陜西省四校2025屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高三（上）第二次質(zhì)量檢測(cè)聯(lián)考高三數(shù)學(xué)解析版注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：集合、邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、三角函數(shù)、平面向量.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，再結(jié)合韋恩圖求出陰影部分表示的集合.【詳解】依題意，集合或，而，則或，由韋恩圖知，圖中陰影部分表示的集合為.故選：C.2.若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的模（）A. B.1 C. D.5【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式求解即可.【詳解】由，得，所以.故選：B.3.設(shè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，，則的最大值為（）A.32 B.16 C.128 D.64【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，結(jié)合【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，由，，即，顯然當(dāng)，或時(shí)，最大，最大值為，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是要根據(jù)指數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.4.已知向量，滿足，，，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量的定義計(jì)算即可求得在方向上的投影向量.【詳解】因?yàn)?，，，，所以，所以在方向上的投影向量為．故選：C.5.柜子里有4雙不同的鞋子，從中隨機(jī)地取出2只，下列計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤的是（）A.“取出的鞋不成雙”的概率等于B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C.“取出的鞋都是一只腳的”概率等于D.“取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙”的概率等于【答案】D【解析】【分析】利用古典概型公式可判斷A、B、D選項(xiàng)，根據(jù)B結(jié)論和加法公式可判斷選項(xiàng)C.【詳解】對(duì)于A，可以先取兩雙鞋再各分配一只即可得到“取出的鞋不成雙”的可能情況數(shù)，所以“取出的鞋不成雙”的概率為，故A正確，不符合題意；對(duì)于B，從4只左鞋里面取兩只即可得到“取出鞋都是左鞋”的可能情況數(shù)，所以“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，故B正確，不符合題意；對(duì)于C，由B可知，“取出鞋都是左鞋”的概率等于，同理“取出的鞋都是右鞋”的概率等于，所以“取出的鞋都是一只腳的”概率等于，故C正確，不符合題意；對(duì)于D，可以先取兩雙鞋，再分步取鞋使得它們一只是左腳，一只是右腳，所以“取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙”的概率為，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D.6.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】?jī)蓤A有公共點(diǎn)，則兩圓相交或相切，利用圓心距與半徑的關(guān)系列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解法一：圓的方程化標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓是以為圓心，1為半徑的圓.設(shè)，由以為圓心，1為半徑圓與圓有公共點(diǎn)，得關(guān)于的不等式有解，即有解，所以，解得或.故選：B.解法二：圓的方程化標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓是以為圓心，1為半徑的圓.又直線上存在點(diǎn)，使以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，所以只需圓與直線有公共點(diǎn)即可.由，解得或.故選：B.7.已知，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)的一條直線與交于A，B兩點(diǎn)，且，，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值是（）A.12 B. C.6 D.【答案】D【解析】【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合勾股定理，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】設(shè)，則，，，由，得，則，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值是.故選：D8.已知函數(shù)，若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】問(wèn)題等價(jià)于恒成立，不妨令，求出即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)，恒成立，，即恒成立.不妨令，則設(shè)，有，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，有，所以時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取得等號(hào)，由對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，方程顯然有解，所以，得.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：?jiǎn)栴}等價(jià)于恒成立，由，利用，得到.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.甲、乙兩個(gè)不透明的袋子中分別裝有兩種顏色不同但是大小相同的小球，甲袋中裝有5個(gè)紅球和5個(gè)綠球；乙袋中裝有4個(gè)紅球和6個(gè)綠球.先從甲袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球放入乙袋中，再?gòu)囊掖须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記表示事件“從甲袋摸出的是紅球”，表示事件“從甲袋摸出的是綠球”，記表示事件“從乙袋摸出的是紅球”，表示事件“從乙袋摸出的是綠球”.下列說(shuō)法正確的是（）A.是互斥事件 B.是獨(dú)立事件C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的定義可判斷A；求出是否相等可判斷B；計(jì)算出可判斷C；計(jì)算出可判斷D.【詳解】對(duì)于A，依題意，因?yàn)槊看沃幻鲆粋€(gè)球，，所以，是互斥事件，故A正確；對(duì)于B，，，則，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：ACD.10.我國(guó)在預(yù)測(cè)人口變化趨勢(shì)上有直接推算法、灰色預(yù)測(cè)模型、VAR模型、隊(duì)列要素法等多種方法，直接推算法使用的公式是，其中為預(yù)測(cè)期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測(cè)期內(nèi)人口增長(zhǎng)率，為預(yù)測(cè)期間隔年數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì)B.若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢(shì)C.若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)擺動(dòng)變化D.若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)不變【答案】ABD【解析】【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由，得當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，?duì)任意的，，所以，，則，此時(shí)，在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，?duì)任意的，，所以，，則，故在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢(shì)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢(shì)，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)不變，D對(duì).故選：ABD.11.已知函數(shù)，，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)镃.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D.當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】【分析】利用余弦型函數(shù)和正弦函數(shù)的周期性可判斷A選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的值域可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；在時(shí)解方程，結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，故函數(shù)的最小正周期為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，令，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，令，則，則外層函數(shù)，外層函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，則內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，則函數(shù)為增函數(shù)，所以，；當(dāng)時(shí)，則內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞減時(shí)，則函數(shù)為增函數(shù)，所以，.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，可得或，由于函數(shù)的最小正周期為，且，現(xiàn)在考慮函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由可得，由可得或，所以，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，因?yàn)?，故，D對(duì).故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)最值的不同求法：①利用和的最值直接求；②把形如的三角函數(shù)化為的形式求最值；③利用和的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值；④形如或轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】將原式變形為，再結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).所以的最小值為.故答案為：13.閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為____________.【答案】【解析】【分析】由題意可得平面的法向量，同理可得平面的法向量以及的法向量，進(jìn)而求得直線的一個(gè)方向向量，再利用向量的夾角公式即可得解.【詳解】平面的方程為，可得平面的法向量為，平面的法向量為的法向量為，設(shè)直線的方向向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角，，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：.14.已知正方體中，O為正方形的中心．M為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的_______①若，則M的軌跡是圓；②若M到直線距離相等，則M的軌跡是雙曲線；③若M到直線距離相等，則M的軌跡是拋物線【答案】②③【解析】【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的坐標(biāo)法或直接運(yùn)用幾何定義法來(lái)研究動(dòng)點(diǎn)軌跡，然后再進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于①，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，，，，則，則，即此時(shí)僅有，所以的軌跡是一個(gè)點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，過(guò)向作垂線，垂足為，過(guò)向作垂線，垂足為，過(guò)向作垂線，垂足，由于，又因?yàn)?，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，若到直線，距離相等，即，因?yàn)?，所以，則，即，則的軌跡是雙曲線，故②正確，對(duì)于③，若到直線，距離相等，面，面，所以，所以到直線的距離為到點(diǎn)的距離，則到直線，點(diǎn)距離相等，由拋物線定義可得，的軌跡是拋物線，故③正確；故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查立體幾何中的軌跡問(wèn)題，關(guān)鍵在于對(duì)于對(duì)圓錐曲線定義的理解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.記銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知的角平分線交AB于點(diǎn)D，，且.（1）求；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角可得，再由誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)即可得出答案.（2）令，利用正弦定理求出，再化簡(jiǎn)的表達(dá)式，最后再利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性即可得到范圍.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理可得：，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，，即，所以，?【小問(wèn)2詳解】銳角中，令，則，則，在中，，，在中，，則，所以令，因?yàn)?，則，則，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，，則的值域?yàn)?即的取值范圍為.16.如圖1，平面圖形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，點(diǎn)是中點(diǎn)，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．（1）當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；（2）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)（不與，重合），求二面角的余弦值的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得點(diǎn)到平面的距離.（2）設(shè)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，表示出二面角余弦值，再求其范圍.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴．點(diǎn)是中點(diǎn)，，∴，結(jié)合折疊前后圖形的關(guān)系可知，∵二面角為直二面角，則側(cè)面底面，側(cè)面底面，∴平面，易知，，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，則P0,0,1，，，，D0,1,0，∴，，PD=0,1,?1．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，則為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離．【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)滿足（）．∵PD=0,1,?1，∴∴，∴．設(shè)平面的法向量為m=x又∵，，∴，取，則，，取為平面的一個(gè)法向量．易知平面的一個(gè)法向量為，二面角的余弦值為，由，所以，則，所以二面角的余弦值的取值范圍為.17.甲、乙、丙參加某競(jìng)技比賽，甲輪流與乙和丙共競(jìng)技場(chǎng)，每場(chǎng)比賽均能分出勝負(fù)，各場(chǎng)比賽互不影響.（1）假設(shè)乙的技術(shù)比丙高，如果甲輪流與乙和丙競(jìng)技3場(chǎng)，甲只要連勝兩局即可獲勝，甲認(rèn)為：先選擇與實(shí)力弱的丙比賽有優(yōu)勢(shì)，判斷甲猜測(cè)的正確性；（2）假設(shè)乙與丙的技術(shù)相當(dāng)，且甲與乙，甲與丙競(jìng)技甲獲勝的概率都是，設(shè)為甲未獲得連續(xù)3次勝利的概率.①求，；②證明：.【答案】（1）甲猜測(cè)錯(cuò)誤.（2）①，；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，由獨(dú)立事件的乘法公式分別求出若甲與丙比賽，則甲獲勝的概率和甲先與乙比賽，則甲獲勝的概率再比較大小即可；（2）①為1減去甲獲得連續(xù)3次勝利的概率，為1減去甲獲得連續(xù)3次和4次勝利的概率；②考察，分為情形一、二、三，結(jié)合獨(dú)立事件的乘法公式和全概率公式計(jì)算即可；【小問(wèn)1詳解】設(shè)甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙的技術(shù)比丙高，若甲與丙比賽，則甲獲勝的概率為：若甲先與乙比賽，則甲獲勝的概率為：顯然，故甲應(yīng)先與乙比賽有優(yōu)勢(shì)，故甲猜測(cè)錯(cuò)誤.【小問(wèn)2詳解】①，②考察，分為情形一：第局甲輸；情形二：第局甲贏，局甲輸情形三：第局甲贏，局甲贏，局甲輸由題意分為三種情形，如下：情形一第場(chǎng)輸了，則前場(chǎng)甲未獲得連續(xù)3次勝利，此時(shí)概率為.情形二第場(chǎng)贏了，第場(chǎng)輸了，則前場(chǎng)甲未獲得連續(xù)3次勝利，此時(shí)概率為.情形三第場(chǎng)贏了，第場(chǎng)贏了，第場(chǎng)輸了，則前場(chǎng)甲未獲得連續(xù)3次勝利，此時(shí)概率為.由全概率公式得.①因此.②①②得，又因?yàn)椋援?dāng)，時(shí)，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的第二小問(wèn)關(guān)鍵是考察時(shí)能夠把情況分為三種，再結(jié)合全概率計(jì)算比較大小.18.在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，其離心率為，且點(diǎn)為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，且與的漸近線交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)上方．當(dāng)軸時(shí)，直線為的等線．已知雙曲線在其上一點(diǎn)處的切線方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）若是四邊形的等線，求四邊形的面積；（3）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，點(diǎn)的軌跡為曲線，證明：在點(diǎn)處的切線為的等線．【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）在雙曲線的方程中，令，結(jié)合已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)“等線”的定義可得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，即可得出雙曲線的方程；（2）利用給定定義，求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，最后得到四邊形面積即可.（3）利用給定條件和新定義證明即可.【小問(wèn)1詳解】解：在雙曲線的方程中，令，解得，因?yàn)橹本€為的等線，顯然點(diǎn)在直線的上方，故有，又F1?c,0、，有，，，解得，，所以的方程為．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)Px0,y0漸近線方程為，聯(lián)立得，，故，所以是線段的中點(diǎn)，因?yàn)?、到過(guò)原點(diǎn)的直線距離相等，則過(guò)原點(diǎn)點(diǎn)的等線必定滿足：、到該等線距離相等，且分居兩側(cè)，所以該等線必過(guò)點(diǎn)，即直線的方程為，由，解得，故．所以.所以，所以，所以．【小問(wèn)3詳解】證明：設(shè)，由，所以，，故曲線的方程為，由①知切線為，也為，即，即．易知與在的右側(cè)，在的左側(cè)，分別記、，到的距離為、、，由（2）知，，所以，由得，因?yàn)?，所以直線為的等線．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題