可得φ=。綜上，所求的解析式為y=10sin(x+）+20，x∈［6,14].10。設(shè)函數(shù)f（x）=asin（kx+)，g(x)=btan(kx-)（k＞0），它們的最小正周期分別為T1、T2，且T1+T2=，已知f(）=g（)，f()=-3g()+1。(1)求f(x),g（x）的解析式；（2）f(x)的圖象可由函數(shù)y=sinx(x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移伸縮變換得到?思路分析：考查三角函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)圖象的變換，可根據(jù)題目的條件確定a、b、k的值。解：（1）由已知可得+=，則k=2，且有整理得解得所以f(x）=sin(2x+），g（x)=tan(2x-).（2)方法一：將函數(shù)y=sinx(x∈R）的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin（x+)的圖象，再將函數(shù)y=sin（x+)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?縱坐標(biāo)不變）即可得函數(shù)f（x）=sin(2x+）的圖象。方法二：將函數(shù)y=sinx（x∈R）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y=sin2x的圖象，再將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位即可得函數(shù)f（x）=sin(2x+)的圖象.綜合·應(yīng)用11.已知函數(shù)f(x)=sin(πx—）—1，則下列命題正確的是（）A.f（x）是周期為1的奇函數(shù)B。f（x）是周期為2的偶函數(shù)C.f(x)是周期為1的非奇非偶函數(shù)D.f（x）是周期為2的非奇非偶函數(shù)思路解析：利用函數(shù)周期性和奇偶性的判斷,先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再判斷.由誘導(dǎo)公式，函數(shù)f（x）=sin(πx—)—1可化為f(x)=-cosπx—1，則函數(shù)的周期為2,且由偶函數(shù)的定義可知函數(shù)是偶函數(shù).答案：B12.設(shè)y=f(t)是某港口水的深度y(米）關(guān)于時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù),其中0≤t≤24，下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系：t03691215182124y1215。112。19.111.914.911。98。912.1經(jīng)長(zhǎng)期觀察，函數(shù)y=f（t)的圖象可以近似地看成函數(shù)y=k+Asin（ωt+φ)(A＞0）的圖象。下面的函數(shù)中,最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是（）A。y=12+3sint，t∈［0,24］B。y=12+3sin(t+π),t∈［0,24］C。y=12+3sint,t∈［0,24］D.y=12+3sin（t+)，t∈［0，24］思路解析：由表可知函數(shù)的最小值為9,最大值為15，周期為12.則有又當(dāng)t=3時(shí)，y=15，則又有15=12+3sin（3×+φ）φ+=2kπ+（k∈Z）,即φ=2kπ(k∈Z).所以函數(shù)的解析式為y=12+3sint,t∈［0,24］。答案：A13。函數(shù)y=tan（3x—)的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A。（,0)B。(，0)C.（—,0）D。（-,0)思路解析：令3x—=(k∈Z），可解得x=+,k∈Z.k=—2時(shí)，可得對(duì)稱中心為(-，0），故選D。答案：D14.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x）的最小正周期為π,且當(dāng)x∈[0,］時(shí),f（x）=sinx,則f（）的值為(）A.—B。C.-D.思路解析：f（)=f（2π-)=f（—）=f()=sin=.答案：D15.已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ)+n（ω＞0）的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，且直線x=—為其圖象的一條對(duì)稱軸,若｜φ|＜，那么此函數(shù)的解析式為______________________。思路解析:由已知可得|A|=n=2，又函數(shù)的最小正周期為，則ω==4,則函數(shù)的解析式可寫為y=±2sin(4x+φ)+2。又直線x=—為其圖象的一條對(duì)稱軸,則有4×（-）+φ=kπ+（k∈Z）.由于｜φ｜＜，則φ=—，所以函數(shù)的解析式為y=±2sin(4x—)+2.答案：y=±2sin(4x—）+216.已知函數(shù)f（x）=sinx+2|sinx｜,x∈［0,2π]和直線y=k,若函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_______________________________；若函數(shù)的圖象與直線有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_________________________________。思路解析：f(x)=sinx+2｜sinx｜=作出其圖象(如下圖)。由圖象可知，若函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是1＜k＜3；若函數(shù)的圖象與直線有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是0＜k＜1.答案:1＜k＜30＜k＜117.設(shè)函數(shù)f(x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f（x)在[a,b]上的面積，已知函數(shù)y=sinnx在［0,]上的面積為（n∈N*）。（1）y=sin3x在［0,］上的面積是_________________；（2）y=sin（3x—π)+1在［，］上的面積是________________。思路解析：由于函數(shù)y=sin3x的周期為，作出函數(shù)在［0，］上的圖象,如右圖所示，由已知，y=sin3x在［0,］上的面積為.(2)由于y=sin（3x-π）+1=1-sin3x,而［,]的區(qū)間長(zhǎng)度也等于其一個(gè)半周期，如下圖，由正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，圖中1、2、3三個(gè)區(qū)域的面積相等，則函數(shù)y=sin(3x—π）+1與x軸及直線x=，x=所圍成的圖形可割補(bǔ)一個(gè)長(zhǎng)方形與圖形3,則它的面積等于長(zhǎng)方形的面積與圖形3的面積的和，故為π+.答案：π+18。已知函數(shù)y=Atan(ωx+φ)（A＞0,ω＞0，｜φ｜＜）的圖象與x軸相交的兩相鄰點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0)和(,0)，且過點(diǎn)（0,-3)。（1)求它的解析式；（2)指出它的單調(diào)區(qū)間。思路分析：利用正切函數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.解：（1）由已知可知，函數(shù)的最小正周期為，則由T=,可得ω=，又點(diǎn)（,0）在函數(shù)的圖象上，則有×+φ=kπ（k∈Z）。即φ=kπ—（k∈Z）,又｜φ|＜,則φ=—.又函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0，-3)，則有—3=Atan（-）,則A=3。所以函數(shù)的解析式為y=3tan（x-).（2）由kπ—＜x—＜kπ+(k∈Z),得—＜x＜+(k∈Z），即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(—，+)（k∈Z）.回顧·展望19.(2006福建高考)已知函數(shù)f(x)=2sinωx（ω＞0）在區(qū)間[-，］上的最小值是-2,則ω的最小值等于(）A.B.C.2D.3思路解析：將ω=、、2、3代入解析式驗(yàn)證,應(yīng)選B。答案：B20.（2006江蘇高考）已知a∈R，函數(shù)f（x）=sinx—|a｜，x∈R為奇函數(shù)，則a等于(）A.0B.1C。—1思路解析：由于函數(shù)f（x）=sinx—｜a｜,x∈R為奇函數(shù)，則有f（0)=0，即｜a｜=0，所以a=0。答案:A21。（2006江蘇高考)為了得到函數(shù)y=2sin(+），x∈R的圖象，只需把函數(shù)y=2sinx,x∈R的圖象上所有的點(diǎn)()A。向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）B。向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變）C。向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變）D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)思路解析:由于是由y=2sinx,x∈R,變換成y=2sin(+）,x∈R,則需要先把y=2sinx，x∈R的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變).答案:C22。（2006北京高考)函數(shù)y=1+cosx的圖象（)A。關(guān)于x軸對(duì)稱B。關(guān)于y軸對(duì)稱C。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于直線x=對(duì)稱思路解析：設(shè)f(x)=1+cosx，由于函數(shù)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又f(-x)=1+cos（—x）=1+cosx=f（x),所以，此函數(shù)是偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。答案：B23。(2006安徽高考)設(shè)a＞0，對(duì)于函數(shù)f（x）=（0＜x＜π),下列結(jié)論正確的是（)A。有最大值而無最小值B.有最小值而無最大值C.有最大值且有最小值D。既無最大值又無最小值思路解析：令t=sinx，t∈(0，1］，則函數(shù)f（x）=(0＜x＜π)的值域?yàn)楹瘮?shù)y=1+，t∈（0，1]的值域。又a＞0，所以y=1+，t∈(0，1］是一個(gè)減函數(shù)，故選B。答案：B24。（2006湖南高考）若f（x)=asin(x+）+bsin（x—)（ab≠0）是偶