安徽省合肥市一六八中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

高三10月段考試卷數(shù)學(xué)考生注意：1．試卷分值：150分，考試時(shí)間：120分鐘．2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答案區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．3．所有答案均要答在答題卡上，否則無效．考試結(jié)束后只交答題卡．一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得，再結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由不等式，可得，即，因?yàn)?，可得，所以，則.故選:D．2.設(shè)，均為單位向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律代入計(jì)算，即可判斷.【詳解】∵“”，∴平方得，即，則，即，反之也成立．故選：C．3已知數(shù)列an滿足，若，則（）A.2 B.?2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推式求出,,的值,可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列為周期數(shù)列,從而推出的值.【詳解】因?yàn)?,所以,,,所以數(shù)列的周期為3,所以．故選:C．4.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)可得A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；作差之后通分化簡可得B正確；舉反例令，，可得C錯(cuò)誤；【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)，，時(shí)，，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，故D錯(cuò)誤．故選：B．5.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將已知等式平方后再結(jié)合同角的三角函數(shù)和二倍角的余弦公式化簡計(jì)算即可；【詳解】由兩邊平方得，所以，所以所以．故選：A．6.10名環(huán)衛(wèi)工人在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距米，開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，現(xiàn)將樹坑從（）到（10）依次編號(hào)，為使每名環(huán)衛(wèi)工人從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為（）A.（）和（10） B.（）和（） C.（）和（） D.（）和（）【答案】C【解析】【分析】設(shè)樹苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為，表示出各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值時(shí)的取值即可；【詳解】設(shè)樹苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為，則各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和為：．若取最小值，則函數(shù)也取最小值，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)的對(duì)稱軸為，又∵為正整數(shù)，故或．故選：C.7設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和最小值，得到，得出；再構(gòu)造函數(shù)，求得在上遞增，結(jié)合，得到，即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，令時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以函數(shù)在處取最小值，所以，（且），可得，所以；再構(gòu)造函數(shù)，可得，因?yàn)?，可得，，所以，在上遞增，所以，可得，即，所以，綜上可得：.故選：A.8.定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，．若，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由是奇函數(shù)，可得是偶函數(shù)，得到，令，得到，得出在上單調(diào)遞增，再由，求得的周期為的周期函數(shù)，根據(jù)，得到，把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，可得是偶函數(shù)，又因，所以，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)榍沂瞧婧瘮?shù)，可得，則，所以的周期為的周期函數(shù)，因?yàn)?，所以，則不等式，即為，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，所以不等式的解集為．故選：C．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由向量的模及數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算后即可判斷．【詳解】∵，，，，∴，，，，，，則，故A正確；∵，，∴，故B錯(cuò)誤；，，∴，故C正確；，，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10.三次函數(shù)敘述正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn) B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C.過點(diǎn)的切線有兩條 D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】求導(dǎo)后由導(dǎo)數(shù)大于零恒成立可得A正確；由可得B正確；設(shè)切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的意義得到切線方程，求解可得C錯(cuò)誤；求導(dǎo)后分析單調(diào)性，利用極大值大于零，極小值小于零可得D正確；【詳解】對(duì)于A，，，，單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C：設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，，解得，即只有一個(gè)切點(diǎn)，即只有一條切線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又有極大值為，所以若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則有極小值為，得到，故D正確．故選：ABD．11.已知，對(duì)任意的，都存在，使得成立，則下列選項(xiàng)中，可能的值是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由題意可知，,對(duì)任意的，都存在，使得成立，，,進(jìn)而有再將選項(xiàng)中的值，依次代入驗(yàn)證，即可求解.【詳解】∵，∴，∴，∵對(duì)任意的，都存在，使得成立，∴，，∵，∴，，在上單調(diào)遞減．在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，，，故A正確，當(dāng)時(shí)，，，故B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，，，故C正確，當(dāng)時(shí)，，．故D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)用向量和表示（其中是虛數(shù)單位，O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與夾角為______．【答案】【解析】【分析】把復(fù)數(shù)用坐標(biāo)表示再結(jié)合向量的夾角公式計(jì)算即可；【詳解】由題知，，，∴，所以與夾角為，故答案為：．13.函數(shù)在上的最大值為4，則m的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】分，，，利用圖像平移的性質(zhì)結(jié)合指數(shù)函數(shù)計(jì)算即可；【詳解】如圖①，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是由向上平移個(gè)單位后，再向下平移個(gè)單位，函數(shù)圖象還是的圖象，滿足題意，如圖②，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象是由向下平移m個(gè)單位后，再把x軸下方的圖象對(duì)稱到上方，再向上平移m個(gè)單位，根據(jù)圖象可知滿足題意，如圖③，時(shí)不合題意．故答案為：．14.設(shè)，則的最大值是______．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，去絕對(duì)值符號(hào)，再根據(jù)基本不等式即可得解.【詳解】不妨設(shè)，則，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，，，即，，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．（1）求角A；（2）已知，從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，并求出的面積．條件①：；條件②：；條件③：AC邊上中線的長為．（注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）將已知等式由正弦定理邊化角，再結(jié)合兩角和的正弦展開式和特殊角的三角函數(shù)求解即可；（2）選條件①，由同角的三角函數(shù)和正弦定理求出，再用余弦定理求出，此時(shí)不能構(gòu)成三角形；選條件②，在中，由余弦定理求出，再由三角形的面積公式求解即可；選條件③，在中，由余弦定理得，再由三角形的面積公式求解即可；【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得．即：，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，得；【小?詳解】選條件①，，由正弦定理可得即，解得，由余弦定理可得，整理得，解得，不能構(gòu)成三角形，（老師，這一問我算了兩遍，如果有問題請(qǐng)聯(lián)系我一下，如果沒有請(qǐng)幫我刪去，謝謝）選條件②：．在中，由余弦定理得：，即．整理得，解得或．當(dāng)時(shí)，的面積為：，當(dāng)時(shí)，的面積為：，選條件③：AC邊上中線的長為，設(shè)AC邊中點(diǎn)為M，連接BM，則，，在中，由余弦定理得，即．整理得，解得或（舍）．所以的面積為．16.某地區(qū)上年度天然氣價(jià)格為2.8元/，年用氣量為．本年度計(jì)劃將天然氣單價(jià)下調(diào)到2.55元/至2.75元/之間．經(jīng)調(diào)查測(cè)算，用戶期望天然氣單價(jià)為2.4元/，下調(diào)單價(jià)后新增用氣量和實(shí)際單價(jià)與用戶的期望單價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為k）．已知天然氣的成本價(jià)為2.3元/．（1）寫出本年度天然氣價(jià)格下調(diào)后燃?xì)夤镜氖找鎦（單位：元）關(guān)于實(shí)際單價(jià)x（單位：元/）的函數(shù)解析式；（收益=實(shí)際用氣量×（實(shí)際單價(jià)－成本價(jià)））（2）設(shè)，當(dāng)天然氣單價(jià)最低定為多少時(shí)，仍可保證燃?xì)夤臼找姹壬夏甓戎辽僭黾?0%?【答案】（1），（2）最低定為2.6元/【解析】【分析】（1）依據(jù)收益=實(shí)際用氣量×（實(shí)際單價(jià)－成本價(jià)）列出函數(shù)解析式即可；（2）代入，求解不等式即可；【小問1詳解】由題意得，；【小問2詳解】由題意可知要同時(shí)滿足以下條件：，化簡不等式可得∴，即單價(jià)最低定為2.6元/．17.已知函數(shù)(為常數(shù)，且，且是奇函數(shù).（1）求的值；（2）若，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由是奇函數(shù)，代入化簡可得即得解（2）轉(zhuǎn)化原式為，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析即得解【小問1詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)所以，所以，所以，所以，【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以，，令由于在單調(diào)遞增所以18.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求函數(shù)在處切線方程；（3）若有兩解，，且，求證：．【答案】（1）在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間為減函數(shù)；（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）計(jì)算，求以及，從而求出的單調(diào)性；（2）計(jì)算以及，點(diǎn)斜式計(jì)算可求出切線方程；（3）偏移法證明，結(jié)合第（2）問的結(jié)論，證明在切線下方，放縮法證明不等式.【小問1詳解】的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間為減函數(shù)；【小問2詳解】，，所以處切線方程為：，即；【小問3詳解】先證，由（1）可知：，且在區(qū)間為減函數(shù)，要證，即證：，令，，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，，即，即；再證，由（2）可知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令，，∴在處取得極大值為0，故當(dāng)時(shí)，，，則，即，又，，∴，得證.19.（1）若干個(gè)正整數(shù)之和等于20，求這些正整數(shù)乘積的最大值．（2）①已知，都是正數(shù)，求證：；②若干個(gè)正實(shí)數(shù)之和等于20，求這些正實(shí)數(shù)乘積的最大值．【答案】（1）1458；（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）設(shè)，利用反證法分析可知取2和3，且2的個(gè)數(shù)不超過2個(gè)，即可得結(jié)果；（2）①構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證，可得，相乘運(yùn)算即可；②分析可知，構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可判斷.【詳解】（1）將20分成正整數(shù)之和，即，假定乘積已經(jīng)最大．若，則將與合并為一個(gè)數(shù)，其和不變，乘積由增加到，說明原來p不是最大，不滿足假設(shè)，故，同理，將每個(gè)大于2的拆成2，之和，和不變，乘積，故所有的只能取2，3，4之一，且，所以將取2和3即可，如果2的個(gè)數(shù)大于等于3，將3個(gè)2換成兩個(gè)3，這時(shí)和不變，乘積則由8變成9，故在p中2的個(gè)數(shù)不超過2個(gè)，可得，最大乘積為；（2）①證明：先證：，令，則，若x>1，則f′x>0；若x<1