2024-2025學年新教材高中數(shù)學第11章解三角形11.2正弦定理課時素養(yǎng)評價含解析蘇教版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)評價十六正弦定理(20分鐘35分)1.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若A=105°,B=45°,b=2QUOTE,則c= ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.2【解析】選D.由三角形內(nèi)角和定理得:C=180°-(A+B)=180°-(105°+45°)=30°.由正弦定理得c=QUOTE=QUOTE=2.2.在△ABC中,AB=2,AC=3,B=60°,則cosC= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得sinC=QUOTE.因為AB<AC,所以C<B,所以cosC=QUOTE=QUOTE.3.已知在△ABC中,b=4QUOTE,c=2,C=30°,那么解此三角形可得 ()A.一解 B.兩解C.無解 D.解的個數(shù)不確定【解析】選C.由正弦定理得sinB=QUOTE·sinC=QUOTE×QUOTE=QUOTE>1,故三角形無解.4.在△ABC中,AB=QUOTE,AC=1,B=30°,則△ABC的面積等于________.

【解析】由正弦定理得sinC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因為0°<C<180°,所以C=60°或120°,所以A=90°或30°,所以S△ABC=QUOTEAB·AC·sinA=QUOTE或QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE5.(2024·北京高一檢測)△ABC是等邊三角形,點D在邊AC的延長線上,且AD=3CD,BD=2QUOTE,則CD=________;sin∠ABD=________.

【解析】如圖所示,在等邊△ABC中,AD=3CD,所以AC=2CD.又BD=2QUOTE,所以BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD,即(2QUOTE)2=(2CD)2+CD2-2·2CD·CD·cos120°,解得CD=2(負值舍去),所以AD=6,由QUOTE=QUOTE得QUOTE=QUOTE,解得sin∠ABD=QUOTE.答案:2QUOTE6.(2024·合肥高一檢測)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿意QUOTE=-QUOTE.(1)求角A的大小;(2)若a=4QUOTE,b=4,求△ABC的面積.【解析】(1)由正弦定理的邊化角公式可得QUOTE=-QUOTE,因為B∈(0,π),所以sinB≠0,即2cosA=-1,cosA=-QUOTE,因為A∈(0,π),所以A=QUOTE.(2)由正弦定理QUOTE=QUOTE得sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因為B∈QUOTE,所以B=QUOTE,即C=π-QUOTE=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE×4QUOTE×4×QUOTE=4QUOTE.【補償訓練】(2024·南京高一檢測)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量m=(sinA,a),n=(1,sinB).(1)當m·n=2sinA時,求b的值;(2)當m∥n且cosC=QUOTEa時,求tanA·tanB的值.【解析】(1)由題意得m·n=sinA+asinB=2sinA,即QUOTE=QUOTE.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,由以上兩式可知b=1.(2)由平行條件得a=sinA·sinB,cosC=-cosQUOTE=sinAsinB-cosAcosB=QUOTEa,則可得到cosAcosB=QUOTEa,所以tanAtanB=QUOTE=2.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.(2024·遼源高一檢測)在△ABC中a=2QUOTE,b=2QUOTE,B=45°,則A等于 ()A.30°或150° B.60°C.60°或120° D.30°【解析】選C.依據(jù)正弦定理QUOTE=QUOTE,可得QUOTE=QUOTE,解得sinA=QUOTE.故可得A為60°或120°;又a>b,則A>B,明顯兩個結果都滿意題意.2.在△ABC中,若3b=2QUOTEasinB,cosA=cosC,則△ABC的形態(tài)為 ()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【解析】選C.由正弦定理知b=2R·sinB,a=2R·sinA,則3b=2QUOTEa·sinB可化為:3sinB=2QUOTEsinA·sinB.因為0°<B<180°,所以sinB≠0,所以sinA=QUOTE,所以A=60°或120°,又cosA=cosC,所以A=C,所以A=60°,所以△ABC為等邊三角形.3.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,則此三角形的解的狀況是 ()A.有一解 B.有兩解C.無解 D.有解但解的個數(shù)不確定【解析】選C.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,得sinB=QUOTE=QUOTE=QUOTE>1,因此該三角形無解.【補償訓練】有分別滿意下列條件的兩個三角形:①B=30°,a=14,b=7;②B=60°,a=10,b=9,那么下列推斷正確的是 ()A.①②都只有一解 B.①②都有兩解C.①兩解,②一解 D.①一解,②兩解【解析】選D.①因為B=30°,a=14,b=7,所以由正弦定理QUOTE=QUOTE得sinA=QUOTE=1,所以A=90°,可得三角形只有一解;②因為B=60°,a=10,b=9,所以由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE=QUOTE.因為B=60°,a>b,A∈(0°,180°),所以角A有兩個值滿意sinA=QUOTE,一個是銳角,另一個是鈍角,并且這兩個值互補,因此三角形有兩解.4.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量m=(QUOTE,-1),n=(cosA,sinA),若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,則角A,B的大小為 ()A.QUOTE,QUOTE B.QUOTE,QUOTEC.QUOTE,QUOTE D.QUOTE,QUOTE【解析】選C.因為m⊥n,所以QUOTEcosA-sinA=0,所以tanA=QUOTE,則A=QUOTE.由正弦定理得:sinAcosB+sinBcosA=sin2C所以sin(A+B)=sin2C,所以sinC=sin2因為0<C<π,sinC≠0,所以sinC=1,所以C=QUOTE,所以B=QUOTE.【誤區(qū)警示】留意兩個向量垂直時的條件,不要與兩向量平行混淆.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.已知a,b,c分別是△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,下列說法正確的有 ()A.在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB.在△ABC中,若A>B,則sinA>sinBC.在△ABC中,若QUOTE=QUOTE,且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,則A=120°D.在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2【解析】選ABD.對于A,由正弦定理QUOTE=QUOTE=QUOTE,可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC,所以A正確;對于B,當A>B時,a>b,由正弦定理得sinA>sinB,所以B正確;對于C,由(b+c+a)(b+c-a)=3bc得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以A=60°,故C錯誤;對于D,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA結合正弦定理得,sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA,所以D6.(2024·石家莊高一檢測)在三角形ABC中,下列說法正確的有 ()A.若A=30°,b=4,a=5,則三角形ABC有兩解B.若0<tanA·tanB<1,則△ABC肯定是鈍角三角形C.若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,則△ABC肯定是等邊三角形D.若a-b=c·cosB-c·cosA,則△ABC的形態(tài)是等腰或直角三角形【解析】選BCD.因為A=30°,b=4,a=5,所以由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE,因為b<a,所以B只有一個解,故A錯誤.由0<tanA·tanB<1,得0<QUOTE<1,所以cosAcosB-sinAsinB>0,即cos(A+B)>0,所以A+B<QUOTE,所以C=π-A-B>QUOTE,故△ABC肯定是鈍角三角形,故B正確.因為cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C=60°,故C正確.因為a-b=c·cosB-c·cosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以sinA-sinCcosB=sinB-sinCcosA,因為sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinBcosC=sinAcosC,所以cosC=0或sinA=sinB,所以C=QUOTE或A=B,所以△ABC的形態(tài)是等腰或直角三角形.【光速解題】A選項,因為b<a,所以A=30°>B,有唯一解,故錯誤;B選項,tanA·tanB=1時有A+B=QUOTE,0<tanA·tanB<1時有A+B<QUOTE,故正確;C選項,因為三角形的內(nèi)角A肯定滿意-1<cosA<1,故三式相乘等于1說明各項均為1,故正確;D選項代入驗證成立.三、填空題(每小題5分,共10分)7.(2024·沈陽高一檢測)在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面積S=QUOTE,則三角形外接圓的半徑為________.

【解題指南】三角形面積公式選用時通常以角為準,同時明確正弦定理應當完整記憶,即QUOTE=QUOTE=QUOTE=2R.【解析】在△ABC中,因為b=2,A=120°,三角形的面積S=QUOTE=QUOTEbc·sinA=c·QUOTE,所以c=2=b,故B=C=QUOTE(180°-A)=30°,再由正弦定理可得QUOTE=2R=QUOTE=4,所以三角形外接圓的半徑R=2.答案:2【補償訓練】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若A=QUOTE,b=(4+2QUOTE)acosB,且b=1,則B=________;△ABC的面積為________.

【解析】依題意A=QUOTE,b=(4+2QUOTE)acosB,由正弦定理得sinB=(4+2QUOTE)sinQUOTEcosB,解得tanB=2+QUOTE,而tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2+QUOTE,而B∈(0,π),所以B=QUOTE+QUOTE=QUOTEπ,則C=π-QUOTE-QUOTE=QUOTE=B,所以c=b=1,所以S=QUOTEcbsinA=QUOTE×1×1×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE8.(2024·北京高一檢測)在△ABC中,AB=4QUOTE,∠B=QUOTE,點D在邊BC上,∠ADC=QUOTE,CD=2,則AD=________;△ACD的面積為________.

【解析】因為∠ADC=QUOTE,所以∠ADB=QUOTE,在△ABD中由正弦定理得QUOTE=QUOTE,AD=QUOTE=QUOTE=4QUOTE.在△ACD中S△ACD=QUOTEAD×DCsin∠CDA=QUOTE×4QUOTE×2×QUOTE=2QUOTE.答案:4QUOTE2QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.某海輪以30海里/小時的速度航行,在A點測得海面上油井P在南偏東60°,向北航行40分鐘后到達B點,測得油井P在南偏東30°,海輪改為北偏東60°的航向再行駛80分鐘到達C點,求P,C間的距離.【解析】在△ABP中,AB=30×QUOTE=20,∠APB=30°,∠BAP=120°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得BP=20QUOTE.在△BPC中,BC=30×QUOTE=40,由題意知∠PBC=90°,所以PC=QUOTE=QUOTE=20QUOTE(海里).所以P,C間的距離為20QUOTE海里.10.(2024·江蘇高考)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,c=QUOTE,B=45°.(1)求sinC的值;(2)在邊BC上取一點D,使得cos∠ADC=-QUOTE,求tan∠DAC的值.【解析】(1)由余弦定理,得cosB=cos45°=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因此b2=5,即b=QUOTE,由正弦定理QUOTE=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,因此sinC=QUOTE.(2)因為cos∠ADC=-QUOTE,所以sin∠ADC=QUOTE=QUOTE,因為∠ADC∈QUOTE,所以C∈QUOTE,所以cosC=QUOTE=QUOTE,所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C)=sin∠ADCcosC+cos∠ADCsinC=QUOTE,因為∠DAC∈QUOTE,所以cos∠DAC=QUOTE=QUOTE,故tan∠DAC=QUOTE=QUOTE.1.我國南宋聞名數(shù)學家秦九韶發(fā)覺了由三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”,設△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S,則“三斜求積”公式為________.若a2sinC=2sinA,(a+c)2=4+2QUOTE+b2,則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為________.

【解析】由余弦定理得cosB=QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE,所以S△ABC=QUOTEacsinB=QUOTEac·QUOTE=QUOTE.因為a2sinC=2sinA,所以a2c=2a又因為(