數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：第一講三相似三角形的判定及性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精更上一層樓基礎(chǔ)·鞏固1如圖1—圖1A.2∶3B.4∶9C思路解析:∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC。又AD∶DB=2∶3，∴AD∶AB=2∶5。其面積比為4∶25，則S△ADE∶S四邊形BCED=4∶21.答案：D2如圖1-3-11所示，鐵道口的欄桿短臂長(zhǎng)1m,長(zhǎng)臂長(zhǎng)圖1A。11。25mB。6.6mC。8m思路解析:本題是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，可抽象為如下的數(shù)學(xué)問(wèn)題：如右圖,等腰△AOC∽等腰△BOD，OA=1m,OB=16m,高CE=0.5m，求高DF.由相似三角形的性質(zhì)可得OA∶OB=CE∶DF，即1∶16=0。5∶DF,解得DF=8m.答案：C3有一塊三角形鐵片ABC,已知最長(zhǎng)邊BC=12cm，高AD=8cm，要把它加工成一個(gè)矩形鐵片,使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，且矩形的長(zhǎng)是寬的2倍，則加工成的鐵片的面積為（）A。18cm2或cm2B。20cm2或18cm2C。16cm2D。15cm2思路解析:本題有圖（1)和圖（2）兩種情況，如圖(1)，矩形的長(zhǎng)EF在BC上,G、H分別在AC、AB上,高AD交GH于K，設(shè)矩形的寬為xcm，則長(zhǎng)為2xcm,由HG∥BC，得△AHG∽△ABC，得cmS矩形EFGH=2x2=cm2；如圖(2），矩形的寬MN在BC上，類(lèi)似地可求得S矩形MNPQ=18cm2.答案：A4如圖1-3-圖1思路解析：先根據(jù)已知條件和隱含條件證明兩個(gè)三角形相似，即△ABC∽△DAC.再根據(jù)相似建立比例式，根據(jù)給出的線(xiàn)段易求出未知線(xiàn)段。答案：45如果兩個(gè)相似三角形的面積比為9∶4，那么它們的相似比為_(kāi)______________。思路解析：根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方直接開(kāi)平方即可。答案：3∶26如圖1-圖1證明：∵HI⊥DF，EF⊥DF,∴HI∥EF,∠DIH=∠DFE=90°.∴∠DHI=∠DEF?！唷鱀HI∽△DEF?！摺螪IH=∠AGH=90°，∠DHI=∠AHG,∴△DHI∽△AHG.∵∠A=∠A，∠AGH=∠ACB=90°，∴△AGH∽△ACB?！唷鰽BC∽△DEF綜合·應(yīng)用7如圖1—圖1思路分析：∠ABE和∠ACD分別位于△ABE和△ACD中，顯然不可以利用全等來(lái)證明這兩個(gè)角相等，但這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形能相似嗎？從已知條件中給的四個(gè)角分別在△ABC和△AED中，由它們相等不難證明△ABC∽△AED，這一對(duì)三角形的相似，溝通了我們想要證明的兩個(gè)三角形的關(guān)系，溝通了兩個(gè)角的關(guān)系。這里使用了“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩三角形相似"的判定方法.證明：∵∠ABC=∠AED，∠ACB=∠ADE,∴△ABC∽△AED?！啵螧AC=∠EAD?！?∴∠BAC—∠EAC=∠EAD—∠EAC，即∠BAE=∠CAD.∴△ABE∽△ACD.（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似）∴∠ABE=∠ACD.8如圖1—3-圖1思路分析：因?yàn)锽P、PE、PF三條線(xiàn)段共線(xiàn)，找不到兩個(gè)三角形，所以必須考慮等線(xiàn)段代換等其他方法，因?yàn)锳B=AC,D是BC的中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線(xiàn),如果我們連結(jié)PC，由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)知PB=PC,只需證明△PEC∽△PCF，問(wèn)題就能解決了。證明：連結(jié)PC，在△ABC中，∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD垂直平分BC?！郟B=PC?！唷?=∠2.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。∴∠ABC-∠1=∠ACB—∠2?！唷?=∠4。∵CF∥AB,∴∠3=∠F.∴∠4=∠F。又∵∠EPC=∠CPF，∴△PCE∽△PFC.∴.∴PC2=PE·PF.∵PC=PB，∴PB2=PE·PF。（等線(xiàn)段代換）9如圖1—求S△ADE∶S四邊形DEGF∶S四邊形BCGF。圖1思路分析:要求題目中的三部分的面積比，必須先求出△ADE\,△AFG和△ABC的面積，才能求出兩個(gè)四邊形的面積.由已知DE∥FG∥BC的條件,可以得到相似三角形，再由相似三角形的面積比等于相似比的平方的性質(zhì)，可求出相似三角形的面積比。題目中未給出具體數(shù)值,故應(yīng)引入?yún)?shù)。解：∵AD∶DF∶FB=2∶3∶4，設(shè)AD=2k,DF=3k，F(xiàn)B=4k（k>0),則AF=5k，AB=9k，∵DE∥FG,∴△ADE∽△AFG?！嗤恚傻?。設(shè)S△ADE=4a，則S△AFG=25a,S△ABC=81a(a〉0).∴S四邊形DEGF=25a-4a=21aS四邊形BCGF=81a-25a=56a∴S△ADE∶S四邊形DEGF∶S四邊形BCGF=4∶21∶56。10如圖1—圖1(1)當(dāng)AC、CD、DB滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系時(shí)，△ACP∽△PDB？（2)當(dāng)△ACP∽△PDB時(shí),求∠APB的度數(shù).思路分析：本題是一個(gè)探索型的問(wèn)題，考查相似三角形的判定及性質(zhì)，它給出了一個(gè)條件，讓你自己再添加一個(gè)條件,可使兩個(gè)三角形相似.因此,首先想到相似的判定方法，因又限制了三條邊的關(guān)系，所以是對(duì)應(yīng)邊就成比例.當(dāng)三角形相似以后，那么對(duì)應(yīng)角相等，易求∠APB.解：（1)∵△PCD是等邊三角形,∴∠PCD=∠PDC=60°，PD=PC=CD.從而∠ACP=