數(shù)學(xué)高一-一元二次方程、不等式（解析版）- 【重難點(diǎn)突破】2024-2025學(xué)年高一上·人教A版必修第一冊(cè)·重難點(diǎn)專題突破 -

專題2-3一元二次方程、不等式重難點(diǎn)突破量力而行，貪多嚼不爛，如果未能深入理解知識(shí)要點(diǎn)，即使筆記和刷題雖多但仍會(huì)問題成堆，課后缺乏鞏固與總結(jié)，此等行為導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率低下，事倍功半，學(xué)習(xí)成果就會(huì)大打折扣總覽總覽題型解讀【復(fù)習(xí)】基本不等式常見題型回顧（一題多問） 2【題型1】一元二次不等式 4【題型2】分式不等式 7【題型3】絕對(duì)值不等式 9【題型4】由一元二次不等式的解集求參數(shù) 11【題型5】解含參一元二次不等式（分類討論） 13【題型6】含參一元二次不等式恒（能）成立問題（1）：判別式法 16【題型7】含參一元二次不等式恒（能）成立問題（2）：參變分離法 19【題型8】含參一元二次不等式恒成立問題（3）：變更主元法解 26【題型9】基本不等式恒（能）成立問題與一元二次不等式 28【題型10】一元二次方程根的分布 31【題型11】含參一元二次不等式與充分，必要條件 38【課后作業(yè)】 40課前小測(cè)課前小測(cè)基本不等式?？碱}型回顧【復(fù)習(xí)】基本不等式常見題型回顧（一題多問）基本不懂式又來了~若a，b>0，且a＋b＝2（1）求ab的最大值 （2）求的最小值；（3）求的最大值； （4）求的最小值（5）求的最大值； （6）求的最小值【答案】前4小題均為輪換式，即a與b地位對(duì)等，故a=b=1時(shí)取到最值，證明略（1）1；（2）2；（3）2；（4）2（5）配湊+乘“1”：（6）“1”的代換：【鞏固練習(xí)】已知，且（1）求的最小值（2）求的最小值（3）求的最小值（4）的最小值 （5）求的最小值 （6）的最小值 【答案】（1）16；（2）6；（3）4；（4）；（5）；（6）（1），僅當(dāng)時(shí)取等（2）“1”的代換：（3）配湊+乘“1”：（4）配湊或換元：（5）分離常數(shù)+乘1：（6）“1”的代換：題型題型匯編知識(shí)梳理與常考題型【題型1】一元二次不等式數(shù)形結(jié)合解一元二次不等式-1-1-1如圖，若二次函數(shù)，則的取值范圍是____________________若，則的取值范圍是____________________.【總結(jié)】開口向上：大于取兩根______，小于取兩根______.（也就是說關(guān)鍵在于求出“根”）【思考】若遇到開口向下的二次函數(shù)，應(yīng)該怎樣解對(duì)應(yīng)的一元二次不等式？________________.解不等式（1） （2） 【答案】(1).(2)R.【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求得答案.【詳解】（1）原不等式化為，即，所以，故不等式的解集為.（2）原不等式化為，又，所以的解集為R.【鞏固練習(xí)1】解不等式：（1） （2）（3） (4)【答案】（1）x>2或x<-2(2)(3)(4)【分析】(1)對(duì)原式因式分解化簡(jiǎn)即可解得.(2)先將最高次前的系數(shù)化為正數(shù)再因式分解即可解得.【詳解】（1）x>2或x<-2（2）原不等式等價(jià)于：解得：所以原不等式解集為：（3）原不等式等價(jià)于：即解得：或所以原不等式的解集為：（4），整理得，解得，即不等式的解集為.【鞏固練習(xí)2】解下列不等式．(1) (2)【解析】（1）對(duì)于方程，因?yàn)?，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，解得，畫出二次函數(shù)的圖象，如圖，結(jié)合圖象得不等式的解集為；（2）原不等式可化為，對(duì)于方程，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解得，畫出二次函數(shù)的圖象，如圖，結(jié)合圖象得不等式的解集為故所求不等式的解集為.【題型2】分式不等式簡(jiǎn)單的分式不等式的解法系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”例：策略一：同乘分母的平方，注意分母不能為0（也可以提公因式）策略二：也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號(hào)：同乘：策略三：先將一端變?yōu)?，再由分式的正負(fù)得出分子分母是否同號(hào)，注意分母不能為0不等式的解集為．【答案】【解析】，即，則且．解得，不等式的解集為.故答案為：.的解集為【答案】【解析】由,可得,即,所以,解得,所以原不等式的解集為.故答案為:.【鞏固練習(xí)1】解下列不等式：（1） （2）【答案】（1）(2)或【解答】（1）由，得，解得或，故不等式的解集為.（2）由，得，即，解得或，所以不等式得解集為或.【鞏固練習(xí)2】解不等式：（1） （2）【答案】（1） （2）【解答】（1）因?yàn)椋?，則，即，故，解得（2）解：由可得，解得，故原不等式的解集為.【題型3】絕對(duì)值不等式解絕對(duì)值不等式的常見方法法一：等式兩邊同時(shí)平方法二：分類討論去絕對(duì)值法三：利用絕對(duì)值的幾何意義一．絕對(duì)值的幾何意義的幾何意義：數(shù)軸上數(shù)到原點(diǎn)的距離的幾何意義：在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離二．常見的絕對(duì)值不等式（1）的解集是，如圖1．（2）的解集是，如圖2．（3）若（4）若或（5）若解不等式：（1）；（2）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由題意，，解得，所以原不等式的解集為．（2）由題意，或，解得或，所以原不等式的解集為．【鞏固練習(xí)1】【答案】【解析】由題意，，解得，所以原不等式的解集為．【鞏固練習(xí)2】解不等式：(1) (2)【答案】（1）或；（2）【解析】（1）方法一：（分類討論）①當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋?，解得，所以；②?dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋?，解得，所以；綜上所述，原不等式的解集為．方法二：或，解得或，所以原不等式的解集為．（2）則有，即，解得或【鞏固練習(xí)3】不等式的解集是___________【答案】或【解析】不等式可化為，∴，或；解之得：或【題型4】由一元二次不等式的解集求參數(shù)通過韋達(dá)定理列出參數(shù)相關(guān)的方程組，注意判斷開口方向以及結(jié)合圖像，不等式的解集為，函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題知，和1是的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，，求得：，，所以，開口向下，令，即，解得兩個(gè)根分別為-2，1（多選題）（2024·高一·山東泰安·期中）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則（

）A．B．C．不等式的解集為D．不等式的解集為【答案】ABD【解析】由于不等式的解集為，所以和是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，故，，故AB正確，對(duì)于C,不等式為，故，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D,不等式可變形為，解得，故D正確【鞏固練習(xí)1】已知不等式的解集為，則不等式的解集為【答案】或【分析】由題意知是方程的兩實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可求出，代入不等式中，解不等式即可求出答案.【詳解】由不等式的解集為，知是方程的兩實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得：，所以不等式可化為，解得：或【鞏固練習(xí)2】（多選題）若不等式的解集是，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．且 B．C． D．不等式的解集是【答案】ABD【詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，解集屬于兩根之?nèi)的情況，所以，又因?yàn)椋?；A．，故正確；B．因?yàn)?，所以，故正確；C．因?yàn)榻饧癁?，所以，故錯(cuò)誤；D．因?yàn)榧礊椋?，解得，故正確【鞏固練習(xí)3】若關(guān)于的不等式的解集是，則的值為_____．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù),關(guān)于的不等式的解集是，的兩根為：和；所以有：且；且；模塊二模塊二中檔題型【題型5】解含參一元二次不等式（分類討論）對(duì)于含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，則可先考慮分解因式，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對(duì)判別式分類討論，分類要不重不漏解下列關(guān)于的不等式：．【答案】答案見解析.【分析】對(duì)分三種情況討論得解.【詳解】由得或.當(dāng)，即時(shí)，不等式解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為；當(dāng)，即時(shí)，解集為．綜上：時(shí)，不等式解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為．解關(guān)于x的不等式.【答案】答案見解析【解析】由題意可知，可化為（1）當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，（2）當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，（3）當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得或，（4）當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，（5）當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得或，綜上所述，時(shí)，不等式的解集為時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為；時(shí)，不等式的解集為【鞏固練習(xí)1】解關(guān)于的不等式：.【解析】不等式，即，當(dāng)時(shí)，原不等式即，解得，即不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，解得或，即不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，解得或，即不等式的解集為或；綜上可得：當(dāng)時(shí)不等式的解集為，當(dāng)時(shí)不等式的解集為或，當(dāng)時(shí)不等式的解集為或.【鞏固練習(xí)2】當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式.【解析】當(dāng)時(shí)，代入不等式可得，解得；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)不等式可得即，由得不等式的解為，當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)不等式可得即，由得不等式的解為或，綜上可知，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.【鞏固練習(xí)3】解關(guān)于的不等式：．【分析】根據(jù)條件得，討論與的大小，求解即可．【詳解】原不等式可化為，討論與的大?。?）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為或；（2）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為；（3）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為或．綜上：當(dāng)時(shí)，不等式的解為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為或．【鞏固練習(xí)4】解關(guān)于的不等式：．【答案】答案見解析【分析】分，和三種情況，在時(shí)，再分三種情況，求出不等式解集.【詳解】①當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得．②當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得或．③當(dāng)時(shí)，原不等式化為.當(dāng)，即時(shí)，解得；當(dāng)，即時(shí)，解得滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，解得．綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．【題型6】含參一元二次不等式恒（能）成立問題（1）：判別式法一元二次不等式在R上的恒（能）成立問題方法是通過二次函數(shù)的圖像來理解.1.若ax2+bx+c>0恒成立，則a>0，Δ<0；2.若ax2+bx+c<0恒成立，則a<0，Δ<0；3.若ax2+bx+c≠0恒成立，則Δ<0.4.若存在x，使得ax2+bx+c>0成立，則應(yīng)該滿足什么條件？（求對(duì)立，再取補(bǔ)集）已知不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍是________.【答案】【詳解】①若,則恒成立，滿足題意；②,則，,∴.綜上所述已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：A【分析】先求出命題為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，即可求出命題為假時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若“，”是真命題，即判別式，解得：，所以命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為：.【鞏固練習(xí)1】不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【分析】由題意列不等式組求解【詳解】當(dāng)即時(shí)，恒成立，滿足題意，當(dāng)時(shí)，由題意得，解得，綜上，的取值范圍是【鞏固練習(xí)2】若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解答】當(dāng)時(shí)，不等式為有解，故，滿足題意；當(dāng)時(shí)，若不等式有解，則滿足，解得或；當(dāng)時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象開口向下，此時(shí)不等式總是有解，所以，綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)值恒小于0，則a的取值范圍是________【答案】【分析】根據(jù)給定條件，分段討論，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)列式求解作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，則；當(dāng)時(shí)，依題意，二次函數(shù)的圖象總在x軸下方，于是，解得，則【鞏固練習(xí)4】若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】①當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得：，符合題意；②當(dāng)時(shí)，為開口方向向上的二次函數(shù)，只需，即；③當(dāng)時(shí)，為開口方向向下的二次函數(shù)，則必存在實(shí)數(shù)，使得成立；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為【題型7】含參一元二次不等式恒（能）成立問題（2）：參變分離法含參一元二次不等式在區(qū)間上的恒成立問題一般通過分離參數(shù)將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題參變分離法：如果能夠?qū)?shù)分離出來,建立起明確的參數(shù)和變量x的關(guān)系,，使得，等價(jià)于，，使得，等價(jià)于類型一：類型一：結(jié)合基本不等式命題使得成立，若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由是假命題，則命題的否定為真命題，寫出命題的否定，利用分離參數(shù)的方法求解即可．【詳解】命題，使得成立，若是假命題，則命題的否定為：，成立，為真命題．所以在上恒成立，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以（2023上·廣東深圳·高一深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？迹┊?dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，則的取值范圍是．【答案】【分析】參變分離得，再利用基本不等式求的最小值即可得答案．【詳解】關(guān)于x的不等式恒成立即，時(shí)恒成立，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，．.類型二：類型二：結(jié)合二次函數(shù)若不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】將不等式在上有解，轉(zhuǎn)化為不等式在上有解求解.【詳解】因?yàn)椴坏仁皆谏嫌薪?，所以不等式在上有解，令，則，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是已知命題：“，使得成立”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】利用分離參數(shù)法得，只需求出不等式右邊的最大值即可．【詳解】，，設(shè)，對(duì)稱軸為，在上單調(diào)遞增，故，即，，，使得成立，，，，故類型三：類型三：對(duì)鉤函數(shù)型若關(guān)于x的不等式在上有實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為不等式在上有實(shí)數(shù)解，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得，即可求解.【詳解】由不等式在上有實(shí)數(shù)解，等價(jià)于不等式在上有實(shí)數(shù)解，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又由，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【鞏固練習(xí)1】若關(guān)于x的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解可得在區(qū)間內(nèi)有解，從而大于在區(qū)間的最小值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】由關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，得在區(qū)間內(nèi)有解，令，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．【鞏固練習(xí)2】若不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由題意恒成立，即，然后由基本不等式求的最大值即可.【詳解】由題意恒成立，即，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，所以.【鞏固練習(xí)3】若“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為“在上恒成立”，再利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求得最值，從而得解.【詳解】因?yàn)椤?，使”是假命題，所以“，”為真命題，其等價(jià)于在0,+∞上恒成立，又因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【鞏固練習(xí)4】（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，利用基本不等式求解最值即可.【詳解】，不等式恒成立，即，由于函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，即，則【鞏固練習(xí)5】（23-24高一下·廣東深圳·期末）若，不等式恒成立，則的取值范圍為.【答案】【分析】分離參數(shù)得，令，求出函數(shù)在上的最大值即可求解.【詳解】，不等式恒成立，則，即，恒成立，令，由圖知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，則.故答案為：.

【鞏固練習(xí)6】若不等式在時(shí)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________；若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.答案：,【解析】首先分離參數(shù)可得，然后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求得，從而可確定的取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁剑栽趨^(qū)間上恒成立，，當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，故（2）不等式對(duì)一切恒成立，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以故實(shí)數(shù)的取值范圍是．【鞏固練習(xí)7】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】.【分析】根據(jù)題意分離參數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求定區(qū)間的最值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，則，令，則在單調(diào)遞增，所以，所以.【鞏固練習(xí)8】已知命題，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意可知，需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，并結(jié)合判別式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，，不符題意；當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，所以，只需，解得：，當(dāng)時(shí)，顯然滿足題意，綜上，的取值范圍為【鞏固練習(xí)9】已知命題：存在實(shí)數(shù)，使成立.命題：對(duì)于，使有解，如果是假命題，是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】因?yàn)槊}：存在實(shí)數(shù)，使成立，所以，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；因?yàn)槊}：對(duì)于，使有解，即在上能成立，令，則，則，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，如果是假命題，則；如果是真命題，則；所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍.【鞏固練習(xí)10】不等式對(duì)任意的及恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為恒成立，令，則在上恒成立，利用二次函數(shù)求得最值即可求解實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的及恒成立，所以對(duì)任意的及恒成立，令，因?yàn)榧?，所以，則在上恒成立，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以的最大值為，所以，所以實(shí)數(shù)的范圍是.【題型8】含參一元二次不等式恒成立問題（3）：變更主元法解變更主元：在有幾個(gè)變量的問題中,常常有一個(gè)變量處于主要地位,我們稱之為主元。在解含有參數(shù)的不等式時(shí),有時(shí)若能換一個(gè)角度,變參數(shù)為主元,則可以得到意想不到的效果。一般來說，這類問題的特點(diǎn)是給出參數(shù)范圍求x的范圍對(duì)于中的任意，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】法一：由題意，可以采用分離參數(shù)法．，分，，，結(jié)合進(jìn)行討論并求解不等即可得．法二：構(gòu)造函數(shù)法，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，，即，對(duì)于中的任意恒成立，從而求解不等式組即可得．【詳解】法一：由題意，恒成立，等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，即，，則恒成立，，，解得：，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式不成立，當(dāng)時(shí)，即，，則，，，解得：，綜上所述：的取值范圍是或；法二：由，即，令函數(shù)，，即，對(duì)于中的任意恒成立，則有且，即，解得或，所以的取值范圍是或.已知12?m?3，不等式x2+mx+【答案】{x＜?1【詳解】解因?yàn)?2?m?3時(shí)，不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立，即m(x?2)+(x?2)2>0恒成立。當(dāng)x=2時(shí)，不等式不成立，所以x≠2。令y=m(x?2)+(x已知時(shí)，不等式恒成立，則x的取值范圍為．【答案】【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)關(guān)于a的函數(shù)，則可得，從而可求出x的取值范圍．【詳解】由題意，因?yàn)楫?dāng)，不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)，則對(duì)任意恒成立，則滿足，解得，即x的取值范圍為【鞏固練習(xí)1】若不等式對(duì)任意恒成立，實(shí)數(shù)x的取值范圍是．【答案】【分析】把題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，由一次函數(shù)的單調(diào)性列不等式組，即可求解．【詳解】可轉(zhuǎn)化為．設(shè)，則是關(guān)于m的一次型函數(shù)．要使恒成立，只需，解得．【鞏固練習(xí)2】若恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．【答案】【分析】采用變換主元的策略，看作關(guān)于的一次函數(shù)，利用端點(diǎn)函數(shù)值不小于0建立不等式組求解即可．【詳解】令，當(dāng)時(shí)，恒成立，只需即解得或．所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是．故答案為：【題型9】基本不等式恒（能）成立問題與一元二次不等式（23-24高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）若對(duì)，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式求得的最小值為，轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合一元二次不等式的解法，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，要使得不等式恒成立，可得，即，因?yàn)椋獾?，即?shí)數(shù)的取值范圍時(shí).若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且存在這樣的，使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】依題意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即，解得或，所以的取值范圍是．【鞏固練習(xí)1】（23-24高一上·安徽六安·期中）對(duì)滿足的任意正實(shí)數(shù)、，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可算出，再將最小值代入，即可求解【詳解】不等式恒成立，，且當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即解得故實(shí)數(shù)的取值范圍是【鞏固練習(xí)2】（22-23高一上·陜西西安·期中）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】不等式恒成立，即為不等式恒成立，根據(jù)基本不等式求出的最小值，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，解得（），所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為，則不等式恒成立，即為，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【鞏固練習(xí)3】（23-24高一上·河北滄州·階段練習(xí)）若存在正實(shí)數(shù)x，y滿足于，且使不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以．?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即，解得或，所以m的取值范圍是．【鞏固練習(xí)4】當(dāng)x＞0，y＞0，且滿足時(shí)，有恒成立，則k的取值范圍是．【答案】【分析】妙用“1”，利用基本不等式先求的最小值，然后解不等式可得.【詳解】因?yàn)?，x＞0，y＞0，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)楹愠闪?，所以有恒成立，解得，即k的取值范圍為.【題型10】一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布問題，原理簡(jiǎn)單，難點(diǎn)在于要有清晰的分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想.一般考慮以下幾方面：開口（若不能判定，則需分類討論，特別要注意二次項(xiàng)系數(shù)有可能等于零的情況

）.判定給定點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù).（開口向上的二次函數(shù)若存在函數(shù)值小于零，則△＞0

恒成立）判定△符號(hào).判定對(duì)稱軸的位置.

總之，耐心去分類討論（分類討論不容易失誤，一步到位往往會(huì)漏解或多解），借助圖象去分析就可以得到結(jié)論，無需記憶.（1）二元二次方程在上根的分布情況①方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;③方程沒有實(shí)數(shù)根（2）一元二次方程的根的“0”分布①方程有兩個(gè)不等正根；②方程有兩個(gè)不等負(fù)根③方程有一正根和一負(fù)根,設(shè)兩根為（3）一元二次方程的根的“”分布①兩根都小于； ②兩根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在區(qū)間的分布①兩根都在內(nèi) ②兩根都在外 ③兩根僅有一根在內(nèi) ④一根在內(nèi),另一根在內(nèi) 類型一：類型一：根的“0”分布已知二次方程2m+1x2?2mx+解析方法一：當(dāng)2m+1>0時(shí)，若要滿足題意，必須f0當(dāng)2m+1<0時(shí)，若要滿足題意，必須f0即2m+1f0<0?方法二：(韋達(dá)定理)設(shè)x1,x?=4m2?4（2024·高一·山東濰坊·階段練習(xí)）關(guān)于x的方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，求的取值范圍．【解析】①當(dāng)時(shí)，解得，滿足條件；②當(dāng)時(shí)，顯然方程沒有零根，由，得設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為若方程有兩異號(hào)實(shí)根，則，解得；若方程有兩個(gè)負(fù)的實(shí)根，則，解得．綜上，若方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，則．類型二：類型二：兩根與k的大小比較已知方程的一個(gè)實(shí)根小于2，另一個(gè)實(shí)根大于2，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)榉匠痰囊粋€(gè)實(shí)根小于2，另一個(gè)實(shí)根大于2，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.類型三：類型三：根在區(qū)間上的分布若方程7x2?(m+13)x?m?2=0的一個(gè)根在區(qū)間答案(?解析設(shè)函數(shù)f(∵方程7x2?(m∴f(0)>0f(1)<0f(2)>0則?即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(?故答案為：(?4，?2)．已知方程x2?a2x圍為．答案(解析設(shè)f(方程x2?a2x可得f(0)>0，f即有－a+1>0，且即為a<1a>1或故答案為：(?若關(guān)于x的一元二次方程x2+ax?2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<?1 C．?1<a<1答案C解析由題意設(shè)f(x)=x∵方程x2+ax?2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1∴f(?1)<0f(1)<0，則1?a?2<0【鞏固練習(xí)1】若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且．則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】令函數(shù)，依題意，的兩個(gè)不等實(shí)根滿足，而函數(shù)圖象開口向上，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【鞏固練習(xí)2】已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于，另一個(gè)大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)已知條件及方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】顯然，關(guān)于的方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，因?yàn)榈膬蓚€(gè)實(shí)根一個(gè)小于，另一個(gè)大于等價(jià)于二次函的圖象與軸的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)小于0，另一個(gè)大于，所以，即，解得；②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，因?yàn)榈膬蓚€(gè)實(shí)根一個(gè)小于，另一個(gè)大于等價(jià)于二次函的圖象與軸的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)小于0，另一個(gè)大于，所以，即，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)的范圍是．【鞏固練習(xí)3】方程x2?2ax+1=0的兩根分別在(0,1)與(1,3)A．1<a<53 B．a(chǎn)<1或a>答案A解析令f(x)=∵方程x2?2ax+1=0的兩根分別在(0,1)與∴f(0)>0f(1)<0f(3)>0∴1<a<∴a的取值范圍為(1,【鞏固練習(xí)4】已知關(guān)于x的方程ax2+x+2=0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于0，另一個(gè)大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是解析關(guān)于x的方程ax2若a>0ax2+x+2=0只需f(0)<0，且f即2<0且a+3<0，則a若a<0ax2+x+2=0只需f(0)>0，且f即2>0且a+3>0，則－3<綜上可得a的范圍是(?故答案為：(?【鞏固練習(xí)5】已知方程x2+(1+a)x+4+a=0的兩根為x1,x2，且答案(解析由程x2知對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(又∵方程x2+(1+a則f(0)>0f(1)<0,即4+a∴?故答案為(【鞏固練習(xí)6】（23-24高一上·遼寧大連·期中）關(guān)于x的方程至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)是不是為零進(jìn)行分類討論，結(jié)合根的判別式及韋達(dá)定理即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，此時(shí)方程的根為負(fù)根，當(dāng)時(shí)，方程，當(dāng)方程有二個(gè)負(fù)根時(shí)，則有，當(dāng)方程有一個(gè)負(fù)根一個(gè)正根時(shí)，則有，綜上所述：當(dāng)關(guān)于x的方程至少有一個(gè)負(fù)根時(shí)，有，即關(guān)于x的方程至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是.【鞏固練習(xí)7】方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)有，，，求得的取值范圍.【詳解】令，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)，若一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間（3，4）內(nèi)，只需，即，解不等式組可得，即的取值范圍為【題型11】含參一元二次不等式與充分，必要條件已知條件：“不等式的解集是空集”，則條件：“”是條件的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧强占?，所以不等式的解集是，?dāng)即時(shí)，若，則，舍；若，則，；當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，所以條件是條件的充分不必要條件．（23-24高一上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知“”是“”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式求為真對(duì)應(yīng)x的范圍，根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)范圍.【詳解】由或，由，又是成立的必要不充分條件，則且，所以或，故的取值范圍為.【鞏固練習(xí)1】（23-24高一上·河南·期末）“”是“不等式對(duì)任意的恒成立”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】先根據(jù)不等式恒成立得出.比較，即可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立；當(dāng)時(shí)，要使不等式對(duì)任意的恒成立，則應(yīng)有，解得.綜上所述，的取值范圍為.顯然“”包含的范圍包含于“”包含的范圍，所以，“”是“不等式對(duì)任意的恒成立”的充分不必要條件.故選：A.【鞏固練習(xí)2】已知p：，q：，（），若p是q的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】命題對(duì)應(yīng)的集合為，命題對(duì)應(yīng)的集合為，由p是q的充分非必要條件，可得是的真子集，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，解之即可.【詳解】解：由不等式，解得，設(shè)命題對(duì)應(yīng)的集合為，則，由不等式，解得，設(shè)命題對(duì)應(yīng)的集合為，則，因?yàn)閜是q的充分非必要條件，所以是的真子集，則（不同時(shí)取等號(hào)），解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【鞏固練習(xí)3】已知:,:，若是的充分而不必要條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】先解絕對(duì)值不等式和二次不等式，再由充分不必要條件得出不等式組，求解即可.【詳解】由解得．由解得．不妨設(shè)，，因?yàn)槭堑某浞侄槐匾獥l件，所以是的充分而不必要條件，所以是的真子集，即，解得．【鞏固練習(xí)4】設(shè)p：，q：，若是q的充分不必充要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】試題分析：，，，是的充分不必充要條件，所以，解得.【課后作業(yè)】（多選）已知關(guān)于的不等式的解集是或，則下列說法正確的是（）A．B．不等式的解集是C．不等式的解集是D．【答案】ACD【分析】由一元二次不等式與解集的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用韋達(dá)定