專題14立體幾何與空間向量(解答題)（原卷版） - 大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2014-2025）與優(yōu) 質(zhì)模擬題（新高考卷與全國理科卷）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2015-2024）與優(yōu)質(zhì)模擬題（新高考卷）專題14立體幾何與空間向量(解答題)1．【2024年新高考1卷第17題】如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=(1)若AD⊥PB，證明：AD//平面PBC(2)若AD⊥DC，且二面角A?CP?D的正弦值為427，求AD2．【2024年甲卷理科第19題】如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，EF//AD,BC//AD，AD=4,(1)證明：BM//平面CDE(2)求二面角F?BM?E的正弦值．3．【2024年新高考2卷第17題】如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足AE=(1)證明：EF⊥PD；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．4．【2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷第20題】如圖，三棱錐A?BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E(1)證明：BC⊥DA；(2)點(diǎn)F滿足EF=DA，求二面角5．【2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷第18題】如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2,

(1)證明：B2(2)點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P?A2C6．【2023年高考全國乙卷理第19題】如圖，在三棱錐P?ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，AD=5DO，點(diǎn)

(1)證明：EF//平面ADO(2)證明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D?AO?C的正弦值.7．【2023年高考全國甲卷理第18題】如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1C⊥底面

(1)證明：A1(2)已知AA1與BB1的距離為2，求8．【2022年新課標(biāo)全國Ⅰ卷第19題】如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為(1)求A到平面A1(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A9．【2022年新課標(biāo)全國Ⅱ卷第20題】如圖，PO是三棱錐P?ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點(diǎn)．

(1)證明：OE//平面PAC(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=10．【2022年高考全國乙卷理第18題】如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC11．【2022年高考全國甲卷理第18題】在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD,(1)證明：BD⊥PA；(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．12．【2021年新課標(biāo)全國Ⅰ卷第20題】如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn).（1）證明：OA⊥CD；（2）若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E?BC?D的大小為45°，求三棱錐13．【2021年新課標(biāo)全國Ⅱ卷第19題】在四棱錐Q?ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,（1）證明：平面QAD⊥平面ABCD；（2）求二面角B?QD?A的平面角的余弦值．14．【2021年高考全國乙卷理第18題】如圖，四棱錐P?ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM（1）求BC；（2）求二面角A?PM?B的正弦值．15．【2021年高考全國甲卷理第19題】已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC=2，E，（1）證明：BF⊥DE；（2）當(dāng)B1D為何值時，面BB16．【2020年新課標(biāo)全國Ⅱ卷第20題】如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，QB=2，求PB與平面QCD所成角的正弦值．17．【2020年新課標(biāo)全國Ⅰ卷第20題】如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．18．【2020年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第19題】如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)（1）證明：點(diǎn)C1在平面AEF（2）若AB=2，AD=1，AA19．【2020年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第20題】如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.20．【2020年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第18題】如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD．△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，PO=6（1）證明：PA⊥平面PBC；（2）求二面角B?PC?E的余弦值．21．【2019年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第19題】圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.22．【2019年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第17題】如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.23．【2019年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第18題】如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．24．【2018年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第20題】如圖，在三棱錐P?ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M?PA?C為30°，求PC與平面PAM25．【2018年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第19題】如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，M是CD上異于C，D的點(diǎn)．（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；（2）當(dāng)三棱錐M?ABC體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．26．【2018年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第18題】如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.27．【2017年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第18題】如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=9（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A?PB28．【2017年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第19題】如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.29．【2017年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第19題】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD（1）證明：直線CE//平面PAB（2）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45o，求二面角30．【2016年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第19題】如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.31．【2016年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第19題】如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB=5,AC=6，點(diǎn)E,F分別在AD,CD上，AE=CF=54,EF（1）證明：D'H⊥平面ABCD；（2）求二面角B?D'A?C的正弦值.32．【2016年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第18題】如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D?AF?E與二面角

（1）證明：平面ABEF⊥平面EFDC；（2）求二面角E?BC?A的余弦值.33．【2015年新課標(biāo)Ⅱ理科第19題】如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中,AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）；（Ⅱ）求直線AF與平面α所成角的正弦值．34．【2015年新課標(biāo)Ⅰ理科第18題】如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．

（1）證明：平面AEC⊥平面AFC；（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值．1．（2024·河南·三模）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=2，AB=(1)證明：D在平面PAC上的射影H為△PAC(2)當(dāng)二面角P?AD?C為120°時，求直線AD與平面APB所成角2．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=π2，AB=BC=12AD，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE(1)證明：平面BCDE⊥平面A1(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A13．（2024·山東德州·三模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，點(diǎn)M為PC中點(diǎn)，∠ABC=∠BAD=π2，BC=2AD=(1)證明:DM//平面(2)求證：平面PAD⊥平面PAB；(3)若PD與平面PBC所成的角為30°，求平面PDC與平面4．（2024·山東青島·三模）如圖所示，多面體ABCDEF，底面ABCD是正方形，點(diǎn)O為底面的中心，點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，側(cè)面ADEF與BCEF是全等的等腰梯形，EF=4(1)證明:MO⊥平面ABCD；(2)若點(diǎn)P在棱CE上，直線BP與平面ABM所成角的正弦值為24221，求5．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AD=BD，∠DAB=π4，PB⊥BC，(1)證明：PA⊥BD；(2)若AD=PD=22，E為AD的中點(diǎn)，求直線PC與平面6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AC=BC=(1)求證：EF//平面AB(2)設(shè)AB=4a(0<a≤22)，在平面AB7．（2024·新疆·三模）已知底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA=3DQ=3(1)求證：平面PAC⊥平面CDQ；(2)線段PC上是否存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面PCQ所成角的正弦值是155.若存在，求出PM8．（2024·浙江·三模）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，平面ACC1A1⊥底面ABC，∠A1AC=π(1)當(dāng)P是線段EF的中點(diǎn)時，求點(diǎn)P到平面ABB(2)當(dāng)平面PCC1與平面BB1C9．（2024·江蘇宿遷·三模）如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個圓柱組合而成，B1C1為半個圓柱上底面的直徑，∠ACB=90°，AC=BC=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，(1)證明：平面BCD//平面C(2)若P是線段C1F上一個動點(diǎn)，當(dāng)CC1=10．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，已知斜三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)面(1)求證：AB⊥BC；(2)求平面ABB1與平面11．（2024·江蘇蘇州·三模）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，(1)求證：AB(2)求直線EF和B1(3)求直線EF與平面CD12．（2024·河南·三模）如圖，在四棱臺ABCD=A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)棱(1)證明：平面DBB1D(2)若四棱臺ABCD?A1B1C1D13．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖，在四面體A