《導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用》教案

1.4《導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用》教案學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過生活中優(yōu)化問題的學(xué)習(xí)，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用，促進學(xué)生全面認識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值．通過實際問題的研究，促進學(xué)生分析問題、解決問題以及數(shù)學(xué)建模能力的提高．學(xué)習(xí)重難點：教學(xué)重點 如何建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題教學(xué)難點 如何建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題【新課引入】導(dǎo)數(shù)在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法,可以求出實際生活中的某些最值問題.1.幾何方面的應(yīng)用(面積和體積等的最值)2.物理方面的應(yīng)用(功和功率等最值)3.經(jīng)濟學(xué)方面的應(yīng)用(利潤方面最值)【知識掃描】1．生活中的優(yōu)化問題常見類型：費用最少省問題；利潤最大問題；面積、體積最大問題.2．導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)最大（?。┲祮栴}，一般應(yīng)先建立好目標(biāo)函數(shù)后，把問題轉(zhuǎn)化為上一節(jié)研究的內(nèi)容.二、例題選講：在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個無蓋的方底鐵皮箱，當(dāng)箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？xx60cm解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積.令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16000由題意可知，當(dāng)x過?。ń咏?）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16000是最大值答：當(dāng)x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16000cm3解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則得箱子容積．（后面同解法一，略）由題意可知，當(dāng)x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處.事實上，可導(dǎo)函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值.變式1：在長為80cm寬50cm的長方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體箱子，箱子的高是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？變式2：在長為80cm寬50cm的長方形鐵片，做成一個無蓋的長方體箱子，使箱子的容積盡可能大，箱子的高是多少？例2．某種圓柱形飲料罐的容積一定，如何確定它的高與底半徑，才能使它的用料最??？解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，則S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令 +4πR=0解得，R=，從而h====2即h=2R因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時，所用材料最省變式3：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最省？提示：S=2+h=V(R)=R=)=0.例3:已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為，求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格．由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤．解：收入利潤令，即，求得唯一的極值點答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大.【歸納】利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：【課內(nèi)練習(xí)】練習(xí)：１、學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳．現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為.上、下兩邊各空2dm．左、右兩邊各空1dm．如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空白的面積最??？，則有xy=128，（１）另設(shè)四周空白面積為Ｓ，則（２）由（１）式得：代入（２）式中得：解法二：由解法(一)得2．已知:某商品生產(chǎn)成本Ｃ與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為.求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？3．某賓館有５０個房間供游客居住，當(dāng)每個房間每天的定價為１８０元時，房間會全部住滿；房間的單價每增加１０元，就會有一個房間空閑．如果游客居住房間，賓館每天每間需花費２０元的各種維修費．房間定價多少時，賓館的利潤最大？解:設(shè)賓館定價為(180＋10x)元時，賓館的利潤Ｗ最大【歸納反思】解決優(yōu)化問題的方法之一：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個有利的工具，其基本思路如以下流程圖所示：1.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟是：（1）分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解方程；（3）比較函數(shù)在區(qū)間端點和使的點的數(shù)值的大小,得到最大（?。┲?2.解決生活中的優(yōu)化問題應(yīng)當(dāng)注意的問題：在求實際問題的最大（?。┲禃r，一定要考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應(yīng)舍去；在實際問題中，有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點的情形，