第三章 幾何元素間的相對位置

第3章幾何元素間的相對位置土木工程制圖第3章幾何元素間的相對位置3.1相交關(guān)系平行關(guān)系3.2垂直關(guān)系3.33.1平行關(guān)系直線與平面平行

平面與平面平行一、直線與平面平行1.直線與平面平行的幾何條件若直線平行于某平面內(nèi)任一直線，則直線與該平面平行。若直線平行于一平面，則通過該平面內(nèi)的任一點(diǎn)必能在該平面內(nèi)作一直線與已知直線平行。一、直線與平面平行(續(xù))2.直線與平面平行的作圖舉例例1已知點(diǎn)M和△ABC的投影，按下列要求完成投影作圖。①過點(diǎn)M作一直線與△ABC平行；

②過點(diǎn)M作一水平線與△ABC平行；

③過點(diǎn)M作一正平線與△ABC平行。一、直線與平面平行(續(xù))例2包含已知直線AB作一平面與已知直線MN平行。c'c一、直線與平面平行(續(xù))例3判斷圖示直線與平面是否平行。不平行不平行平行不平行二、平面與平面平行1.兩平面平行的幾何條件若一平面內(nèi)兩條相交直線對應(yīng)平行另一平面內(nèi)兩條相交直線，則這兩個平面相互平行。二、平面與平面平行(續(xù))2.兩平面平行的作圖舉例例4

過點(diǎn)M作一平面與△ABC平行。n'nl'l作圖步驟過點(diǎn)M作AB的平行線；過點(diǎn)M作AC的平行線。二、平面與平面平行(續(xù))例5

過ML作一平面與△ABC平行。作圖步驟作出面內(nèi)與ML平行的輔助線；作出ML的水平投影；過點(diǎn)M作出△ABC某邊的平行線(AC)。二、平面與平面平行(續(xù))例6判斷圖示兩平面是否平行不平行平行平行不平行3.2相交關(guān)系

直線與平面相交必有一交點(diǎn)。交點(diǎn)：①即在線上，也在面內(nèi)；②直線可見性的分界點(diǎn)。

平面與平面相交必有一交線。交線：①兩平面的共有線；②平面可見性的分界線。

相交關(guān)系的作圖問題求交點(diǎn)或交線，并判別直線或平面的可見性。KKL全交互交直線與平面相交的特殊情況

平面與平面相交的特殊情況直線與平面相交的一般情況平面與平面相交的一般情況3.2相交關(guān)系

特別強(qiáng)調(diào)：

這里的特殊情況指的是直線或平面投影具有積聚性。一、直線與平面相交的特殊情況1.直線與平面相交特殊情況的作圖要領(lǐng)

當(dāng)直線或平面的某投影積聚時(shí)，二者的交點(diǎn)就在該元素的積聚性投影上。因而，線面交點(diǎn)可由積聚性投影得出，并根據(jù)共有性作出其它投影。一、直線與平面相交的特殊情況(續(xù))2.一般位置直線與特殊位置平面相交kk'作圖步驟求交點(diǎn)；判別直線可見性。根據(jù)線面相對位置判斷根據(jù)重影點(diǎn)可見性判斷重影點(diǎn)1(CD)2(EF)1'(2')最前可見一、直線與平面相交的特殊情況(續(xù))3.特殊位置直線與一般位置平面相交kk'作圖步驟求交點(diǎn)；判別直線可見性。根據(jù)線面相對位置判斷根據(jù)重影點(diǎn)可見性判斷重影點(diǎn)1(2)2'(AB)1'(MN)可見最高1.兩平面相交特殊情況的作圖要領(lǐng)

當(dāng)其中一平面的某投影積聚時(shí)，二者的交線就在該平面的積聚性投影上。因而，交線可由積聚性投影得出，并根據(jù)共有性作出其它投影。二、平面與平面相交的特殊情況二、平面與平面相交的特殊情況(續(xù))2.兩特殊位置平面相交

k'(l')kl作圖步驟求交線；判別平面可見性。二、平面與平面相交的特殊情況(續(xù))3.特殊位置平面與一般位置平面相交(1)

kl作圖步驟求交線；判別平面可見性。k'l'二、平面與平面相交的特殊情況(續(xù))3.特殊位置平面與一般位置平面相交(2)

kl作圖步驟求交線；判別平面可見性。k'l'二、平面與平面相交的特殊情況求鉛垂面上的直線DE與平面ABC的交點(diǎn)Ｍ3k三、直線與平面相交的一般情況一般位置直線與一般位置平面相交

由于直線、平面均無積聚性投影，因而無法直接得出交點(diǎn)。k'1'2'12(AC)(DE)(3')輔助平面法若直線DE與平面△ABC相交，可包含直線DE作一投影面垂直面，該輔助平面與△ABC的交線也必與直線DE相交，交點(diǎn)即為線面交點(diǎn)。作圖步驟

求交點(diǎn)；包含直線DE作正垂面或鉛垂面；判別平面可見性因用線面相對位置不易判斷可見性，可用重影點(diǎn)判斷。四、平面與平面相交的一般情況

可用“一般位置直線與一般位置平面相交求交點(diǎn)”的方法求解兩平面的交線。即取一平面內(nèi)的兩條直線，分別求出它們與另外一個平面的交點(diǎn)，連接兩點(diǎn)的同面投影即可得到兩平面的交線。作圖步驟求交線；求兩個交點(diǎn)判別平面可見性。k'kl'l直線與平面垂直

平面與平面垂直3.3垂直關(guān)系一、直線與平面垂直1.直線與平面垂直的幾何條件一直線垂直于平面內(nèi)任意兩相交直線，則直線與平面垂直。在作直線垂直于平面時(shí)，為作圖方便，通常使直線與平面內(nèi)的水平線和正平線垂直。一、直線與平面垂直(續(xù))2.直線與平面垂直的特殊情況（1）當(dāng)直線為投影面垂直線時(shí)，平面為投影面平行面；（2）當(dāng)直線為投影面平行線時(shí)，平面為投影面垂直面。一、直線與平面垂直(續(xù))3.直線與平面垂直的作圖舉例例7

求點(diǎn)K到平面P的距離。一、直線與平面垂直(續(xù))例8

過點(diǎn)M作直線MN垂直于△ABC平面。作圖步驟作出面內(nèi)一水平線；作水平線的垂線(H)；作出面內(nèi)一正平線；作正平線的垂線(V)。二、平面與平面垂直1.兩平面垂直的幾何條件一直線若垂直于一平面，則包含此直線的所有平面均與該平面垂直。MNP2P1二、平面與平面垂直(續(xù))2.平面與特殊位置平面垂直（1）若一般位置平面與特殊位置平面垂直，則一般位置平面內(nèi)必有直線與特殊位置平面垂直；（2）若兩投影面垂直面互相垂直，且同時(shí)垂直于同一投影面，則在積聚的投影面上兩平面垂直。作圖步驟過點(diǎn)K作△ABC平面的垂線；包含垂線任作一平面。例9

過點(diǎn)K作一平面與△ABC