第9講空間直線與平面單元測(cè)試（能力提升）

第9講空間直線與平面單元測(cè)試（能力提升）一、填空題1．下列判斷中：①三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②一條直線和一點(diǎn)確定一個(gè)平面；③兩條直線確定一個(gè)平面；④三角形和梯形一定是平面圖形；⑤四邊形一定是平面圖形；⑥六邊形一定是平面圖形；⑦兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面.其中正確的是___________.【答案】④【分析】根據(jù)平面的公理及推論進(jìn)行判斷得解【解析】解①根據(jù)公理2知，必須是不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故①不對(duì)；②根據(jù)一條直線和直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面知，故②不對(duì)；③由異面直線的定義知，兩條直線不一定確定一個(gè)平面，故③不對(duì)；④因梯形的一組對(duì)邊平行，所以由“兩條平行確定一個(gè)平面”知，梯形是一個(gè)平面圖形，又因三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線，故④對(duì)；

⑤比如空間四邊形則不是平面圖形，故⑤不對(duì)；⑥比如空間六邊形則不是平面圖形，故⑥不對(duì)；⑦兩兩相交于同一點(diǎn)的三條直線，如三棱錐的三個(gè)側(cè)面，它們確定了三個(gè)平面，故⑦不對(duì)．故答案為：④．2．如圖，已知是平行四邊形平面外一點(diǎn)，、分別是、上的點(diǎn)，且，則___平面.

【答案】【分析】過作交于，連接，證明出平面平面，然后利用面面平行的性質(zhì)可得出結(jié)論.【解析】過作交于，連接，可得，由已知條件得，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?又，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)椋云矫嫫矫?，因?yàn)槠矫?，所以平?故答案為：.3．已知，是異面直線，點(diǎn)，，，，且，，則所成的角是___________.【答案】【分析】過點(diǎn)A作直線l//b，再在直線l上取點(diǎn)O，使AO=CD，證明平面，求出即可得解.【解析】過點(diǎn)A作直線l//b，再在直線l上取點(diǎn)O，使AO=CD，連接BO，DO，如圖，于是得異面直線，所成角是或其補(bǔ)角，顯然四邊形ACDO是平行四邊形，則，而，即是矩形，從而有，因，，則，又，平面BOD，于是得平面，又平面，因此，，中，AO=CD=1，AB=2，則，從而得，所以異面直線所成的角是.故答案為：4．如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD．給出下列命題：①PB⊥AC；②平面PAB與平面PCD的交線與AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD為銳角三角形．其中正確命題的序號(hào)是________．【答案】②③【分析】設(shè)AC∩BD=O，由題意證明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，與在同一平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直矛盾說明①錯(cuò)誤；由線面平行的判定和性質(zhì)說明②正確；由線面垂直的判定和性質(zhì)說明③正確；由勾股定理即可判斷，說明④錯(cuò)誤．【解析】設(shè)AC∩BD=O,如圖，①若PB⊥AC，∵AC⊥BD，則AC⊥平面PBD，∴AC⊥PO，又PA⊥平面ABCD，則AC⊥PA，在平面PAC內(nèi)過P有兩條直線與AC垂直，與在同一平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直矛盾，①錯(cuò)誤；②∵CD∥AB，則CD∥平面PAB，∴平面PAB與平面PCD的交線與AB平行，②正確；③∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，則平面PBD⊥平面PAC，③正確；④∵PD2=PA2+AD2，PC2=PA2+AC2，AC2=AD2+CD2，AD=CD，∴PD2+CD2=PC2，∴④△PCD為直角三角形，④錯(cuò)誤，故答案為：②③5．線段分別交兩平行平面于A，B兩點(diǎn)，線段分別交平面于C，D兩點(diǎn)，線段分別交平面于F，E兩點(diǎn)，若，，，的面積為72，則的面積為________．【答案】84.【分析】利用，得到，，從而得到線段長(zhǎng)的比例，進(jìn)而得到與的面積關(guān)系，利用的面積為72，即可求得的面積．【解析】平面，平面，又，,同理可證：與相等或互補(bǔ)，.由，得,.由，得,.又,的面積為84.故答案為：84.【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的性質(zhì)定理，在運(yùn)用兩平面平行的性質(zhì)定理時(shí),一定要先找到與兩平行平面都相交的第三個(gè)平面,繼而推得兩交線平行，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題.6．已知異面直線所成角為，過空間一點(diǎn)有且僅有條直線與所成角都是，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】將直線平移交于點(diǎn)，并作及其外角的角平分線；根據(jù)過空間一點(diǎn)有且僅有條直線與所成角都是，可知方向上有兩條，方向上不存在，由此可得范圍.【解析】將直線平移交于點(diǎn)，設(shè)平移后的直線為，過點(diǎn)作及其外角的角平分線，則；在方向，要使過空間一點(diǎn)的直線，且與所成角都是的直線有兩條，則；在方向，要使過空間一點(diǎn)的直線，且與所成角都是的直線不存在，則；綜上所述：.故答案為：.7．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，與底面成角，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值是________.【答案】【分析】作，再由，易得，從而平面ABE，由面面垂直的判定定理得到平面ABE平面BCD，得到與底面成的角為,然后在中，設(shè)，BA與BP的夾角為，利用余弦定理得，根據(jù)直線與平面所成的角是平面內(nèi)直線與該直線所成的角中最小的角，得到，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解.【解析】如圖所示：作，垂足為E，連接BE，因?yàn)?所以平面ACD，則，又，所以平面ABE，又平面BCD，所以平面ABE平面BCD，所以點(diǎn)A的射影在直線BE上，所以與底面成的角為,在中，設(shè)，BA與BP的夾角為，由余弦定理得，兩邊同除以得，因?yàn)橹本€與平面所成的角是平面內(nèi)直線與該直線所成的角中最小的角，所以，所以，當(dāng)點(diǎn)在BE上取等號(hào)，又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，即點(diǎn)P在E處，取得最小值，所以的最小值是，故答案為；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是在中，根據(jù)直線與平面所成的角是平面內(nèi)直線與該直線所成的角中最小的角，得到，將余弦定理，轉(zhuǎn)化為，由點(diǎn)在BE上求解.8．如圖，已知四棱錐，底面為正方形，平面．給出下列命題：①；②平面與平面的交線與平行；③平面平面；④為銳角三角形．其中正確命題的個(gè)數(shù)是___________．【答案】【分析】設(shè)，由題意證明，由已知可得，在平面內(nèi)過有兩條直線與垂直可判斷①錯(cuò)誤；由線面平行的判定和性質(zhì)可判斷②；由線面垂直的判定和性質(zhì)可判斷③，④，進(jìn)而可得正確答案.【解析】對(duì)于①：設(shè)，則，若，，則平面，所以，又平面，則，在平面內(nèi)過有兩條直線與垂直，與在同一平面內(nèi)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直矛盾，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：因?yàn)?，面，面，則面，因?yàn)槊妫删€面平行的性質(zhì)定理可得平面與平面的交線與平行，故②正確；對(duì)于③：因?yàn)槠矫?，面，所以，又因?yàn)?，，所以平面，因?yàn)槊?，則平面平面，故③正確；對(duì)于④：因?yàn)槠矫?，面，所以，又因?yàn)?，，所以面，因?yàn)槊妫?，所以為直角三角形，故④錯(cuò)誤，所以正確的有②③，正確命題的個(gè)數(shù)是，故答案為：.9．如圖，在直角梯形中，，，且E為的中點(diǎn)，M?N分別是，的中點(diǎn)，將沿折起，則下列說法正確的是______.(寫出所有正確說法的序號(hào))①不論D折至何位置(不在平面內(nèi)），都有平面；②不論D折至何位置(不在平面內(nèi))都有；；③不論D折至何位置(不在平面內(nèi))，都有；④不論D折至何位置(不在平面內(nèi))，都有不垂直.【答案】①②【分析】對(duì)于說法①，利用線面平行的判定定理，只需證平行于平面內(nèi)的直線即可；對(duì)于說法②，由于，要證明，只需證明，可轉(zhuǎn)化為證平面，由及得證．對(duì)于說法③，假設(shè)，利用平行公理4逐步推導(dǎo)，得出矛盾，即可判斷其正誤．對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，即可判斷；【解析】解：①在直角梯形中，由，，知四邊形為矩形．連結(jié)，為中點(diǎn)，過點(diǎn)．當(dāng)折至某一位置時(shí)，如右圖所示，連結(jié)，為中位線，由平面，平面，得平面．所以說法①正確．②，，，平面，又平面，．由①知，，．所以說法②正確．③假設(shè)，由知，，又，得，這與相矛盾，所以假設(shè)不成立，即說法③錯(cuò)誤．④當(dāng)時(shí)，．這是因?yàn)?，由于，，所以面，面．得出．④錯(cuò)誤．故答案為：①②．【點(diǎn)睛】本題考查空間直線和直線、直線和平面位置關(guān)系的判斷．利用有關(guān)的定義、定理、性質(zhì)確定命題的正確性，結(jié)合反例、反證法說明命題的錯(cuò)誤性，是判斷命題真假的常用方法．10．在中，已知，，是斜邊上任意一點(diǎn)（如圖①沿直線將折成直二面角（如圖②．若折疊后，兩點(diǎn)間的距離為，則的最小值為______．【答案】【分析】由題意可知，變量為的大小，所以設(shè)，折成直二面角后，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，作垂直于交線的線，則垂直于平面，從而將線段放在直角三角形中，根據(jù)勾股定理，寫出關(guān)于的表達(dá)式，即可求出最小值【解析】如圖1所示，設(shè)，，則，過作于，過作交的延長(zhǎng)線于，所以，，，，所以，所以如圖2所示，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，交線為，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?三角形為直角三角形，根據(jù)勾股定理，．可知當(dāng)，即當(dāng)為的角平分線時(shí)，取得最小值故答案為：11．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足，是側(cè)面四邊形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是_________．【答案】【分析】取中點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連結(jié)、、，可得平面平面，則可得線段，由此可知當(dāng)與的中點(diǎn)重合時(shí)，線段長(zhǎng)度取最小值，當(dāng)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，線段長(zhǎng)度取最大值或，然后根據(jù)題中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可【解析】解：取中點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連結(jié)、、，則平面平面，∵是側(cè)面四邊形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），平面，∴線段，∴當(dāng)與的中點(diǎn)重合時(shí)，線段長(zhǎng)度取最小值，當(dāng)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，線段長(zhǎng)度取最大值或，∵在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足，∴，，．∴線段長(zhǎng)度的取值范圍是．故答案為：12．已知三棱錐中，為中點(diǎn)，平面，，，則下列說法中正確的序號(hào)為______.①若為的外心，則；②若為等邊三角形，則；③當(dāng)時(shí)，與平面所成角的范圍為；④當(dāng)時(shí)，為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，若平面，則在內(nèi)的軌跡長(zhǎng)度為2.【答案】①③④【分析】對(duì)于①，利用外心的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于②，利用反證法可判斷；對(duì)于③，過作，連接，易知為與平面所成角，即可判斷；對(duì)于④，利用面面平行可得軌跡長(zhǎng)度.【解析】如圖①，若為的外心，連接，則，又平面，故，故①正確；假設(shè)，則再根據(jù)，得平面，則，與為等邊三角形矛盾，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，過作，連接，如圖①，易知為與平面所成角，，故的范圍為，故③正確；如圖②，取，分別為，的中點(diǎn)，則平面平面，則線段為在內(nèi)的軌跡，其長(zhǎng)度為2，故①③④正確.故答案為：①③④二、單選題13．如圖，在矩形中，，，為邊的中點(diǎn)，沿將折起，在折起的過程中，下列結(jié)論能成立的是（）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】B【分析】用線面垂直的判定定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一結(jié)合條件分析即可.【解析】因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，AB＝4，BC＝2，E為DC邊的中點(diǎn)，則在折起過程中，D點(diǎn)在平面BCE上的射影的軌跡為為O1O2(如圖)．因?yàn)檎燮疬^程中，DE與AC所成角不能為直角，所以DE不垂直于平面ACD，故A錯(cuò)；因?yàn)锳D⊥ED，并且在折起過程中，當(dāng)點(diǎn)D的射影位于O點(diǎn)時(shí)，有AD⊥BD，所以在折起過程中AD⊥平面BED能成立，故B正確；折起過程中，BD與AC所成的角不能為直角，所以BD不垂直于平面ACD，故C錯(cuò)；只有D點(diǎn)射影位于O2位置，即平面AED與平面AEB重合時(shí)，才有BE⊥CD，所以折起過程中CD不垂直于平面BED，故D錯(cuò).故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：立體幾何中折疊問題，要注重折疊前后垂直關(guān)系的變化,不變的垂直關(guān)系是解決該問題的關(guān)鍵.14．在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，是上底面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、，推導(dǎo)出平面平面，可得出點(diǎn)的軌跡為線段，進(jìn)而可求得線段長(zhǎng)度的取值范圍.【解析】如下圖所示，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則且，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，在正方體中，且，且，所以四邊形為平行四邊形，可得，平面，平面，平面，同理可證平面，，所以，平面平面，在線段上任取一點(diǎn)，則平面，平面，即點(diǎn)的軌跡為線段，在中，，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)為的中點(diǎn)，的長(zhǎng)度取最小值，即，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)的重合時(shí)，的長(zhǎng)度取最大值，即.因此，線段長(zhǎng)度的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線段長(zhǎng)度取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是利用平面推測(cè)出點(diǎn)的軌跡，一般利用線面平行的性質(zhì)或面面平行的性質(zhì)來找出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，在確定點(diǎn)的軌跡后，再利用幾何知識(shí)求解.15．如圖，在長(zhǎng)方形中，，現(xiàn)將沿折至，使得二面角為銳二面角，設(shè)直線與直線所成角的大小為，直線與平面所成角的大小為，二面角的大小為，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】先證明最小角定理，再過點(diǎn)作平面，過點(diǎn)作平面，連接，過作，連接，可得，，由等體積法可得，進(jìn)而可得的大小，在平面內(nèi)，，所以.所以等于直線與所成的角也為直線與平面所成的角，根據(jù)上面已證的最小角定理有，從而得到答案.【解析】解決本題，先來了解最小角定理：平面外的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角平面斜交的直線與它在該平面內(nèi)的射影的夾角不大于直線與平面內(nèi)其他直線的夾角．證明如下：直線與平面斜交，斜足為，平面，，由平面，，可證明平面，則．則，，，所以，即，故，．過點(diǎn)作平面，過點(diǎn)作平面，連接.過作，連接，如圖：則為直線與平面所成角，即，由平面，則，又，且所以平面，則所以為二面角的平面角，即，又，即，且，所以.由，由，所以，即，也即.又在平面內(nèi)，，所以.所以等于直線與所成的角，也為直線與平面所成的角.根據(jù)上面已證的最小角定理有.所以，故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：最小角定理：平面外的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角平面斜交的直線與它在該平面內(nèi)的射影的夾角不大于直線與平面內(nèi)其他直線的夾角．16．如圖，正方形和正方形成的二面角，將繞旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中（1）對(duì)任意位置，總有直線與平面相交；（2）對(duì)任意位置，平面與平面所成角大于或等于；（3）存在某個(gè)位置，使平面；（4）存在某個(gè)位置，使.其中正確的是（）.A．（1）（3） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）【答案】C【分析】采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)線線、線面、面面之間的位置關(guān)系，可得結(jié)果.【解析】過作的平行線，如圖當(dāng)平面過時(shí)，直線與平面平行，故（1）錯(cuò)誤；繞旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)以為高，為底面半徑的圓錐，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則向量所在直線與圓錐底面所成角為，向量所在直線為圓錐底面的半徑所在直線，根據(jù)最小角原理，與的夾角大于或等于，故（2）正確；若有平面，則，∴平面，則在平面內(nèi)，此時(shí)與平面所成角為或，矛盾，故（3）錯(cuò)誤；當(dāng)，∴平面時(shí)，，∴，故（4）正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中存在性問題，重在考查空間想象能力，屬基礎(chǔ)題.17．在邊長(zhǎng)為1的正方體中，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則三角形面積的最小值為（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線與平面沒有公共點(diǎn)可知平面.將截面補(bǔ)全后,可確定點(diǎn)的位置,進(jìn)而求得三角形面積的最小值.【解析】由題意,,分別是棱,,的中點(diǎn),補(bǔ)全截面為,如下圖所示:因?yàn)橹本€與平面沒有公共點(diǎn)所以平面,即平面,平面平面此時(shí)位于底面對(duì)角線上,且當(dāng)與底面中心重合時(shí),取得最小值此時(shí)三角形的面積最小故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì)與應(yīng)用,過定點(diǎn)截面的作法,屬于難題.18．如圖所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分別是BF，CE上的點(diǎn)，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如圖1），將四邊形ADEF沿AD折起，連結(jié)BE、BF、CE（如圖2）．在折起的過程中，下列說法中正確的個(gè)數(shù)（）①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四點(diǎn)可能共面；③若EF⊥CF，則平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE與平面BEF可能垂直A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)折疊前后線段、角的變化情況，由線面平行、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理對(duì)各命題進(jìn)行判斷，即可得出答案．【解析】對(duì)①，在圖②中，連接交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接MO，易證AOMF為平行四邊形，即AC//FM，所以AC//平面BEF，故①正確；對(duì)②，如果B、C、E、F四點(diǎn)共面，則由BC//平面ADEF，可得BC//EF，又AD//BC，所以AD//EF，這樣四邊形ADEF為平行四邊形，與已知矛盾，故②不正確；對(duì)③，在梯形ADEF中，由平面幾何知識(shí)易得EFFD，又EFCF，∴EF平面CDF，即有CDEF，∴CD平面ADEF，則平面ADEF平面ABCD，故③正確；對(duì)④，在圖②中，延長(zhǎng)AF至G，使得AF=FG，連接BG，EG，易得平面BCE平面ABF，BCEG四點(diǎn)共面．過F作FNBG于N，則FN平面BCE，若平面BCE平面BEF，則過F作直線與平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．19．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，根據(jù)面面平行的判定定理，得到平面平面，確定線段掃過的圖形是，再由題中數(shù)據(jù)，得到是直角，進(jìn)而即可求出結(jié)果.【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則，，∴平面平面，∴平面，線段掃過的圖形是∵，∴，∴，∴是直角，∴線段長(zhǎng)度的取值范圍是.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面平行的判定，熟記面面平行的判定定理即可，屬于?？碱}型.20．如圖，已知在中，為線段上一點(diǎn)，沿將翻轉(zhuǎn)至，若點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好落在線段上，則二面角的正切的最大值為（）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】過作交BC于E，連接EH，結(jié)合已知條件有二面角的平面角為，而，設(shè)且，則，即可求，，應(yīng)用函數(shù)與方程思想，構(gòu)造且在上有解求參數(shù)m的范圍，即可得二面角正切的最大值.【解析】過作交BC于E，連接EH，∵在平面內(nèi)的射影恰好落在線段上，即面，∴且，,即面，面，則,∴二面角的平面角為，在中，，若令，則，又，∴，且，故，則，即方程在上有解時(shí)，m的最大值即為所求，而開口向上且，即，對(duì)稱軸.∴當(dāng)時(shí)，，顯然成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)對(duì)稱軸在上，恒成立；當(dāng)對(duì)稱軸在上，，即；∴綜上，有，即，故二面角的正切的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三垂線定理找到二面角的平面角，進(jìn)而根據(jù)線段關(guān)系、勾股定理求，，由，結(jié)合函數(shù)與方程的思想求參數(shù)m范圍，進(jìn)而確定最大值.三、解答題21．已知正方體中，?分別為對(duì)角線?上的點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）若是上的點(diǎn)，的值為多少時(shí)，能使平面平面？請(qǐng)給出證明．【答案】（1）證明見解析；（2）的值為，證明見解析．【分析】（1）連結(jié)并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，證明，，又平面，平面，證明平面；（2）是上的點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，能使平面平面，通過證明平面，又，平面．然后證明即可．【解析】（1）連結(jié)并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，故，所以，又因?yàn)?，所以，所以．又平面，平面，故平面．?）當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，能使平面平面．證明：因?yàn)?，即有，故．所以．又平面，平面，所以平面，又，平面．所以平面平面．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定定理，平面與平面平行的判定定理，考查空間想象能力邏輯推理能力．22．如圖1所示，在直角梯形中，，，，，，邊上一點(diǎn)E滿足.現(xiàn)將沿折起到的位置，使平面平面，如圖2所示.

（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接，連接交于點(diǎn)O，證明平面即可；（2）延長(zhǎng)，，設(shè)，連接，可得是平面與平面的交線，作，垂足為H，連接，然后證明為平面與平面所成銳二面角的平面角，然后求出即可.【解析】（1）證明：在圖1中，連接，易求.∴四邊形為菱形.連接交于點(diǎn)O，則.∴在圖2中，，.又，∴平面.又平面，∴.

（2）解：在圖2中延長(zhǎng)，，設(shè)，連接.∵平面，平面.又平面，平面.∴是平面與平面的交線.∵平面平面，，平面平面，∴平面.又平面，∴.作，垂足為H，連接.又，∴平面，又平面，∴.∴即為平面與平面所成銳二面角的平面角.由（1）知，，為等邊三角形，∴.∵，∴，解得在中，.∴∴平面與平面所成銳二面角的余弦值.【點(diǎn)睛】本題考查的是線面垂直的證明和面面垂直的性質(zhì)、二面角的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力，屬于較難題.23．如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，側(cè)棱與底面所成的角的正切值為．（1）求側(cè)面與底面所成的二面角的大??；（2）若是的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的正切值；（3）問在棱上是否存在一點(diǎn)，使⊥側(cè)面，若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)為的四等分點(diǎn).【分析】（1）取中點(diǎn)，設(shè)面，連，則為二面角的平面角，利用解直角三角形可求其正切值．（2）連，則為異面直線與所成的角，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而求得后可求的值．（3）可證點(diǎn)為的四等分點(diǎn)．【解析】（1）取中點(diǎn)，設(shè)面，連，則為二面角的平面角，為側(cè)棱與底面所成的角，，設(shè)，，，∴．（2）連，為異面直線與所成的角．因?yàn)?，，所以平?平面，所以.∵,∴。（3）延長(zhǎng)交于，取中點(diǎn)，連、．因?yàn)?，，，故平面，因平面，故平面平面，又，故為等邊三角形，所以，由平面，故因?yàn)?，所以平?取的中點(diǎn)，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，所以∴平面．即為四等分點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查考查空間中的垂直關(guān)系以及空間角的計(jì)算，解題時(shí)注意三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，空間角的計(jì)算需構(gòu)造空間角，把空間角放置在可解的三角形中來討論，本題為難題.24．如圖，在四棱錐B﹣ACDE中，正方形ACDE所在的平面與正三角形ABC所在的平面垂直，點(diǎn)M，N分別為BC，AE的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CD上．（1）證明：MN∥平面BDE；（2）若AB＝2，點(diǎn)M到AF的距離為，求CF的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）1．【分析】（1）證得MN∥EG，然后根據(jù)線面平行的判定定理即可證得結(jié)論；（2）作出輔助線，結(jié)合MK可求得IK的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出CH，然后在中利用等面積法即可求出結(jié)果.【解析】（1）證明：取BD的中點(diǎn)G，連接EG，MG，∵M(jìn)為棱BC的中點(diǎn)，∴MG∥CD，且MG＝CD．又N為棱AE的中點(diǎn)，四邊形ACDE為正方形，∴EN∥CD，且EN＝CD．從而EN∥MG，且EN＝MG，于是四邊形EGMN為平行四邊形，則MN∥EG．∵M(jìn)N平面BDE，EG?平面BDE，∴MN∥平面BDE．（2）解：過M作MI⊥AC于I，∵平面ACDE⊥平面ABC，∴MI⊥平面ACDE，過I作IK⊥AF于K，連接MK，則MK⊥AF．∵AB＝2，∴MI＝2，∴MK，∴IK，過C作CH⊥AF于H，易知，則CH，∵CH，∴CF＝1．25．設(shè)正三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn).，.（1）求證：平面；（2）若為側(cè)面（含邊界）上一點(diǎn)，滿足平面，求長(zhǎng)度的取值范圍；（3）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明詳見解析；（2）；（3）.【分析】（1）通過證明證得平面.（2）通過面面平行求得點(diǎn)的軌跡，由此求得長(zhǎng)度的取值范圍.（3）利用等體積法求得到平面的距離，從而求得直線與平面所成角的正弦值，也即直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）由于三棱柱是正三棱柱，所以平面，則，三角形是等邊三角形，是的中點(diǎn)，所以