2024學(xué)年上海市延安中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中考試卷附答案解析

學(xué)年上海市延安中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中考試卷（考試時間：90分鐘滿分100分）一、填空題（第1-12題每題3分，共36分，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，否則一律得零分.）1.若點直線，且直線平面，則________.（填合適符號）2.已知角的兩邊和角的兩邊分別平行且，則_________.3.棱錐的高為9，底面積為162，平行于底面的截面面積為32，則截得的棱臺的高為_________.4.如果三棱錐的側(cè)棱與底面所成角都相等，頂點在底面的射影在內(nèi)，那么是的_____心.5.已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個邊長為4的正方形，則該圓柱的表面積是______________.6.如圖，在長方體中，，，則棱與平面的距離為__________.7.在長方體中，，則直線與直線所成角的余弦值為______________.8.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，前項和為，滿足，那么的取值范圍是___.9.平面上畫條直線，假設(shè)其中任意2條直線都相交，且任意3條直線都不共點，設(shè)條直線將平面分成了個區(qū)域，那么條直線可把平面分成______個區(qū)域．10.已知用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為1的正三角形（如圖），則中邊長與的邊長相等的邊上的高為_______________11.已知在直三棱柱中，底面為直角三角形，，，，P是上一動點，則的最小值為______．12.已知兩個等比數(shù)列，滿足，，，．若數(shù)列唯一，則______.二、選擇題（本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，選對得3分，否則一律得零分）13.以下命題中真命題的是（）.A.所有側(cè)面都是矩形的棱柱是長方體 B.有兩個相鄰的側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C.側(cè)棱垂直底面兩條棱的棱柱是直棱柱 D.各側(cè)面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱14.、是空間兩條直線，是平面，以下結(jié)論正確的是（）．A.如果，，則一定有．B.如果，，則一定有．C.如果，，則一定有．D.如果，，則一定有．15.如圖，正方體中，分別為棱的中點，連接，對空間任意兩點，若線段與線段都不相交，則稱兩點可視，下列選項中與點可視的為（）A.點 B.點 C.點 D.點16.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：…，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列bn，則數(shù)列bn的前項的和為（）A. B. C. D.三、解答題（共52分）特別注意：本卷解答題用空間坐標(biāo)表示解題，一律不給分!17.已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為.若，用數(shù)學(xué)歸納法證明：.18.已知A是圓錐的頂點，BD是圓錐底面的直徑，C是底面圓周上一點，BD＝2，BC＝1，AC與底面所成的角為，過點A作截面ABC、ACD，截去部分后的幾何體如圖．（1）求原來圓錐的側(cè)面積；（2）求該幾何體的體積．19.如圖，正四面體中，棱長為，的中點為.求：（1）二面角的大小；（2）點到平面的距離.20.如圖，在四棱柱中，四邊形為直角梯形，，.過點作平面，垂足為是的中點.（1）在四邊形內(nèi)，過點作，垂足.（i）求證：平面平面；（ii）判斷是否共面，并證明.（2）在棱上否存在一點，使得平面？若存在，給出證明：若不存在，請說明理由.21.已知數(shù)列滿足，對任意正整數(shù)、都有.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列前項和；（3）在（2）中的，設(shè)，求數(shù)列中最小項的值.上2024學(xué)年上海市延安中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中考試卷（考試時間：90分鐘滿分100分）一、填空題（第1-12題每題3分，共36分，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，否則一律得零分.）1.若點直線，且直線平面，則________.（填合適的符號）【答案】【解析】【分析】由點線面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】點直線，且直線平面，則，故答案為：2.已知角的兩邊和角的兩邊分別平行且，則_________.【答案】或【解析】【分析】由等角定理求解即可.【詳解】角的兩邊和角的兩邊分別平行且，由等角定理可知，或，則或，故答案為：或3.棱錐高為9，底面積為162，平行于底面的截面面積為32，則截得的棱臺的高為_________.【答案】5【解析】【分析】設(shè)出截得的棱臺的高，利用棱錐平行于底面的截面比例關(guān)系列式求解.【詳解】設(shè)截得的棱臺的高為，由棱錐被平行于底面的平面所截，截面面積與底面積的比等于截得錐體的高與原錐體高的平方比，得，解得，所以截得的棱臺的高為5.故答案為：54.如果三棱錐的側(cè)棱與底面所成角都相等，頂點在底面的射影在內(nèi)，那么是的_____心.【答案】外【解析】【分析】設(shè)側(cè)棱與底面所成角為，則，故，從而判斷即可.【詳解】三棱錐的側(cè)棱與底面所成角都相等，設(shè)夾角為，頂點在底面的射影在內(nèi)，所以，所以，故是的外心.故答案為：外5.已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個邊長為4的正方形，則該圓柱的表面積是______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出該圓柱的底面圓半徑，再求出其表面積.【詳解】依題意，圓柱的底面圓周長為4，則半徑，所以該圓柱的表面積.故答案為：6.如圖，在長方體中，，，則棱與平面的距離為__________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由平面，所以棱與平面的距離即為到平面的距離，利用坐標(biāo)法求解點到平面的距離即可.【詳解】，平面，平面，所以平面，所以到平面的距離即為棱與平面的距離，如圖：建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，所以，，，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，故，則，令，，故，，所以到平面的距離為：，故答案為：7.在長方體中，，則直線與直線所成角的余弦值為______________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義可得或其補角即為所求的角，再由余弦定理計算可得結(jié)果.【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，則由長方體性質(zhì)可得，易知直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角，即為或其補角；在中，可得，由余弦定理可知.故答案為：8.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，前項和為，滿足，那么的取值范圍是___.【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列前項和的極限，得到關(guān)于的代數(shù)式，進而求得的取值范圍.【詳解】各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，設(shè)其公比為q，首項為，則，，則，則，由，可得，，則，則的取值范圍是.故答案為：9.在平面上畫條直線，假設(shè)其中任意2條直線都相交，且任意3條直線都不共點，設(shè)條直線將平面分成了個區(qū)域，那么條直線可把平面分成______個區(qū)域．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，依次分析的值，由此類推，歸納可得答案.【詳解】條直線把平面分成個區(qū)域，條直線把平面分成個區(qū)域，則有，同理，條直線把平面分成個區(qū)域，則有，條直線把平面分成個區(qū)域，則有，條直線把平面分成個區(qū)域，則有，依次類推，第條直線與前條直線都相交，則第條直線有個交點，被分為段，每段都會把對應(yīng)的平面分為兩部分，則增加了個平面，即．故答案為：.10.已知用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為1的正三角形（如圖），則中邊長與的邊長相等的邊上的高為_______________【答案】【解析】【分析】由斜二測畫法的特點可知平行于軸的邊長不變，在直觀圖中由正弦定理求出，然后求出原圖中的長度即可求解.【詳解】由于用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為1的正三角形，則中邊長與的邊長相等的邊為，在中，，，所以，由正弦定理得：，所以，所以原圖中邊上的高為：，故答案為：.11.已知在直三棱柱中，底面為直角三角形，，，，P是上一動點，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】把面沿展開與在一個平面上如圖，連接，則的長度即為的最小值，求解即可.【詳解】由題意知，在幾何體內(nèi)部，但在面內(nèi)，把面沿展開與在一個平面上如圖，連接，則的長度即為的最小值，因在直三棱柱中，平面，而平面，則，因為，則，即，又平面，則平面，而平面，所以，即，因為，易知，所以所以，而，，所以在中，，所以，即的最小值為.故答案為：.12.已知兩個等比數(shù)列，滿足，，，．若數(shù)列唯一，則______.【答案】【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意可得，且，由于數(shù)列唯一，則公比q的值只能有一個，故方程必有一解為0，代入方程即可求解參數(shù)．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵，，，，∴，，．∵，，成等比數(shù)列，∴，整理得.∵，∴，∴關(guān)于公比q的方程有兩個不同的根，且兩根之和為4，兩根之積為．又?jǐn)?shù)列唯一，公比q的值只能有一個，故這兩個q的值必須有一個不滿足條件．∵公比q的值不可能等于0，∴方程必有一根為0，把代入此方程，解得．故答案為：二、選擇題（本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，選對得3分，否則一律得零分）13.以下命題中真命題的是（）.A.所有側(cè)面都是矩形的棱柱是長方體 B.有兩個相鄰的側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C.側(cè)棱垂直底面兩條棱的棱柱是直棱柱 D.各側(cè)面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱【答案】B【解析】【分析】利用長方體、直棱柱、正四棱柱的定義，對各個選項逐一分析判斷，即可求解.【詳解】對于A，直棱柱的側(cè)面都是矩形，但不一定是長方體，如直三棱柱，故A不正確，對于B，有兩個相鄰側(cè)面是矩形，則利用線面垂直的判定定理證明出側(cè)棱垂直于底面，則該四棱柱是直棱柱，故B正確，對于C，斜四棱柱可以滿足側(cè)棱垂直底面兩條棱，但不是直棱柱，故C不正確；對于D，底面是菱形的直棱柱，滿足底面四條邊相等，各側(cè)面都是全等的矩形，但不是正四棱柱，故D不正確.故選：B.14.、是空間兩條直線，是平面，以下結(jié)論正確的是（）．A.如果，，則一定有．B.如果，，則一定有．C.如果，，則一定有．D.如果，，則一定有．【答案】D【解析】【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系逐一核對四個選項得答案．【詳解】對于A，若，，則有或與相交或與異面，故錯誤；對于B、C，如果⊥，⊥，則有或?，故B、C錯誤；對于D，如果⊥，則垂直內(nèi)的所有直線，又，則過與相交的平面交于，則，∴⊥，故D正確．故選：D．15.如圖，正方體中，分別為棱的中點，連接，對空間任意兩點，若線段與線段都不相交，則稱兩點可視，下列選項中與點可視的為（）A.點 B.點 C.點 D.點【答案】B【解析】【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷即可.【詳解】A選項：四邊形是平行四邊形，與相交，故A錯；C選項：四邊形是平行四邊形，與相交，故C錯；D選項：四邊形是平行四邊形，與相交，故D錯；利用排除法可得選項B正確.故選：B.16.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：…，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列bn，則數(shù)列bn的前項的和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)斐波那契數(shù)列性質(zhì)得出數(shù)列中數(shù)字規(guī)律即可求得新數(shù)列bn的規(guī)律，再利用數(shù)列的周期性即可得結(jié)果【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列性質(zhì)可得an因此新數(shù)列bn即為按照成周期出現(xiàn)的數(shù)列，周期為，易知，一個周期內(nèi)的三個數(shù)字之和為；所以數(shù)列bn的前項的和為.故選：C三、解答題（共52分）特別注意：本卷解答題用空間坐標(biāo)表示解題，一律不給分!17.已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為.若，用數(shù)學(xué)歸納法證明：.【答案】證明見解析.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列an的通項，前項和為，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】等差數(shù)列an中，，，當(dāng)時，，，原等式成立；假設(shè)當(dāng)時，原等式成立，即，，則，即當(dāng)時，原等式成立，所以對一切，等式成立.18.已知A是圓錐的頂點，BD是圓錐底面的直徑，C是底面圓周上一點，BD＝2，BC＝1，AC與底面所成的角為，過點A作截面ABC、ACD，截去部分后的幾何體如圖．（1）求原來圓錐的側(cè)面積；（2）求該幾何體的體積．【答案】（1）；（2）﹒【解析】【分析】(1)設(shè)的中點為，連結(jié)，，則平面，求出圓錐母線長度即能求出圓錐側(cè)面積．(2)該幾何體的體積，由此能求出結(jié)果．【小問1詳解】如圖，設(shè)BD的中點為，連接，是圓錐的頂點，BD是圓錐底面的直徑，平面．，，與底面所成角的大小為，∴中，，，，，∴圓錐側(cè)面積為：；【小問2詳解】該幾何體為三棱錐與半個圓錐的組合體，，，，該幾何體的體積．19.如圖，正四面體中，棱長為，的中點為.求：（1）二面角的大小；（2）點到平面距離.【答案】（1）（2）【分析】（1）取的中點，連接，易證得平面，，則即為二面角的平面角，再解即可；（2）由平面，可得線段的長度即為點到平面的距離，即可得解.【小問1詳解】取的中點，連接，在正四面體中，的中點為，則，因為為的中點，所以，所以即為二面角的平面角，因為平面，所以平面，又平面，所以，中，，則，所以二面角的大小為；【小問2詳解】由（1）知平面，所以線段的長度即為點到平面的距離，所以點到平面的距離為.20.如圖，在四棱柱中，四邊形為直角梯形，，.過點作平面，垂足為是的中點.（1）在四邊形內(nèi)，過點作，垂足為.（i）求證：平面平面；（ii）判斷是否共面，并證明.（2）在棱上是否存在一點，使得平面？若存在，給出證明：若不存在，請說明理由.【答案】（1）（i）證明見解析；（ii）不共面，證明見解析（2）存在，證明見解析【解析】【分析】（1）（i）由線