有理數(shù)計算中的規(guī)律性問題（原卷版）

重難點01有理數(shù)計算中的規(guī)律性問題探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識的基礎上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．探尋數(shù)列規(guī)律：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字與序號建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進行簡單運算，從而得出通項公式．一．選擇題（共8小題）1．如圖，在數(shù)軸上，點P表示﹣1，將點P沿數(shù)軸做如下移動，第一次點P向右平移2個單位長度到達點P1，第二次將點P1向左移動4個單位長度到達P2，第三次將點P2向右移動6個單位長度，按照這種移動規(guī)律移動下去，第n次移動到點Pn，給出以下結(jié)論：①P5表示5；②P12＞P11；③若點Pn到原點的距離為15，則n＝15；④當n為奇數(shù)時，|Pn﹣Pn﹣1|＝2Pn；以上結(jié)論正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④2．（2022秋?姜堰區(qū)期中）觀察下列兩行數(shù)：第一行：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，?．第二行：0，6，﹣6，18，﹣30，66，?．取每行的第8個數(shù)，這兩個數(shù)的和是（）A．0 B．256 C．514 D．10243．（2022秋?江陰市期中）《九章算術(shù)》里記載過這樣一個三角形數(shù)陣——楊輝三角，它是我國古代數(shù)學的杰出研究成果之一．它的每行最開始和結(jié)尾的數(shù)字都是1，中間的每個數(shù)都等于它上方的兩個數(shù)的和．則楊輝三角的第9排左起第5個數(shù)是（）A．28 B．35 C．56 D．704．（2022秋?豐縣校級月考）已知整數(shù)a1，a2，a3，a4……滿足下列條件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|……，以此類推，則a2023的值為（）A．﹣1007 B．﹣1008 C．﹣1011 D．﹣20165．（2022秋?崇川區(qū)月考）計算：2﹣4+6﹣8+10﹣12+…+98﹣100＝（）A．﹣200 B．﹣100 C．﹣50 D．506．（2022秋?儀征市校級月考）觀察圖中正方形四個頂點所標的數(shù)字規(guī)律，可知數(shù)2022應標在（）A．第505個正方形的左下角 B．第505個正方形的右上角 C．第506個正方形的右上角 D．第506個正方形的右下角7．（2022秋?海門市期末）如圖所示的運算程序中，若開始輸入x的值為3，則第2023次輸出的結(jié)果是（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣68．（2022秋?通州區(qū)期中）小亮運用一種方法來擴展數(shù)，并稱這種方法為“亮化”，步驟如下（以﹣10為例）：①寫出一個數(shù)：﹣10；②將該數(shù)加1，得到數(shù)：﹣9；③將上述兩數(shù)依序合并在一起，得到第一次亮化后的一組數(shù)：（﹣10，﹣9）；④將（﹣10，﹣9）各項加1，得到（﹣9，﹣8），再將這兩組數(shù)依序合并，得到第二次亮化后的一組數(shù)：（﹣10，﹣9，﹣9，﹣8）；…按此步驟，不斷亮化，會得到一組數(shù)：（﹣10，﹣9，﹣9，﹣8，﹣9，﹣8，﹣8，﹣7，…），則這組數(shù)的第68個數(shù)是（）A．一9 B．﹣8 C．﹣7 D．﹣6二．填空題（共13小題）9．（2022秋?常州期中）已知數(shù)a1，規(guī)定運算：a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，a5＝1﹣，…，an＝1﹣．按上述方法計算：當a1＝2時，a1+a2+a3+a4+…+a2023＝．10．（2022秋?海安市校級月考）有一數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，若開始輸入x的值是1，可發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果是4，第二次輸出的結(jié)果是2，……，請你探索第2022次輸出的結(jié)果是．11．（2022秋?宜興市月考）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是＝﹣1，﹣1的差倒數(shù)是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)，…，依此類推，則a2022＝．12．（2022秋?泗洪縣期中）如圖，表B是表A的一部分，則表B中x等于．13．（2022秋?阜寧縣期中）觀察上面“品”字形中各數(shù)之間的規(guī)律，根據(jù)觀察到的規(guī)律得出b的值為．14．（2022秋?灌南縣校級月考）如下表，從左到右在每個小格子中都填入一個整數(shù)，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，則第2024個格子的數(shù)為．3abc﹣12……15．（2022秋?吳江區(qū)校級月考）定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是＝﹣1，﹣1的差倒數(shù)是＝．已知a1＝﹣，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)，…，以此類推，則a2023＝．16．（2022秋?吳江區(qū)校級月考）有一列數(shù)﹣，，﹣，，…，那么第8個數(shù)是．17．（2022秋?宜興市月考）a是不為2的有理數(shù)，我們把稱為a的“哈利數(shù)”，如3的“哈利數(shù)”是＝﹣2，﹣2的“哈利數(shù)”是，已知a1＝5，a2是a1的“哈利數(shù)”，a3是a2的“哈利數(shù)”，a4是a3的“哈利數(shù)”，…，依此類推，則a2019等于．18．（2021秋?廣陵區(qū)期末）【閱讀】計算1+3+32+…+3100的值時，令S＝1+3+32+…+3100，則3S＝3+32+33+…+3100+3101，因此3S﹣S＝3101﹣1，所以．仿照以上推理，計算：＝．19．（2021秋?東臺市期末）如圖，“海春書局”把WIFI密碼做成了數(shù)學題．小紅在海春書局看書時，思索了一會兒，輸入密碼，順利地連接到了“海春書局”的網(wǎng)絡，那么她輸入的密碼是．20．（2022秋?東臺市期中）如圖是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)規(guī)律，自然數(shù)2022應該排在從上向下數(shù)的第m行，是該行中的從左向右數(shù)的第n個數(shù)，那么m+n的值是．21．（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）將1個1，2個，3個，…，n個（n為正整數(shù)）排成一列：1，，，，，…，，記a1＝1，a2＝a1+，a3＝a2+，…，記S1＝a1，S2＝a1+a2，S3＝a1+a2+a3，…，Sn＝a1+a2+a3+…+an，則S2022﹣S2021＝．三．解答題（共10小題）22．（2022秋?江陰市校級月考）有一列數(shù)，第一個數(shù)用a1表示，第二個數(shù)用a2表示，…，第n個數(shù)用an表示，n為正整數(shù)；已知，，，，…（1）利用以上運算的規(guī)律，直接寫出a5＝；a8＝；an＝；（2）計算：a1×a2×a3×a4…a10的值．23．（2022秋?崇川區(qū)月考）閱讀下列例題：計算：2+22+23+24+25+26+…+210．解：設S＝2+22+23+24+25+26+…+210，①那么2S＝2×（2+22+23+24+25+…+210）＝22+23+24+25+…+210+211．②②﹣①，得S＝211﹣2．所以原式＝211﹣2．仿照上面的例題計算：3+32+33+34+…+32022．24．（2022秋?江都區(qū)月考）先觀察下列等式，再完成題后問題：＝，，（1）請你猜想：＝．（2）若a、b為有理數(shù)，且|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，求：的值．（3）＝．25．（2022秋?宜興市月考）觀察下列等式：第1個等式：a1＝＝×（1﹣）；第2個等式：a2＝＝×（﹣）；第3個等式：a3＝＝×（﹣）；第4個等式：a4＝＝×（﹣）…尋找規(guī)律，解決問題：（1）寫出第5個等式：a5＝＝；寫出第10個等式：a10＝＝；（2）求a1+a2+……+a2022的值．26．（2022秋?錫山區(qū)校級月考）探索規(guī)律：從1開始，連續(xù)的自然數(shù)相加，它們的和的倒數(shù)情況如下表：分母中加數(shù)的個數(shù)（n）和的倒數(shù)2345……（1）根據(jù)表中規(guī)律，求＝；（2）根據(jù)表中規(guī)律，則＝；（3）求的值．27．（2022秋?邳州市期中）觀察下列三行數(shù)，并完成填空：①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……②﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，……③﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，……（1）第①行第10個數(shù)是；第②行數(shù)第10個數(shù)是；（2）第③行第n個數(shù)是；（3）取每行的第10個數(shù)，計算這三個數(shù)的和為．28．（2022秋?阜寧縣期中）折疊紙面，若在數(shù)軸上﹣1表示的點與5表示的點重合，回答以下問題：（1）數(shù)軸上8表示的點與表示的點重合．（2）若數(shù)軸上M、N兩點之間的距離為800（M在N的左側(cè)），且M、N兩點經(jīng)折疊后重合，求M、N兩點表示的數(shù)各是多少？（3）如圖，邊長為2的正方形有一頂點落在數(shù)軸上表示﹣1的點處，將正方形在數(shù)軸上向右滾動（無滑動），正方形的一邊與數(shù)軸重合記為滾動一次，求正方形滾動2022次后，落在數(shù)軸上一邊的右端點表示的數(shù)與折疊后的哪個數(shù)重合？29．（2022秋?江都區(qū)月考）定義：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如3÷3÷3÷3等．類比有理數(shù)的乘方，我們把3÷3÷3÷3記作34，讀作“3的下4次方”．一般地，把n個a（a≠0）相除記作an，讀作“a的下n次方”．（1）直接寫出計算結(jié)果：34＝．（2）關(guān)于除方，下列說法正確的有（把正確的序號都填上）①對于任何正整數(shù)n，1n＝1；②a2＝1（a≠0）；③23＝32④負數(shù)的下奇數(shù)次方結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的下偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)．（3）我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？例如：（冪的形式）．試一試：將下列除方運算直接寫成冪的形式：65＝；＝．（4）計算：．30．（2023春?常州期末）觀察下列等式：32﹣12＝8；52﹣32＝16；72﹣52＝24；92﹣72＝32；…根據(jù)上述規(guī)律，解答下列問題：（1）填空：132﹣112＝，192﹣172＝；（2）用含n（n是正整數(shù)）的等式表示這一規(guī)律，證明你的結(jié)論是正確的．31．（2022秋?揚州期中）如表，從左邊第一個格子開始向右數(shù)，在每個小格子中都填入一個整數(shù)，使得其中任意三個相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等．4□☆△6﹣5……（1）□＝，☆＝，Δ＝；（2）試判斷第2022個格子中的數(shù)是多少，并給出相應的理由；（3）判斷：前n個格子中所填整數(shù)之和是否可能為2035？若能，求出對應的n值，若不能，請說明理由．

一．選擇題（共3小題）1．（2021秋?高郵市期末）如圖，在這個數(shù)運算程序中，若開始輸入的正整數(shù)n為奇數(shù)，都計算3n+1；若n為偶數(shù)，都除以2．若n＝21時，經(jīng)過1次上述運算輸出的數(shù)是64；經(jīng)過2次上述運算輸出的數(shù)是32；經(jīng)過3次上述運算輸出的數(shù)是16；…；經(jīng)過2022次上述運算輸出的數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021秋?惠山區(qū)校級期中）我們將如圖所示的兩種排列形式的點的個數(shù)分別稱作“三角形數(shù)”（如1，3，6，10…）和“正方形數(shù)”（如1，4，9，16…）在小于50的數(shù)中，設最大的“三角形數(shù)”為m，最大的“正方形數(shù)”為n，則m+n的值為（）A．139 B．94 C．59 D．163．（2021秋?句容市期中）小明在做數(shù)學題時，發(fā)現(xiàn)下面有趣的結(jié)果：3﹣2＝18+7﹣6﹣5＝415+14+13﹣12﹣11﹣10＝924+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17＝16……根據(jù)以上規(guī)律可知第201行左起第3個數(shù)是（）A．40800 B．40801 C．40802 D．40803二．填空題（共7小題）4．（2022秋?亭湖區(qū)月考）如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為32，我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果為16，第二次輸出的結(jié)果為8，…，則第2022次輸出的結(jié)果為．5．（2021秋?濱?？h期中）觀察一列數(shù)：，，，，，，根據(jù)規(guī)律，請寫出第16個數(shù)是．6．（2021秋?興化市校級月考）已知（n＝1，2，3?，2021），求當a1＝1時，a1a2+a2a3+?+a2021a2022的值為．7．（2021秋?啟東市校級月考）有若干個數(shù)，第一個數(shù)記為a1，第二個數(shù)記為a2，…，第n個數(shù)記為an．若a1＝﹣2，從第二個數(shù)起，每個數(shù)都等于“1與它前面那個數(shù)的差的倒數(shù)”．試計算：a2＝，a3＝，a4＝，a5＝．由你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算a2021＝．8．（2021秋?徐州期中）如圖，每個格子中都是整數(shù)，若任意三個相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，則從左邊第一個格子開始向右數(shù)，第2021個格子中的數(shù)為．﹣4223…9．如圖，在數(shù)軸上，點A表示1，現(xiàn)將點A沿數(shù)軸做如下移動：第一次點A向左移動3個單位長度到達點A1，第二次將點A1向右移動6個單位長度到達點A2，第三次將點A2向左移動9個單位長度到達點A3，按照這種移動規(guī)律移動下去，第n次移動到點An，如果點An與原點的距離不大于18，那么n的最大值是．10．（2021秋?如皋市校級月考）有一列按規(guī)律排列的代數(shù)式：b，2b﹣a，3b﹣2a，4b﹣3a，5b﹣4a，…，相鄰兩個代數(shù)式的差都是同一個整式，若第1011個代數(shù)式的值為3，則前2021個代數(shù)式的和的值為．三．解答題（共8小題）11．（2021秋?興化市校級月考）從2開始，連續(xù)的偶數(shù)相加，它們的和的情況如圖．（1）算式2+4+6+…+300中，共有個加數(shù)，利用上面的規(guī)律計算：2+4+6+…+300；（2）計算182+184+186+188+…+400的值．12．（2021秋?如東縣月考）觀察下面三行數(shù)：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…．③（1）寫出第①行數(shù)的第10個數(shù)；（2）觀察第②③行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系，寫出第二行的第n數(shù)；（3）取每行數(shù)的第9個數(shù)，計算這三個數(shù)的和．13．（2021秋?港閘區(qū)校級月考）探索規(guī)律：觀察下面算式，并解答問題．1+3＝4＝221+3+5＝9＝321+3+5+7＝16＝421+3+5+7+9＝25＝52（1）試猜想1+3+5+7+…+19＝；（2）試猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）＝；（3）請用上述規(guī)律計算：1001+1003+1005+…+2019+2021．（請算出最后數(shù)值哦！并寫出計算過程）14．（2021秋?東臺市期末）閱讀探究：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…（1）根據(jù)上述規(guī)律，小亮發(fā)現(xiàn)2+22+23+24+25＝2m﹣2，求出m＝．（2）小聰繼續(xù)又發(fā)現(xiàn)：23+24＝（2+22+23+24）﹣（2+22）＝25﹣2323+24+25＝（2+22+23+24+25）﹣（2+22）＝2m﹣2323+24+25+26＝（2+22+23+24+25+26）﹣（2+22）＝2n﹣23，求出n＝．（3）若A＝250+251+252+…+2100＝2a﹣2b，請運用小聰?shù)姆椒ㄇ骯和b的值．15．（2021秋?淮安期末）一位同學在閱讀課外書的時候，學到了一種速算方法，也讓我們一起來看看吧！1+2+3+……+100＝（1+100）+（2+99）+……+（50+51），他發(fā)現(xiàn)這樣的數(shù)對一共有50對，且每一對數(shù)和都是101，所以原式＝（