數(shù)學分析20.1第一型曲線積分(含習題及參考答案)

第二十章曲線積分1第一型曲線積分一、第一型曲線積分的定義引例：設(shè)某物體的密度函數(shù)f(P)是定義在Ω上的連續(xù)函數(shù).當Ω是直線段時，應用定積分就能計算得該物體的質(zhì)量.當Ω是平面或空間中某一可求長度的曲線段時，可以對Ω作分割，把Ω分成n個可求長度的小曲線段Ωi(i=1,2,…,n)，并在每一個Ωi上任取一點Pi.由f(P)為Ω上的連續(xù)函數(shù)知，當Ωi的弧長都很小時，每一小段Ωi的質(zhì)量可近似地等于f(Pi)△Ωi,其中△Ωi為小曲線段Ωi的長度.于是在整個Ω上的質(zhì)量就近似地等于和式.當對Ω有分割越來越細密(即d=→0)時，上述和式的極限就是該物體的質(zhì)量.定義1：設(shè)L為平面上可求長度的曲線段，f(x,y)為定義在L上的函數(shù).對曲線L作分割T，它把L分成n個可求長度的小曲線段Li(i=1,2,…,n)，Li的弧長記為△si，分割T的細度為=，在Li上任取一點(ξi,ηi),(i=1,2,…,n).若有極限=J，且J的值與分割T與點(ξi,ηi)的取法無關(guān)，則稱此極限為f(x,y)在L上的第一型曲線積分，記作：.注：若L為空間可求長曲線段，f(x,y,z)為定義在L上的函數(shù)，則可類似地定義f(x,y,z)在空間曲線L上的第一型曲線積分.性質(zhì)：1、若(i=1,2,…,k)存在，ci(i=1,2,…,k)為常數(shù)，則=.2、若曲線L由曲線L1,L2,…,Lk首尾相接而成，且(i=1,2,…,k)都存在，則也存在，且=.3、若與都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，則≤.4、若存在，則也存在，且≤.5、若存在，L的弧長為s，則存在常數(shù)c，使得=cs,這里≤c≤.6、第一型曲線積分的幾何意義：(如圖)若L為平面Oxy上分段光滑曲線，f(x,y)為定義在L上非負連續(xù)函數(shù).由第一型曲面積分的定義，以L為準線，母線平行于z軸的柱面上截取0≤z≤f(x,y)的部分面積就是.二、第一型曲線積分的計算定理20.1：設(shè)有光滑曲線L:,t∈[α,β]，函數(shù)f(x,y)為定義在L上的連續(xù)函數(shù)，則=.證：由弧長公式知，L上由t=ti-1到t=ti的弧長為△si=.由的連續(xù)性與積分中值定理，有△si=△ti(ti-1<<t=ti)，∴=(ti-1<,<t=ti).設(shè)σ=，則有=+σ.令△t=max{△t1,△t2,…,△tn}，則當→0時，必有△t→0.又復合函數(shù)f(φ(t),ψ(t))關(guān)于t連續(xù)，∴在[α,β]上有界，即存在常數(shù)M，使對一切t∈[α,β]，都有|f(φ(t),ψ(t))|≤M.再由在[α,β]上連續(xù)，從而在[α,β]上一致連續(xù)，即?ε>0,?δ>0，使當△t<δ時有<ε,從而|σ|≤εM=εM(β-α)，即=0.又由定積分的定義，得=.故==+σ=.注：1、若曲線L由方程y=ψ(x),x∈[a,b]表示，且ψ(x)在[a,b]上有連續(xù)的導函數(shù)時，則有=.2、當曲線L由方程x=φ(y),y∈[c,d]表示，且φ(y)在[c,d]上有連續(xù)的導函數(shù)時，則有=.3、對空間曲線積分，當曲線L由參量方程x=φ(t),y=ψ(t),z=χ(t),t∈[α,β]表示時，有=.4、由第一型曲線積分的定義，在Oxy平面上，線密度為ρ(x,y)的曲線狀物體對x,y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為：Jx=和Jx=.例1：設(shè)L是半圓周,t∈[0,π]，試計算第一型曲線積分.解：===a3π.例2：設(shè)L是y2=4x從O(0,0)到A(1,2)的一段，試求第一型曲線積分.解：====.例3：計算，其中L為球面x2+y2+z2=a2被平面x+y+z=0所截得的圓周.解：由對稱性知，==，∴===.例4：求線密度ρ(x,y)=的曲線段y=lnx,x∈[1,2]對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量.解：Jx=====ln4-.習題1、計算下列第一型曲線積分：(1),其中L是以O(shè)(0,0),A(1,0),B(0,1)為頂點的三角形；(2),其中L是以原點為中心，R為半徑的右半圓周；(3),其中L為橢圓+=1在第一象限中的部分；(4),其中L為單位圓周x2+y2=1；(5),其中L為螺旋線x=acost,y=asint,z=bt(0≤t≤2π)的一段；(6),其中L是曲線x=t,y=,z=t2(0≤t≤1)的一段；(7),其中L為x2+y2+z2=a2與x=y相交的圓周.解：(1)=++=++=1+.(2)右半圓的參數(shù)方程為：x=Rcosθ,y=Rsinθ,-≤θ≤.∴==πR2.(3)方法一：∵y=,y’=,∴===.方法二：L的參數(shù)方程為：x=acosθ,y=bsinθ,0≤θ≤.∴===.(4)方法一：圓的參數(shù)方程為：x=cosθ,y=sinθ,0≤θ≤2π，∴=-=4.方法二：∵|y|=,(|y|)’=,∴=2=2=4.(5)==(3a2+4π2b2).(6)x’=1,y’=,z’=t,∴===.(7)依題意，L的參數(shù)方程可表示為：x=y=cosθ,z=asinθ,0≤θ≤2π，∴==2a2π.2、求曲線x=a,y=at,z=at2(0≤t≤1,a>0)的質(zhì)量，設(shè)線密度為ρ=.解：===.3、求擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤t≤π)的質(zhì)心，設(shè)其質(zhì)量分布均勻.解：∵dx==2asindt，m=2aρ0=4aρ0.∴質(zhì)心坐標為x===;y==.4、若曲線以極坐標ρ=ρ(θ)(θ1≤θ≤θ2)表示，試給出計算的公式，并用此公式計算下列曲線的積分：(1),其中L為曲線ρ=a(0≤θ≤)的一段；(2),其中L為對數(shù)螺線ρ=aekθ(k>0)在圓r=a內(nèi)的部分.解：L的參數(shù)方程為x=ρ(θ)cosθ,y=ρ(θ)sinθ,(θ1≤θ≤θ2)，ds==，∴=.(1)==aea.(2)=a=a2=.注：∵====；∴=，即=.5、證明：若函數(shù)f(x,y)在光滑曲線L:x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]上連續(xù)，則存在點(x0,y0)∈L，使得=f(x0,y0)△L，其中△L為L的弧長.證：∵f在光滑曲線L上連