熱點6-2等比數(shù)列的通項及前n項和7大題型（原卷版）

熱點62等比數(shù)列的通項及前n項和7大題型主要考查等比數(shù)列的基本量計算和基本性質、等比數(shù)列的中項性質、判定與證明，這是高考熱點；等比數(shù)列的求和及綜合應用是高考考查的重點。這部分內容難度以中、低檔題為主，結合等差數(shù)列一般設置一道選擇題和一道解答題。一、等比數(shù)列的判定方法1、定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；2、中項法：（）為等比數(shù)列；3、通項公式法：（，為常數(shù)）為等比數(shù)列.二、等比數(shù)列前n項和運算的技巧1、在等比數(shù)列的通項公式和前項和公式中，共涉及五個量：，，，，，其中首項和公比為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答；2、對于基本量的計算，列方程組求解時基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換，如，都可以看作一個整體。三、等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特征1、與的關系（1）當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，它可以變形為，設，則上式可以寫成的形式，由此可見，數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點；（2）當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，則數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點。2、與的關系當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，它可以變形為設，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數(shù)?！绢}型1等比數(shù)列的基本量計算】【例1】（2023·陜西銅川·?？家荒＃┰O正項等比數(shù)列的前n項和為，若，，則通項（）A．B．C．D．【變式11】（2023秋·山東泰安·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，成等差數(shù)列，，則（）A．B．C．48D．96所以，故選:C【變式12】（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考開學考試）已知等比數(shù)列的前4項和為30，且，則（）A．B．C．D．【變式13】（2023春·云南·高三校聯(lián)考開學考試）等比數(shù)列的n前項和為，若，則（）A．3B．6C．12D．14【變式14】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，前n項和為，若，則n的值為（）A．4B．5C．6D．7【題型2等比中項及性質應用】【例2】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，若成等比數(shù)列，則公差d=（）A．或2B．2C．1或D．1【變式21】（2022秋·福建廈門·高三廈門外國語學校?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，若，是方程的根，則的值為（）A．B．C．D．或【變式22】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，，，則的值為（）A．30B．10C．9D．6【變式23】（2023·江西·校聯(lián)考一模）已知等比數(shù)列滿足：，，則的值為___________.【變式24】（2023春·全國·高三校聯(lián)考開學考試）已知是等比數(shù)列的前n項和，若，且，則（）A．96B．C．72D．【變式25】（2023秋·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）在正項等比數(shù)列中，若是關于的方程的兩實根，則（）A．8B．9C．16D．18【變式26】（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)且公比大于1，前n項積為，且，則使得的n的最小值為（）A．5B．6C．7D．8【題型3等比數(shù)列的判定與證明】【例3】（2023秋·河南開封·高三統(tǒng)考期末）在數(shù)列中,,,則（）A．是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列D．是等比數(shù)列【變式31】（2022秋·北京·高三北京市八一中學?？茧A段練習）記為數(shù)列的前項和，給出以下條件，其中一定可以推出為等比數(shù)列的條件是（）A．B．C．D．是等比數(shù)列【變式32】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且，則（）A．B．C．D．【變式33】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為.（1）若是等比數(shù)列，求；（2）若，證明：均為等比數(shù)列.【變式34】（2023春·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）已知數(shù)列滿足，，.（1）證明：是等比數(shù)列（2）求數(shù)列的前2n項和.【題型4等比數(shù)列的函數(shù)特征】【例4】（2022秋·上海黃浦·高三上海市大同中學校考階段練習）設無窮等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A．為遞減數(shù)列B．為遞增數(shù)列C．數(shù)列有最大項D．數(shù)列有最小項【變式41】（2023·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．的最大值為【變式42】（2022·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，則下列結論正確的是（）A．B．是數(shù)列中的最大值C．D．數(shù)列無最大值【變式43】（2022·全國·高三專題練習）（多選）設等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，前n項積為，且滿足條件，，，則下列選項正確的是（）A．為遞減數(shù)列B．C．是數(shù)列中的最大項D．【題型5等比數(shù)列的前n項和性質】【例5】（2023秋·山東菏澤·高三統(tǒng)考期末）等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A．60B．70C．80D．150【變式51】（2022·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列中，，，，則（）A．2B．3C．4D．5【變式52】（2023·高三課時練習）已知是正項等比數(shù)列的前n項和，，則的最小值為______．【變式53】（2023·全國·高三專題練習）設正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為______.【變式54】（2023·全國·高三專題練習）設正項等比數(shù)列的前項和為，且，則公比__________.【題型6等比數(shù)列的簡單應用】【例6】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統(tǒng)考一模）古希臘大哲學家芝諾提出一個有名的悖論，其大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)馁惻苤?，他的速度是烏龜速度?0倍，烏龜在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上烏龜，原因是在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發(fā)點，當阿喀琉斯追了100米時，烏龜已在他前面爬行了10米，而當他追到烏龜爬行的10米時，烏龜又向前爬行了1米，就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，只要烏龜不停地向前爬行，阿喀琉斯就永遠追不上烏龜．“試問在阿喀琉斯與烏龜?shù)母傎愔?，當阿喀斯與烏龜相距0.01米時，烏龜共爬行了（）A．11.1米B．10.1米C．11.11米D．11米【變式61】（2022秋·福建寧德·高三?？计谀肚f子·天下》中講到：“三尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這其實是一個以為公比的等比數(shù)列問題．有一個類似的問題如下：有一根一米長的木頭，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，則到第2022天截完以后，這段木頭還剩下原來的（）A．B．C．D．【變式62】（2023·全國·高三專題練習）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．“十二平均律”是將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比均為常數(shù)，且最后一個單音的頻率為第一個單音頻率的2倍．如圖，在鋼琴的部分鍵盤中，，，…，這十三個鍵構成的一個純八度音程，若其中的（根音），（三音），（五音）三個單音構成了一個原位大三和弦，則該和弦中五音與根音的頻率的比值為（）A．B．C．D．【變式63】（2022秋·山東煙臺·高三統(tǒng)考期中）為響應國家加快芯片生產制造進程的號召，某芯片生產公司于2020年初購買了一套芯片制造設備，該設備第1年的維修費用為20萬元，從第2年到第6年每年維修費用增加4萬元，從第7年開始每年維修費用較上一年上漲25%．設為第n年的維修費用，為前n年的平均維修費用，若萬元，則該設備繼續(xù)使用，否則從第n年起需對設備進行更新，該設備需更新的年份為（）A．2026B．2027C．2028D．2029【變式64】（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學?？茧A段練習）（多選）2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學中也有一朵美麗的雪花——“科赫雪花”.它的繪制規(guī)則是：任意畫一個正三角形，并把每一條邊三等分，以三等分后的每邊的中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線.重復上述兩步，畫出更小的三角形，一直重復，直到無窮，形成雪花曲線，，…，，….設雪花曲線的邊長為，邊數(shù)為，周長為，面積為.若，則下列說法不正確的是（）.A．B．C．D．【題型7等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合】【例7】（2023秋·天津南開·高三南開中學?？茧A段練習）設是公比大于0的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，已知，，，．（1）求數(shù)列，數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．【變式71】（2022春·上海閔行·高三閔行中學?？奸_學考試）已知數(shù)列，，的前n項和為.（1）若為等差數(shù)列，，求公差的值及通項的表達式；（2）若為等比數(shù)列，公比，且對任意，均滿足，求實數(shù)的取值范圍.【變式72】（2022秋·天津南開·高三統(tǒng)考階段練習）已知數(shù)列是公差不等于0的等差數(shù)列，其前n項和為，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，其前n項和為．（?。┤舫傻炔顢?shù)列，求m的值；（ⅱ）求．【變式73】（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，且________．在①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并解答．（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分）（1）求的通項公式；（2）設，求的前n項和．【變式74】（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前n項和為，公差，是，的等比中項，．（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，，求．（建議用時：60分鐘）1．（2022·廣西·校聯(lián)考模擬預測）等比數(shù)列{}的前n項和為，若，則=（）A．488B．508

C．511

D．5672．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）記為等比數(shù)列的前n項和．若，，則（）A．32B．31C．63D．643．（2023秋·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）在正項等比數(shù)列{}中，若，是關于的方程的兩實根，則（）A．8B．9C．16D．184．（2022秋·寧夏·高三寧夏育才中學?？茧A段練習）若成等差數(shù)列；成等比數(shù)列，則等于（）A．B．C．D．5．（2023·全國·高三專題練習）1883年，德國數(shù)學家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.下圖是其構造過程的圖示，其詳細構造過程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間平均分成三段，去掉中間的一段，剩下兩個閉區(qū)間和；第二步，將剩下的兩個閉區(qū)間分別平均分為三段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：，，，；如此不斷的構造下去，最后剩下的各個區(qū)間段就構成了三分康托集.若經歷步構造后，所有去掉的區(qū)間長度和為（）（注：或或或的區(qū)間長度均為）A．B．C．D．6．（2022秋·山東日照·高三統(tǒng)考期中）正項數(shù)列中，（k為常數(shù)），若，則的取值范圍是（）A．B．[3，9]C．D．[3，15]7．（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）設公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（）A．B．C．是數(shù)列中的最大值D．數(shù)列無最大值8．（2022秋·江西南昌