453函數(shù)模型的應(yīng)用-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期講與練(人教A版2019)（原卷版）

函數(shù)模型的應(yīng)用一、幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型：（，為常數(shù)，）2、二次函數(shù)模型：（為常數(shù)，）3、指數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）4、對(duì)數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）5、冪函數(shù)模型：（為常數(shù)，）6、分段函數(shù)模型：二、用函數(shù)模型解應(yīng)用問(wèn)題的四個(gè)步驟1、審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；2、建模：將自然語(yǔ)言化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；3、求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型；4、還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題。三、函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟1、通過(guò)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點(diǎn)圖；2、通過(guò)觀察散點(diǎn)圖，畫(huà)出擬合直線或擬合曲線；3、求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式；4、根據(jù)擬合誤差要求判斷，選擇最佳的擬合函數(shù)；5、利用選取的擬合函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)；6、利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，為決策和管理提供依據(jù)。題型一根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的增長(zhǎng)率選擇合適的函數(shù)模型【例1】在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會(huì)較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會(huì)減慢．在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測(cè)到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬(wàn)個(gè)）與培養(yǎng)時(shí)間（單位：時(shí)）的關(guān)系如下表，為了描述從第2小時(shí)開(kāi)始細(xì)菌數(shù)量隨時(shí)間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下四種模型供選擇，則最符合實(shí)際的函數(shù)模型為（）2345683.53.844.164.34.5A．B．C．D．【變式11】今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：x23456y1.52.012.985.028.98現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)所滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）A．B．C．D．【變式12】有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最佳的一個(gè)是（

）A．B．C．D．【變式13】一組關(guān)于的觀測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)的轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如表所示：1234513.14.97.18.8則y與t近似滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)是（）A．B．C．D．【變式14】某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來(lái)越嚴(yán)重，最近三年測(cè)得沙漠增加值分別為0.2萬(wàn)公頃、0.4萬(wàn)公頃和0.76萬(wàn)公頃，則沙漠增加數(shù)y（萬(wàn)公頃）關(guān)于年數(shù)x（年）的函數(shù)關(guān)系較為近似的是（）A．y＝0.2xB．y＝（x2＋2x）C．y＝D．y＝0.2＋log16x題型二指數(shù)函數(shù)的模型應(yīng)用【例2】牛奶保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏溫度的不同而不同，假定保鮮時(shí)間與儲(chǔ)藏溫度之間的函數(shù)關(guān)系是（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時(shí)間是200小時(shí)，而在1℃的溫度下則是160小時(shí)，而在2℃的溫度下則是128小時(shí).（1）寫(xiě)出保鮮時(shí)間關(guān)于儲(chǔ)藏溫度（℃）的函數(shù)解析式；（2）利用（1）的結(jié)論，若設(shè)置儲(chǔ)藏溫度為3℃的情況下，某人儲(chǔ)藏一瓶牛奶的時(shí)間為90至100小時(shí)之間，則這瓶牛奶能否正常飲用？（說(shuō)明理由）【變式21】銀行儲(chǔ)蓄存款是一種風(fēng)險(xiǎn)較小的投資方式，將一定數(shù)額的本金存入銀行，約定存期，到期后就可以得到相應(yīng)的利息，從而獲得收益，設(shè)存入銀行的本金為P（元），存期為m（年），年化利率為r，則到期后的利息（元）．以下為上海某銀行的存款利率：存期一年二年三年年化利率1.75%2.25%2.75%（1）洪老師將10萬(wàn)元在上海某銀行一次性存滿二年，求到期后的本息和（本金與利息的總和）；（2）杜老師準(zhǔn)備將10萬(wàn)元在上海某銀行存三年，有以下三種方案：方案①：一次性存滿三年；方案②：先存二年，再存一年；方案③：先存一年，再續(xù)存一年，然后再續(xù)存一年；通過(guò)計(jì)算三種方案的本息和（精確到小數(shù)點(diǎn)后2位）判斷哪一種方案更合算，并基于該實(shí)際結(jié)果給予杜老師一般性的銀行儲(chǔ)蓄存款的建議．【變式22】甲、乙兩城市現(xiàn)有人口總數(shù)都為100萬(wàn)人，甲城市人口的年自然增長(zhǎng)率為1.2%，乙城市每年增長(zhǎng)人口1.3萬(wàn).試解答下面的問(wèn)題：（1）寫(xiě)出兩城市的人口總數(shù)y(萬(wàn)人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；（2）計(jì)算10年、20年、30年后兩城市的人口總數(shù)(精確到0.1萬(wàn)人)；（3）對(duì)兩城市人口增長(zhǎng)情況作出分析.參考數(shù)據(jù)：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.【變式23】為了做好新冠疫情防控工作，某學(xué)校要求全校各班級(jí)每天利用課間操時(shí)間對(duì)各班教室進(jìn)行藥熏消毒.現(xiàn)有一種備選藥物，根據(jù)測(cè)定，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥含量（單位：mg）隨時(shí)間（單位：）的變化情況如圖所示，在藥物釋放的過(guò)程中與成正比，藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系為（為常數(shù)），其圖象經(jīng)過(guò)，根據(jù)圖中提供的信息，解決下面的問(wèn)題.（1）求從藥物釋放開(kāi)始，與的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的藥物含量降低到mg以下時(shí)，才能保證對(duì)人身無(wú)害，若該校課間操時(shí)間為分鐘，據(jù)此判斷，學(xué)校能否選用這種藥物用于教室消毒？請(qǐng)說(shuō)明理由.題型三對(duì)數(shù)函數(shù)的模型應(yīng)用【例3】盡管目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家們通過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解.例如，地震釋放出的能量（單位：焦耳）與地震級(jí)數(shù)之間的關(guān)系式為.若某次地震釋放出的能量是另一次地震釋放出的能量的3000倍，則兩次地震的震級(jí)數(shù)大約相差（

）（參考數(shù)據(jù)：A．B．C．2.2D．【變式31】中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式:.它表示:在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升到8000，則大約增加了（）A．10%B．20%C．30%D．50%【變式32】有一種候鳥(niǎo)每年都按一定的路線遷陟，飛往繁殖地產(chǎn)卵．科學(xué)家經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)候鳥(niǎo)的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位是，其中表示候鳥(niǎo)每分鐘耗氧量的單位數(shù)，表示測(cè)量過(guò)程中候鳥(niǎo)每分鐘的耗氧偏差．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）若=3，候鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量為8100個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少？（2）若=6，候鳥(niǎo)停下休息時(shí)，它每分鐘的耗氧量為多少個(gè)單位？（3）若雄鳥(niǎo)的飛行速度為，雌鳥(niǎo)的飛行速度為，那么此時(shí)雄鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量是雌鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量的多少倍？【變式33】根據(jù)專家對(duì)高一學(xué)生上課注意力進(jìn)行的研究，發(fā)現(xiàn)注意力集中程度的指數(shù)與聽(tīng)課時(shí)間之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線．當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖像的一部分，其中頂點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)圖像的一部分．專家認(rèn)為，當(dāng)指數(shù)大于或等于時(shí)定義為聽(tīng)課效果最佳．（1）試求的函數(shù)關(guān)系式；（2）若不是聽(tīng)課效果最佳，建議老師多提問(wèn)，增加學(xué)生活動(dòng)環(huán)節(jié)，問(wèn)在什么時(shí)間段老師多提問(wèn)，增加學(xué)生活動(dòng)環(huán)節(jié)？題型四建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【例4】某大型家電商場(chǎng)，在一周內(nèi)，計(jì)劃銷售、兩種電器，已知這兩種電器每臺(tái)的進(jìn)價(jià)都是萬(wàn)元，若廠家規(guī)定，一家商場(chǎng)進(jìn)貨的臺(tái)數(shù)不高于的臺(tái)數(shù)的倍，且進(jìn)貨至少臺(tái)，而銷售、的售價(jià)分別為元/臺(tái)和元/臺(tái)，若該家電商場(chǎng)每周可以用來(lái)進(jìn)貨、的總資金為萬(wàn)元，所進(jìn)電器都能銷售出去，則該商場(chǎng)在一個(gè)周內(nèi)銷售、電器的總利潤(rùn)（利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià)）的最大值為（）A．萬(wàn)元B．萬(wàn)元C．萬(wàn)元D．萬(wàn)元【變式41】茶文化起源于中國(guó)，中國(guó)飲茶據(jù)說(shuō)始于神農(nóng)時(shí)代．現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過(guò)．一杯茶泡好后置于室內(nèi)，1分鐘、2分鐘后測(cè)得這杯茶的溫度分別為，，給出三個(gè)茶溫T（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時(shí)間t（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①；②；③．根據(jù)生活常識(shí)，從這三個(gè)函數(shù)模型中選擇一個(gè)，模擬茶溫T（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時(shí)間t（單位：分鐘）的關(guān)系，并依此計(jì)算該杯茶泡好后到飲用至少需要等待的時(shí)間為（參考數(shù)據(jù)）（）A．2.72分鐘B．2.82分鐘C．2.92分鐘D．3.02分鐘【變式42】某水庫(kù)堤壩因年久失修，發(fā)生了滲水現(xiàn)象，當(dāng)發(fā)現(xiàn)時(shí)已有的壩面滲水，經(jīng)測(cè)算知滲水現(xiàn)象正在以每天的速度擴(kuò)散，當(dāng)?shù)卣e極組織工人進(jìn)行搶修，已知每個(gè)工人平均每天可搶修滲水面積，每人每天所消耗的維修材料費(fèi)25元，勞務(wù)費(fèi)75元，另外給每人發(fā)放100元的服裝補(bǔ)貼，每滲水的損失為75元．現(xiàn)在共派去x名工人，搶修完成共用n天．（1）寫(xiě)出n關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使總損失最小，應(yīng)派多少名工人去搶修（總損失=滲水損失+政府支出）．【變式43