2020-2021學年浙江省寧波市余姚實驗學校第四屆理想杯七年級（下）競賽數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學年浙江省寧波市余姚實驗學校第四屆理想杯七年級（下）競賽數(shù)學試卷一.選擇題：（每小題4分，共40分）1．（4分）計算（a+b）2﹣2（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2等于（）A．4b2 B．4ab C．4a2 D．2ab2．（4分）如圖所示，l1∥l2，則下列式子中值為180°的是（）A．α+β+γ B．α+β﹣γ C．β+γ﹣α D．α﹣β+γ3．（4分）設實數(shù)x滿足x3＝x+1，若x7＝ax2+bx+c，則a+b+c的值為（）A．3 B．4 C．5 D．64．（4分）已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝0，abc＝6++的值（）A．是正數(shù) B．是零 C．是負數(shù) D．正、負不能確定5．（4分）如圖，長方形ABCD是由四塊小長方形拼成（四塊小長方形放置時既不重疊，也沒有空隙）．其中②③兩塊長方形的形狀、大小完全相同，則只要知道（）A．長方形ABCD的周長 B．長方形②的周長 C．AB的長 D．BC的長6．（4分）已知x，y，z滿足，則的值為（）A．1 B． C． D．7．（4分）已知x+y＝1，x2+y2＝2，那么x5+y5的值是（）A． B． C． D．8．（4分）已知m是整數(shù)，方程組有正整數(shù)解（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．4或59．（4分）已知43x＝2021，47y＝2021，則[（x﹣1）（1﹣y）]2021＝（）A．1 B．2021 C．﹣1 D．2202110．（4分）甲、乙、丙三人進行智力搶答活動，規(guī)定：第一個問題由乙提出，由甲、丙搶答．以后在搶答過程中若甲答對1題，乙答對1題就可提5個問題，丙答對1題就可提4個問題，總共有16個問題沒有任何人答對，則丙答對的題數(shù)是（）A．1題或2題 B．0題或1題 C．1題或5題 D．1題或3題二.填空題：（每小題4分，共32分）11．（4分）因式分解：（4a2+1）2﹣16a2＝．12．（4分）若（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，則a2+a4＝．13．（4分）已知（2021﹣a）?（2019﹣a）＝2020，那么（2021﹣a）2+（2019﹣a）2＝．14．（4分）若關于x的分式方程無解，則m的值為．15．（4分）若a2+a＝1，則的值為．16．（4分）一條筆直公路上依次有A，B，C三個站點，甲、乙兩人分別從A，在距離C站2500米處甲追上乙；若乙提前10分鐘出發(fā)，那么甲每分鐘走米．17．（4分）已知實數(shù)a，b滿足（a2+4a+6）（2b2﹣4b+7）≤10，求a+2b＝．18．（4分）設a，b，c，d都是整數(shù)，且m＝a2+b2，n＝c2+d2，則mn也可表示成兩個整數(shù)的平方和：mn＝（用a，b，c，d表示）．比如89＝52+82，117＝92+62，89×117＝10413，則有10413＝32+1022．請你寫出值為10413的另外一種兩個整數(shù)的平方和的形式：10413＝．三.解答題：（第19，21題12分，第20題10分，第22題14分，共48分）19．（12分）圖1是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．（1）你認為圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于；（2）請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分面積；①；②．（3）觀察圖2你能寫出（m+n）2，（m﹣n）2，mn三個代數(shù)式之間的等量；（4）運用你所得到的公式，計算若知a+b＝8，ab＝72﹣b2的值．20．（10分）已知a＜b＜0，且+＝6，求的值．21．（12分）某校舉行春季運動會時，由若干名同學組成一個8列的長方形隊列，若原隊列中增加120人；若原隊形中減少120人，也能組成一個正方形對列．問原長方形隊列有多少名同學？22．（14分）（1）已知直線AB∥CD，點P為平行線AB，CD之間的一點．如圖1，∠CDP＝70°，BE平分∠ABP，求∠BED的度數(shù)．（2）（探究）如圖2，當點P在直線AB的上方時，∠CDP＝β，∠ABP和∠CDP的角平分線交于點E1，求∠E1的度數(shù)；若∠ABE1與∠CDE1的角平分線交于點E2，∠ABE2與∠CDE2的角平分線交于點E3，…以此類推，求∠En的度數(shù)．（3）（變式）如圖3，∠ABP的角平分線的反向延長線和∠CDP的補角的角平分線交于點E，并說明理由．

2020-2021學年浙江省寧波市余姚實驗學校第四屆理想杯七年級（下）競賽數(shù)學試卷參考答案與試題解析一.選擇題：（每小題4分，共40分）1．（4分）計算（a+b）2﹣2（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2等于（）A．4b2 B．4ab C．4a2 D．2ab【解答】解：（a+b）2﹣2（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）4＝a2+2ab+b6﹣2（a2﹣b2）+（a2﹣2ab+b5）＝a2+2ab+b5﹣2a2+5b2+a2﹣3ab+b2＝4b4．故選：A．2．（4分）如圖所示，l1∥l2，則下列式子中值為180°的是（）A．α+β+γ B．α+β﹣γ C．β+γ﹣α D．α﹣β+γ【解答】解：由題可知α＝180°﹣β+γ，所以有180°﹣α+γ+180°﹣β＝180°．故選B．3．（4分）設實數(shù)x滿足x3＝x+1，若x7＝ax2+bx+c，則a+b+c的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵x3＝x+1，∴x3＝x?x3?x3＝x?（x+8）2＝x（x2+2x+1）＝x3+3x2+x＝x+1+6x2+x＝2x6+2x+1＝ax5+bx+c∴a＝2，b＝2，∴a+b+c＝7+2+1＝4．故選：C．4．（4分）已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝0，abc＝6++的值（）A．是正數(shù) B．是零 C．是負數(shù) D．正、負不能確定【解答】解：∵abc＝6，∴++＝＝，∵bc+ac+ab＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]，a+b+c＝3，∴bc+ac+ab＝﹣（a2+b2+c2），∵a、b、c均不為3，∴bc+ac+ab＜0，∴＜6，即++的值是負數(shù)，故選：C．5．（4分）如圖，長方形ABCD是由四塊小長方形拼成（四塊小長方形放置時既不重疊，也沒有空隙）．其中②③兩塊長方形的形狀、大小完全相同，則只要知道（）A．長方形ABCD的周長 B．長方形②的周長 C．AB的長 D．BC的長【解答】解：設BC的長為x，AB的長為y，寬為b，由題意可得，①④兩塊長方形的周長之和是：（x﹣b）×2+2a+2b+2（x﹣a）＝2x﹣7b+2a+2b+7x﹣2a＝4x．故選：D．6．（4分）已知x，y，z滿足，則的值為（）A．1 B． C． D．【解答】解：由，得，所以，故選：B．7．（4分）已知x+y＝1，x2+y2＝2，那么x5+y5的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵x+y＝1，∴（x+y）2＝6，即x2+y2+5xy＝1，∵x2+y5＝2，∴xy＝﹣，∴x5+y5＝（x+y）（x5﹣x3y+x2y5﹣xy3+y4）＝x2﹣x3y+x2y7﹣xy3+y4＝x3+y4﹣xy（x2+y3）+（xy）2＝（x2+y3）2﹣2（xy）4﹣xy（x2+y2）+（xy）5＝22﹣（﹣）2+＝，故選：B．8．（4分）已知m是整數(shù)，方程組有正整數(shù)解（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．4或5【解答】解：②×2﹣①×6得：（9﹣2m）y＝34，解得：y＝，將y＝代入①得：x＝（，∵方程組有正整數(shù)解，∴9﹣7m＝1，2，17，解得：m＝﹣3，﹣3.5，2，代入＝中，檢驗．故選：C．9．（4分）已知43x＝2021，47y＝2021，則[（x﹣1）（1﹣y）]2021＝（）A．1 B．2021 C．﹣1 D．22021【解答】解：∵43xy＝2021y，47xy＝2021x，∴（43×47）xy＝2021x+y，∵43×47＝2021，∴xy＝x+y，∴（x﹣1）（1﹣y）＝x﹣xy﹣5+y＝﹣1∴[（x﹣1）（4﹣y）]2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故選：C．10．（4分）甲、乙、丙三人進行智力搶答活動，規(guī)定：第一個問題由乙提出，由甲、丙搶答．以后在搶答過程中若甲答對1題，乙答對1題就可提5個問題，丙答對1題就可提4個問題，總共有16個問題沒有任何人答對，則丙答對的題數(shù)是（）A．1題或2題 B．0題或1題 C．1題或5題 D．1題或3題【解答】解：設甲、乙、丙答對的題數(shù)分別是x、y、z，根據(jù)題意列方程得，6x+5y+6z+1＝x+y+z+16，整理得，5x+3y+3z＝15，∵x、y、z為非負整數(shù)，∴x＝1，y＝8，或x＝0，z＝1，∴丙答對的題數(shù)是5題或1題，故選：A．二.填空題：（每小題4分，共32分）11．（4分）因式分解：（4a2+1）2﹣16a2＝（2a+1）2（2a﹣1）2．【解答】解：（4a2+3）2﹣16a2＝（7a2+1+4a）（4a2+7﹣4a）＝（2a+4）2（2a﹣5）2，故答案為：（2a+4）2（2a﹣5）2．12．（4分）若（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，則a2+a4＝﹣120．【解答】解：令x＝0，得﹣1＝a8；令x＝1，得1＝a2+a4+a3+a3+a1+a0①；令x＝﹣5，得﹣a5+a4﹣a4+a2﹣a1+a8＝﹣243②；①+②，得2a4+3a2+2a6＝﹣242，即a0+a2+a4＝﹣121，∴﹣1+a2+a3＝﹣121，∴a2+a4＝﹣120．故答案為：﹣120．13．（4分）已知（2021﹣a）?（2019﹣a）＝2020，那么（2021﹣a）2+（2019﹣a）2＝4044．【解答】解：設x＝2021﹣a，y＝2019﹣a，∴x﹣y＝2021﹣a﹣2019+a＝2，∵（2021﹣a）（2019﹣a）＝2020，∴xy＝2020，∴原式＝x2+y3＝（x﹣y）2+2xy＝22+2×2020＝4044．故答案為：4044．14．（4分）若關于x的分式方程無解，則m的值為3或．【解答】解：①分母為0，即是x＝3，將方程可轉(zhuǎn)化為x﹣7m（x﹣3）＝m，當x＝3時，m＝5．②分母不為0，整理得：x﹣m＝2mx﹣8m，因為方程無解，所以x＝2mx，解得：m＝．故答案為：3或．15．（4分）若a2+a＝1，則的值為﹣．【解答】解：∵a2+a＝1，∴a6+a2＝a，∴a3﹣6＝a﹣a2﹣（a2+a）＝﹣2a2，∴原式＝＝＝﹣．故答案為：﹣．16．（4分）一條筆直公路上依次有A，B，C三個站點，甲、乙兩人分別從A，在距離C站2500米處甲追上乙；若乙提前10分鐘出發(fā)，那么甲每分鐘走100米．【解答】解：設甲每分鐘走x米，依題意得：?x＝2500﹣1000，解得：x＝100，經(jīng)檢驗，x＝100是原方程的解．故答案為：100．17．（4分）已知實數(shù)a，b滿足（a2+4a+6）（2b2﹣4b+7）≤10，求a+2b＝0．【解答】解：∵（a2+4a+7）（2b2﹣2b+7）≤10，∴（a2+2a+4+2）（2b2﹣4b+5+5）≤10，∴[（a+2）2+2][2（b﹣8）2+5]≤10，∴4（a+2）2（b﹣7）2+5（a+3）2+4（b﹣2）2+10≤10，∴2（a+7）2（b﹣1）6+5（a+2）3+4（b﹣1）2≤0，∵2（a+2）2（b﹣1）7≥0，5（a+6）2≥0，2（b﹣1）2≥4，∴a+2＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣2，b＝2，∴a+2b＝﹣2+5＝0，故答案為：0．18．（4分）設a，b，c，d都是整數(shù)，且m＝a2+b2，n＝c2+d2，則mn也可表示成兩個整數(shù)的平方和：mn＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2（用a，b，c，d表示）．比如89＝52+82，117＝92+62，89×117＝10413，則有10413＝32+1022．請你寫出值為10413的另外一種兩個整數(shù)的平方和的形式：10413＝932+422．【解答】解：∵m＝a2+b2，n＝c4+d2，∴mn＝（a2+b6）（c2+d2）＝a2c2+a2d2+b2c2+b8d2＝a2c7+b2d2+a4d2+b2c5＝a2c2+b4d2+2abcd+a5d2+b2c2﹣2abcd＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）3∴mn＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2；∵89＝32+86，117＝92+82，則a＝5，b＝3，d＝6，另外一種形式，10413＝（5×4+8×6）5+（5×6﹣8×9）2＝（45+48）7+（30﹣72）2＝932+（﹣42）2＝932+422，故10413＝934+422，故答案為：（ac+bd）2+（ad﹣bc）7；932+422．三.解答題：（第19，21題12分，第20題10分，第22題14分，共48分）19．（12分）圖1是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．（1）你認為圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于m﹣n；（2）請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分面積；①（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn．（3）觀察圖2你能寫出（m+n）2，（m﹣n）2，mn三個代數(shù)式之間的等量（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（4）運用你所得到的公式，計算若知a+b＝8，ab＝72﹣b2的值．【解答】解：（1）圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于（m﹣n），故答案為：m﹣n；（2）圖2中陰影部分面積為：①（m﹣n）5，②（m+n）2﹣4mn，故答案為：①（m﹣n）7，②（m+n）2﹣4mn；（3）由（2）得：（m﹣n）7＝（m+n）2﹣4mn，故答案為：（m﹣n）8＝（m+n）2﹣4mn；（4）∵a+b＝3，ab＝7，∴（a﹣b）2＝（a+b）3﹣4ab＝64﹣28＝36，∴a﹣b＝±6，∴a4﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝±48．20．（10分）已知a＜b＜0，且+＝6，求的值．【解答】解：∵+＝6，∴a2+b5＝6ab，設＝x，∴＝x2，∴＝x2，∴x2＝4，∴x＝±，∵a＜b＜0，∴a+b＜6，b﹣a＞0，∴＝﹣．21．（12分）某校舉行春季運動會時，由若干名同學組成一個8列的長方形隊列，若原隊列中增加120人；若原隊形中減少120人，也能組成一個正方形對列．問原長方形隊列有多少名同學？【解答】解：設原有同學8n人，8n+120＝a4，8n﹣120＝b2，則存在a8﹣b2＝240，即（a+b）（a﹣b）＝240．但a+b與a﹣b的奇偶性相同、b都為偶數(shù)，故a+b＝120，a﹣b＝2，b＝59（不合題意舍去）；a+b＝60，a﹣b＝7，b＝28．因為904﹣120＝784，即28行28列，既不是在原8列的方陣中減去120，所以904不符條件；a+b＝40，a﹣b＝6，b＝17（不合題意舍去）；a+b＝30，a﹣b＝7，b＝11（不合題意舍去）；a+b＝24，a﹣b＝10，b＝7（不合題意舍去）；a+b＝20，a﹣b＝12，b＝4；a+b＝16，a﹣b＝15，b＝2.5（不合題意舍去）．故原長方形隊列共有136名同學．22．（14分）（1）已知直線AB∥CD，點P為平行線AB，CD之間的一點．如圖1，∠CDP＝70°，BE平分∠ABP，求∠BED的度數(shù)．（2）（探究）如圖2，當點P在直線AB的上方時，∠CDP＝β，∠ABP和∠CDP的角平分線