《向量數(shù)量積的物理背景與定義》教案

向量數(shù)量積的定義一、教學(xué)設(shè)計(jì)平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算之后的又一重要運(yùn)算，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛。本節(jié)內(nèi)容教材共安排兩課時(shí)，其中第一課時(shí)主要研究數(shù)量積的概念，第二課時(shí)主要研究數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，本節(jié)課是第一課時(shí)。本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過(guò)物理中“功”的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律，使學(xué)生體會(huì)類(lèi)比的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括和推理論證的能力。其中數(shù)量積的概念既是對(duì)物理背景的抽象，又是研究性質(zhì)和運(yùn)算律的基礎(chǔ)。同時(shí)也因?yàn)樵谶@個(gè)概念中，既有長(zhǎng)度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結(jié)合點(diǎn)，不僅應(yīng)用廣泛，而且很好的體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。二、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能：闡明平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.會(huì)算一個(gè)向量在另一個(gè)上投影的概念，運(yùn)用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律和幾何意義.2過(guò)程與方法：以物體受力做功為背景引入向量數(shù)量積的概念，從數(shù)與形兩方面引導(dǎo)學(xué)生對(duì)向量數(shù)量積定義進(jìn)行探究，通過(guò)作圖分析，使學(xué)生明確向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法的聯(lián)系與區(qū)別。3情感態(tài)度與價(jià)值觀：由具體的功的概念到向量的數(shù)量積，再到共線、垂直時(shí)的數(shù)量積，使學(xué)生學(xué)習(xí)從特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，類(lèi)比思想，體驗(yàn)法則學(xué)習(xí)研究的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。三、教學(xué)重難點(diǎn)1、重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義。2、難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義的理解。四、教學(xué)準(zhǔn)備1、實(shí)驗(yàn)教具：計(jì)算機(jī)、黑板、粉筆2、教學(xué)支持資源：制作高效實(shí)用的電腦多媒體課件，主要作用是改變相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，以此來(lái)節(jié)約課時(shí)，增加課堂容量。五、教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)境教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)提問(wèn)向量的的概念：有大小和方向的量。及向量的加法、減法、數(shù)乘等運(yùn)算。創(chuàng)設(shè)情景(如圖)一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移s，且F與s的夾角為,那么力F所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？θθsFW=︱s︱︱F︱cosθ老師提問(wèn)，學(xué)生思考由舊知識(shí)引出新內(nèi)容，同時(shí)聯(lián)系物理和數(shù)學(xué)，理解具體與一般的關(guān)系定義形成1.已知兩個(gè)非零向量和，它們的夾角為θ，作夾角，記作<,>，并規(guī)定0≤<,>≤π。注意：<,>=<,>,(1)<,>=0時(shí),與同向；(2)<,>=π時(shí),與反向；<,>=時(shí)，記作：⊥2.我們把數(shù)量︱︱·︱︱cosθ叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：·當(dāng)<,>為銳角時(shí)，·為正數(shù)；當(dāng)<,>為鈍角時(shí)，·為負(fù)數(shù)；當(dāng)⊥時(shí)，·為0規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0老師引導(dǎo)學(xué)生注意，1.夾角必須是是兩個(gè)向量同起點(diǎn)，及夾角范圍2.數(shù)量積的定義式的形式，注意特殊向量零向量舉例應(yīng)用例1、如圖，等邊三角形中，求A（1）向量與向量的夾角；（2）向量與向量的夾角。BC解：（1）<,>=60o（2）<,>=120o例2．.解：·=︱︱︱︱cos<,>=5×4×cos120o=－10學(xué)生自己動(dòng)手簡(jiǎn)單應(yīng)用以及總結(jié)數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律讓學(xué)生由理論到實(shí)際操作，逐步熟悉、深入定義深化向量=與軸l的正向所成角為θ，過(guò)O，A分別作軸l的垂線，垂足分別為Ol，Al，則向量叫做向量在軸l的正射影該射影在軸l上的坐標(biāo)，稱(chēng)作在軸l上的數(shù)量。例3：已知軸l解：(1)OAl=︱OA︱cos=5×=(2)OBl=︱OB︱cos=5×=－向量的數(shù)量積的幾何意義：·=或練習(xí)：解：(1)·=︱︱=15(2)·=︱︱=－15向量數(shù)量積的性質(zhì)：如果是單位向量，則·=·=︱︱cos<,>⊥·=0·=︱︱2，即︱︱=cos<,>=（︱︱︱︱≠0）︱·︱≤︱︱︱︱當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1、=，=且，則是：（C）A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等腰直角三角形2、已知，若解：===所以θ=120o學(xué)生自己回顧、探索，根據(jù)已有知識(shí)得到問(wèn)題的答案培養(yǎng)學(xué)生自己動(dòng)腦、動(dòng)手探索總結(jié)的習(xí)慣課堂小結(jié)向量的數(shù)量積的定義及相關(guān)注意事項(xiàng)向量的數(shù)量積的性質(zhì)寫(xiě)出基本框架，然后讓學(xué)生添加具體內(nèi)容進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)學(xué)生思考的能力與習(xí)慣作業(yè)反思教材本節(jié)內(nèi)容教材109頁(yè)，練習(xí)A，1、2；練習(xí)B，1、2養(yǎng)