數(shù)學(xué)（文科）總復(fù)習(xí)演練提升同步測(cè)評(píng)6等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘)1．(2016·寧夏大學(xué)附中上學(xué)期月考)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9,則a1＝(）A。eq\f（1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f（1，9)D．－eq\f(1，9）【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵S3＝a2＋10a1,a5＝9，∴eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a1＋a1q＋a1q2＝a1q＋10a1，，a1q4＝9，））解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q2＝9，,a1＝\f（1，9）。）)【答案】C2．(2016·山西四校聯(lián)考）等比數(shù)列｛an}滿足an＞0,n∈N＊，且a3·a2n－3＝22n（n≥2），則當(dāng)n≥1時(shí)，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1等于(）A．n(2n－1）B．（n＋1）2C．n2D．(n－1）2【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3·a2n－3＝aeq\o\al(2，n)＝22n，從而得an＝2n.方法一log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝log2[(a1a2n－1）·(a2a2n－2）·…·(an－1an＋1)·an］＝log22n(2n－1）＝n（2n－1）．方法二取n＝1，log2a1＝log22＝1，而（1＋1）2＝4，（1－1)2＝0,排除B，D；取n＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＝log22＋log24＋log28＝6，而22＝4，排除C，選A.【答案】A3．（2016·山東濰坊重點(diǎn)高中聯(lián)考)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f（S6，S3)＝3,則eq\f（S9，S6）＝()A．2B.eq\f（7,3）C.eq\f（8,3)D．3【解析】依題意知等比數(shù)列的公比q≠±1，設(shè)S3＝k，則S6＝3k(k≠0），結(jié)合S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列可知S9－3k＝4k,故S9＝7k.所以eq\f（S9,S6）＝eq\f(7,3）.【答案】B4．(2016·湖南師大附中月考）已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列｛an｝滿足a6－aeq\o\al(2,7）＋a8＝0，數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b2·b8·b11＝()A．1B．2C．4D．8【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì),得a6＋a8＝2a7。由a6－aeq\o\al（2，7）＋a8＝0,可得a7＝2，所以b7＝a7＝2.由等比數(shù)列的性質(zhì)得b2·b8·b11＝b2b7b12＝beq\o\al（3,7）＝23＝8.【答案】D5．(2016·甘肅河西五市部分普通高中第一次聯(lián)考）正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝中的a1，a4031是函數(shù)f(x）＝eq\f(1,3)x3－4x2＋6x－3的極值點(diǎn)，則logeq\r(6)a2016＝（）A．－1B．1C.eq\r（2)D．2【解析】∵f′(x)＝x2－8x＋6,∴a1·a4031＝6。又∵{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，∴aeq\o\al（2，2016）＝a1·a4031＝6，∴l(xiāng)ogeq\r（6）a2016＝logeq\r(6)eq\r(6)＝1.【答案】B6．（2016·廣州綜合測(cè)試)已知數(shù)列{an｝為等比數(shù)列，若a4＋a6＝10，則a7（a1＋2a3）＋a3a9的值為（)A．10B．20C．100D．200【解析】a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝aeq\o\al（2，4）＋2a4a6＋aeq\o\al（2，6)＝（a4＋a6）2＝102＝100.【答案】C7．（2016·長(zhǎng)春調(diào)研)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an｝中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n＝________．【解析】設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q，由a1a2a3＝4＝aeq\o\al（3，1)q3與a4a5a6＝12＝aeq\o\al(3,1）q12，可得q9＝3,an－1anan＋1＝aeq\o\al（3,1)q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14.【答案】148．(2016·南寧測(cè)試)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝中，a1＝2，且2a1，a3，3a2成等差數(shù)列．則an＝________．【解析】設(shè)數(shù)列{an｝的公比為q，∵2a1，a3，3a2成等差數(shù)列，∴2a1＋3a2＝2a3，2a1＋3a1q＝2a1q2,2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－eq\f(1,2）.∵q＞0，∴q＝2。∵a1＝2，∴數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1＝2n.【答案】2n9．(2016·河南實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)數(shù)列{bn｝滿足：bn＋1＝2bn＋2,bn＝an＋1－an,且a1＝2，a2＝4.(1)求數(shù)列{bn｝的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1）由bn＋1＝2bn＋2，得bn＋1＋2＝2(bn＋2)，∴eq\f（bn＋1＋2,bn＋2)＝2，又b1＋2＝a2－a1＋2＝4，∴數(shù)列{bn＋2}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列．∴bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，∴bn＝2n＋1－2.(2)由（1）知,an－an－1＝bn－1＝2n－2(n≥2),∴an－1－an－2＝2n－1－2（n＞2），…，a2－a1＝22－2，∴an－2＝（22＋23＋…＋2n）－2(n－1)，∴an＝（2＋22＋23＋…＋2n）－2n＋2＝eq\f(2（2n－1），2－1）－2n＋2＝2n＋1－2n.∴Sn＝eq\f（4（1－2n）,1－2）－eq\f(n(2＋2n),2)＝2n＋2－（n2＋n＋4)．10．（2016·全國(guó)卷Ⅲ）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，aeq\o\al(2,n）－（2an＋1－1)an－2an＋1＝0。（1）求a2，a3;(2）求{an｝的通項(xiàng)公式．【解析】（1)由題意可得a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1，4)。(2）由aeq\o\al（2,n）－（2an＋1－1）an－2an＋1＝0得2an＋1（an＋1)＝an（an＋1）．因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以eq\f（an＋1，an)＝eq\f(1,2）。故{an｝是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，因此an＝eq\f(1，2n－1）。B組專項(xiàng)能力提升（時(shí)間：20分鐘）11．（2016·河南洛陽(yáng)期中）下列結(jié)論正確的是(）A．若數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝n2＋n＋1,則{an}為等差數(shù)列B．若數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn＝2n－2，則{an｝為等比數(shù)列C．非零實(shí)數(shù)a，b，c不全相等，若a,b,c成等差數(shù)列,則eq\f（1，a)，eq\f（1，b)，eq\f(1,c）可能構(gòu)成等差數(shù)列D．非零實(shí)數(shù)a，b,c不全相等,若a,b，c成等比數(shù)列，則eq\f（1,a），eq\f(1,b），eq\f（1，c)一定構(gòu)成等比數(shù)列【解析】在A中,∵數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn,Sn＝n2＋n＋1，∴a1＝S1＝1＋1＋1＝3,an＝Sn－Sn－1＝（n2＋n＋1)－[（n－1)2＋（n－1)＋1］＝2n（n≥2),故｛an｝不為等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；在B中,∵數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn,Sn＝2n－2，∴a1＝S1＝2－2＝0,∴｛an}不為等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；在C中，若eq\f（1，a)，eq\f（1,b），eq\f（1,c)構(gòu)成等差數(shù)列，則eq\f（2，b)＝eq\f(1，a）＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋c，ac）＝eq\f（2b，ac），∴b2＝ac，∴ac＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（a＋c，2)））eq\s\up12(2)＝eq\f(a2＋c2＋2ac,4），∴a＝c,從而a＝c＝b，與非零實(shí)數(shù)a，b，c不全相等矛盾,∴eq\f（1，a），eq\f(1，b），eq\f（1，c)不可能構(gòu)成等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；在D中,∵非零實(shí)數(shù)a，b，c不全相等,a，b,c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，∴eq\f(1，b2)＝eq\f（1，ac)＝eq\f（1,a）·eq\f（1，c),∴eq\f(1,a)，eq\f（1，b），eq\f(1，c）一定成等比數(shù)列，故D正確．故選D?！敬鸢浮緿12．（2016·寧夏大學(xué)附中上學(xué)期月考）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛an}中，存在兩項(xiàng)am,an(m,n∈N＊)使得eq\r(aman)＝4a1，且a7＝a6＋2a5,則eq\f（1，m）＋eq\f(5，n)的最小值是()A.eq\f(7，4）B．1＋eq\f（\r(5）,3)C.eq\f(25,6）D。eq\f(2\r（5)，3)【解析】在正項(xiàng)等比數(shù)列{an｝中，設(shè)公比為q，∵a7＝a6＋2a5,∴eq\f(a7，a5）＝eq\f（a6,a5）＋2,即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去），∴am＝a12m－1，an＝a12n－1?！遝q\r（aman）＝4a1，∴aman＝aeq\o\al(2，1）2m＋n－2＝16aeq\o\al(2,1），即m＋n－2＝4，∴m＋n＝6,列舉（m，n)＝（1,5），（2，4），(3，3)，（4，2),（5，1)，即有eq\f（1,m）＋eq\f（5,n)＝2,eq\f(7,4),2,eq\f(11，4），eq\f（26，5）。當(dāng)m＝2，n＝4時(shí)，eq\f(1,m）＋eq\f(5，n）取得最小值eq\f(7，4）.【答案】A13．（2016·蘭州診斷）數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1＝1，數(shù)列｛bn}為等比數(shù)列且bn＝eq\f（an＋1，an），若b10b11＝2017eq\s\up6（\f(1,10)），則a21＝________．【解析】由bn＝eq\f(an＋1，an）,且a1＝1,得b1＝eq\f（a2，a1)＝a2.b2＝eq\f(a3，a2），a3＝a2b2＝b1b2.b3＝eq\f(a4，a3），a4＝a3b3＝b1b2b3，…，an＝b1b2…bn－1，∴a21＝b1b2…b20.∵數(shù)列｛bn}為等比數(shù)列，∴a21＝（b1b20)(b2b19）…（b10b11）＝（b10b11)10＝(2017eq\s\up6（\f(1，10))）10＝2017.【答案】201714．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn｝滿足b1＝1，b2＝eq\f(1,3），anbn＋1＋bn＋1＝nbn.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求｛bn｝的前n項(xiàng)和．【解析】（1）由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1,b2＝eq\f（1，3)，得a1＝2.所以數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝3n－1。（2）由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝eq\f(bn，3），因此數(shù)列｛bn｝是首項(xiàng)為1，公比為eq\f（1,3)的等比數(shù)列．記｛bn}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn＝eq\f(1－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,3）))\s\up12（n），1－\f(1，3））＝eq\f（3,2）－eq\f（1,2×3n－1)。15．(2017·蘭州模擬)設(shè)Sn為數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的n∈N＊,都有Sn＝m＋1－man(m為常數(shù)，且m＞0）．(1）求證：數(shù)列｛an}是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列｛an｝的公比q＝f（m），數(shù)列｛bn｝滿足b1＝2a1,bn＝f(bn－1)（n≥2，n∈N*）,求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式．【解析】(1）證明當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝m＋1－ma1，解得a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝man－1－man,即（1＋m)an＝man－1。又m為常數(shù)，且m＞0，∴eq\f(an,an－1)＝eq\f(m,1＋m）(n≥2）．∴數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為1,公比為eq\f(