第13講 圓錐的側(cè)面積（2種題型）（解析版）

第13講圓錐的側(cè)面積（2種題型）1.體會圓錐側(cè)面積的探索過程.2.會求圓錐的側(cè)面積，并能解決一些簡單的實際問題.重點：體會圓錐側(cè)面積的探索過程，了解圓錐側(cè)面積的計算公式，并會應(yīng)用其解決問題.難點：會求圓錐的側(cè)面積，并能解決一些簡單的實際問題.一、圓柱的計算（1）圓柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長等于矩形的長．（2）圓柱的側(cè)面積＝底面圓的周長×高（3）圓柱的表面積＝上下底面面積+側(cè)面積（4）圓柱的體積＝底面積×高．二、圓錐的計算（1）連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線．連接頂點與底面圓心的線段叫圓錐的高．（2）圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．（3）圓錐的側(cè)面積：S側(cè)=12?2πr?l＝π（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl（5）圓錐的體積=1注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等．②圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．一．圓錐的計算（共21小題）1．（2023?新吳區(qū)二模）已知一個三角形的三邊長分別為3、4、5，將這個三角形繞著最短的邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個幾何體，那么這個幾何體的側(cè)面積為（）A．12π B．15π C．20π D．24π【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理可知為直角三角形，以直角邊為3所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，底面半徑是4，母線是5，然后利用扇形的面積公式計算即可．【解答】解：∵32+42＝52，∴這個三角形為直角三角形，兩直角邊為3，4，斜邊為5，∴以直角邊為3所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，底面半徑是4，母線是5，∴×2π×4×5＝20π．故選：C．【點評】此題考查了點、線、面、體中的面動成體，勾股定理的逆定理和圓錐的計算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用公式．2．（2023?鹽城二模）已知圓錐的底面半徑為3，母線長為4，則它的側(cè)面展開圖的面積是（）A．6 B．12 C．6π D．12π【分析】圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2．【解答】解：底面半徑為3，則底面周長＝6π，側(cè)面積＝×6π×4＝12π．故選：D．【點評】本題考查圓錐的面積，解題的關(guān)鍵是利用圓的周長公式和扇形面積公式求解．3．（2023?金壇區(qū)二模）已知圓錐的底面半徑是4cm，母線長為6cm，則圓錐的側(cè)面積是（）A．48πcm2 B．36πcm2 C．24πcm2 D．12πcm2【分析】已知底面半徑即可求得底面周長，即展開圖中，扇形的弧長，然后根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【解答】解：底面周長是2×4π＝8π，則圓錐的側(cè)面積是：×8π×6＝24π（cm2）．故選：C．【點評】本題考查了圓錐的計算，利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解．4．（2023?建鄴區(qū)一模）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分別剪出扇形ABC和⊙O，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面．若點O在BD上，則BO的最大值是（）A． B． C． D．【分析】連接AC交BD于P點，如圖，利用菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，PB＝PD，∠ABP＝∠ABC＝30°，AB∥DC，則可計算出PA＝3，∠CDB＝∠ABD＝30°，BP＝3，則BD＝6，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，利用這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長得到2πr＝，解得r＝1，由于⊙O于DA、DC相切時，BO的值最大，過O點作OH⊥DC于H，如圖，則OH＝1，然后求出OD，從而得到BO的最大值．【解答】解：連接AC交BD于P點，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，PB＝PD，∠ABP＝∠ABC＝30°，AB∥DC，∴PA＝AB＝3，∠CDB＝∠ABD＝30°，∴BP＝AP＝3，∴BD＝2BP＝6，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝1，當(dāng)⊙O與DA、DC相切時，BO的值最大，過O點作OH⊥DC于H，如圖，則OH＝1，∴OD＝2OH＝2，∴BO＝BD﹣OD＝6﹣2，即BO的最大值是6﹣2．故選：B．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了菱形的性質(zhì)．5．（2023?姑蘇區(qū)校級一模）已知一個圓錐側(cè)面展開圖是一個半圓，其底面圓半徑為1，則該圓錐母線長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】設(shè)該圓錐母線長為l，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據(jù)弧長公式得到2π×1＝，然后解方程即可．【解答】解：設(shè)該圓錐母線長為l，根據(jù)題意得2π×1＝，解得l＝2，即該圓錐母線長為2．故選：B．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．6．（2023?宜興市一模）如果圓錐的母線長為5，底面半徑為2，那么這個圓錐的側(cè)面積為（）A．10 B．10π C．20 D．20π【分析】根據(jù)圓的周長公式求出圓錐的底面周長，根據(jù)扇形面積公式計算，得到答案．【解答】解：∵圓錐的底面半徑為2，∴圓錐的底面周長為4π，∴這個圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長為4π，∴這個圓錐的側(cè)面積為：×4π×5＝10π，故選：B．【點評】本題考查的是扇形的計算，掌握圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023?蘇州一模）一個圓錐的母線長為3cm，側(cè)面展開圖扇形的圓心角為120°，則這個圓錐的底面圓半徑為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．cm【分析】根據(jù)弧長公式求出圓錐的底面圓的周長＝＝2π（cm），設(shè)這個圓錐的底面圓的半徑為rcm，根據(jù)圓的周長公式得出2πr＝2π，再求出r即可．【解答】解：圓錐的底面圓的周長＝＝2π（cm），設(shè)這個圓錐的底面圓的半徑為rcm，則2πr＝2π，解得：r＝1，即這個圓錐的底面圓半徑為1cm，故選：A．【點評】本題考查了圓錐的計算，能熟記弧長公式是解此題的關(guān)鍵，已知扇形的圓心角為n°，半徑為r，那么扇形所對的弧的長度是．8．（2023?錫山區(qū)模擬）如圖是用紙板制作了一個圓錐模型，它的底面半徑為1，高為2，則這個圓錐的側(cè)面積是（）A．4π B．3π C．2π D．π【分析】先利用勾股定理計算出母線長，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式求解即可．【解答】解：錐的母線長＝＝3，所以這個圓錐的側(cè)面積＝?2π?1?3＝3π．故選：B．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．9．（2022秋?興化市期末）已知圓錐的底面半徑為2，母線長為6，則它的側(cè)面展開圖的面積是（）A．12 B．24 C．12π D．24π【分析】由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，從而利用扇形的面積公式可計算圓錐的側(cè)面積．【解答】解：它的側(cè)面展開圖的面積＝×2π×2×6＝12π．故選：C．【點評】本題考查了圓錐的計算，正確記憶圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長是解題關(guān)鍵．10．（2023?盱眙縣模擬）若要制作一個母線長為9cm，底面圓的半徑為4cm的圓錐，則這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是160°．【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖，扇形圓心角與母線和底面圓半徑的關(guān)系計算，即可求解．【解答】解：設(shè)這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是n，根據(jù)題意得：2，解得n＝160，即這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是160°，故答案為：160°．【點評】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖，扇形圓心角與母線和底面圓半徑的關(guān)系，明確圓錐的底面圓的周長＝扇形的弧長是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023?儀征市模擬）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分別剪出扇形ABC和⊙O，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面．若點O在BD上，則BO的最大值是6﹣2．【分析】由題意可得當(dāng)⊙O與AD，CD相切時，BO的值最大，設(shè)⊙O與AD相切于點M，連接OM，連接AC交BD于點P，則OM⊥AD，根據(jù)菱形性質(zhì)及三角函數(shù)求得BD的長度，再根據(jù)⊙O的周長等于扇形ABC的弧長求得OM的長，繼而求得OD的長，最后利用線段的和差即可求得答案．【解答】解：如圖，由題意可得，當(dāng)⊙O與AD，CD相切時，BO的值最大，設(shè)⊙O與AD相切于點M，連接OM，連接AC交BD于點P，則OM⊥AD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABP＝∠ADP＝∠ABC＝×60°＝30°，BD＝2BP，∵cos∠ABP＝cos30°＝，∴BP＝ABcos30°＝6×＝3，∴BD＝6，∵扇形ABC和⊙O，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面，∴⊙O的周長等于扇形ABC的弧長，即＝2π?OM，∴OM＝1，∵∠OMD＝90°，∠ODM＝30°，∴OD＝2OM＝2，∴BO＝BD﹣OD＝6﹣2，故答案為：6﹣2．【點評】本題考查圓與菱形，圓與圓錐的綜合問題，由題意得出⊙O與AD，CD相切時，BO的值最大，并根據(jù)圓錐中底面圓的周長等于其側(cè)面展開圖的弧長求得圓的半徑是解題的關(guān)鍵．12．（2023?鹽都區(qū)三模）已知圓錐側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)是120°，母線長為3，則圓錐的底面圓的半徑是1．【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長是扇形的弧長列式計算即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則2πr＝，解得：r＝1，即圓錐的底面圓的半徑為1，故答案為：1．【點評】本題考查的是圓錐的計算，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?蘇州期末）在半徑為的圓形紙片中，剪出一個圓心角為60°的扇形（圖中的陰影部分）．（1）求這個扇形的半徑；（2）若用剪得的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，求所圍成圓錐的底面圓半徑．【分析】（1）連接BC，OB，OC，過點O作OD⊥BC，垂足為D，得到∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，根據(jù)垂徑定理，求得BC＝2BD，判定△ABC是等邊三角形，計算即可．（2）設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，根據(jù)題意，得，計算即可．【解答】解：（1）如圖，連接BC，OB，OC，過點O作OD⊥BC，垂足為D，∵∠BAC＝60°，，AB＝AC，∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，△ABC是等邊三角形，∴，AB＝BC＝AC，∴這個扇形的半徑為3．（2）設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，根據(jù)題意，得，解得．故圓錐底面圓的半徑為．【點評】本題考查圓錐的計算，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，弧長公式，圓錐與扇形的關(guān)系，熟練掌握弧長公式，垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．（2023?工業(yè)園區(qū)校級模擬）如圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC將扇形EAF圍成圓錐時，AE、AF恰好重合，已知這種加工材料的頂角∠BAC＝90°．（1）求圖2中圓錐底面圓直徑ED與母線AD長的比值；（2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）【分析】（1）由于圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用弧長公式得到π?DE＝，從而求出ED：AD即可；（2）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC＝2AD＝20cm，再利用扇形的面積公式，利用S陰影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF進(jìn)行計算．【解答】解：（1）根據(jù)題意得π?DE＝，∴DE＝AD，∴ED與母線AD長的比值為；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，而AD＝2DE＝10cm，∴BC＝2AD＝20cm，∴S陰影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×10×20﹣＝（100﹣25π）cm2．答：加工材料剩余部分的面積為（100﹣25π）cm2．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．15．（2022秋?廣陵區(qū)校級期末）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A、B、C，請在網(wǎng)格圖中進(jìn)行下列操作（以下結(jié)果保留根號）：（1）利用網(wǎng)格找出該圓弧所在圓的圓心D點的位置，寫出D點的坐標(biāo)為（2，0）；（2）連接AD、CD，若扇形DAC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐底面半徑為；（3）連接BC，將線段BC繞點D旋轉(zhuǎn)一周，求線段BC掃過的面積．【分析】（1）線段AB與BC的垂直平分線的交點為D；（2）連接AC，先判斷∠ADC＝90°，則可求的弧長，該弧長即為圓錐底面圓的周長，由此可求底面圓的半徑；（3）設(shè)BC的中點為E，線段BC的運(yùn)動軌跡是以D為圓心DC、DE分別為半徑的圓環(huán)面積．【解答】解：（1）作線段AB，BC的垂直平分線交于點D，則D（2，0），故答案為：（2，0）；（2）連接AC，∵A（0，4），B（4，4），C（6，2），∴AD＝2，CD＝2，AC＝2，∵AC2＝AD2+CD2，∴∠ADC＝90°，∴的長＝×2π×2＝π，∵扇形DAC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，∴π＝2πr，∴r＝，故答案為：；（3）設(shè)BC的中點為E，∴E（5，3），∴DE＝3，∴S＝π×（CD2﹣DE2）＝2π，∴線段BC掃過的面積是2π．【點評】本題考查圓錐的展開圖，垂徑定理，能夠由三點確定圓的圓心位置，理解圓錐展開圖與圓錐各部位的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?連云區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一段圓弧經(jīng)過格點A、B、C．（1）請在圖中標(biāo)出圓心P點位置，寫出點P的坐標(biāo)；⊙P的半徑為2；（2）判斷點M（﹣2，1）與⊙P的位置關(guān)系；（3）若扇形PAC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面積5π．【分析】（1）利用網(wǎng)格特點畫出BC和AB的垂直平分線，它們的交點為P點，再寫出P點坐標(biāo)，然后計算PA長得到⊙P的半徑；（2）利用兩點間的距離公式計算出PM，然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判斷方法求解；（3）先利用勾股定理的逆定理證明△PAC為直角三角形，∠APC＝90°，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為r，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，則利用弧長公式得到2πr＝，求出r，從而得到該圓錐的底面積．【解答】解：（1）如圖，點P為所作，P點坐標(biāo)為（2，﹣1），PA＝＝2，即⊙P的半徑為2；故答案為：2；（2）∵P（2，﹣1），M（﹣2，1），∴PM＝＝2，∴PM的長等于圓的半徑，∴點M在⊙P上；（3）∵PA＝PC＝2，AC＝＝2，∴PA2+PC2＝AC2，∴△PAC為直角三角形，∠APC＝90°，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝，∴該圓錐的底面積＝π×（）2＝π．故答案為：π．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)和垂徑定理．17．（2022秋?姜堰區(qū)月考）一個水平放置的圓錐的主視圖為底邊長2cm、腰長4cm的等腰三角形．試求：（1）該圓錐的側(cè)面積．（2）圓錐的側(cè)面展開圖的扇形的圓心角度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出底面半徑OA＝1cm，根據(jù)圓錐側(cè)面積的計算方法進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)弧長公式列方程求解即可．【解答】解：如圖，∵SA＝SB＝4cm，SO⊥AB，∴OA＝OB＝AB＝1cm，即圓錐的底面半徑OA＝1cm，母線SA＝4cm，∴S側(cè)面積＝×底面周長×母線長＝×2π×4＝4π（cm2）；（2）設(shè)扇形所占的圓心角的度數(shù)為n°，由題意可知，圓錐側(cè)面展開圖的扇形的弧長為2πcm，半徑為4cm，設(shè)扇形所占的圓心角的度數(shù)為n°，＝2π，解得n＝90，即圓錐的側(cè)面展開圖的扇形的圓心角度數(shù)是90°．【點評】本題考查圓錐的計算，等腰三角形的性質(zhì)，掌握弧長、扇形面積的計算公式是正確解答的前提．18．（2022秋?邗江區(qū)校級月考）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）．請回答下列問題：（1）若該圓弧所在圓的圓心為點D，則點D的坐標(biāo)為（﹣2，0）；（2）在（1）的條件下，連接AD，CD，則扇形ADC所在圓的半徑長為2，∠ADC的度數(shù)為90°；（3）若扇形ADC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐的底面半徑．（結(jié)果保留根號）【分析】（1）利用垂徑定理得出D點位置即可；（2）利用點的坐標(biāo)結(jié)合勾股定理得出⊙D的半徑長，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出∠ADC的度數(shù)；（3）利用圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長即可得出答案．【解答】解：（1）分別作AB、BC的垂直平分線，兩直線交于點D，則點D即為該圓弧所在圓的圓心，由圖形可知，點D的坐標(biāo)為（﹣2，0），故答案為：（﹣2，0）；（2）圓D的半徑長＝＝2，AC＝＝2，AD2+CD2＝20+20＝40，AC2＝40，則AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，故答案為：2；90°；（3）設(shè)圓錐的底面圓的半徑長為r，則2πr＝，解得，r＝．【點評】此題主要考查了圓的綜合以及圓錐側(cè)面展開圖以及弧長公式和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出D點位置是解題關(guān)鍵．19．（2022秋?鹽都區(qū)期中）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），請在網(wǎng)格圖中進(jìn)行如下操作：（1）若該圓弧所在圓的圓心為D點，則D點坐標(biāo)為（﹣2，0）；（2）連接AD、CD，則圓D的半徑長為2（結(jié)果保留根號）．∠ADC的度數(shù)為90°；（3）若扇形ADC是一個圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐的底面圓的半徑長（結(jié)果保留根號）【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出D點位置，結(jié)合圖形得到點D的坐標(biāo)；（2）利用點的坐標(biāo)結(jié)合勾股定理得出⊙D的半徑長，根據(jù)勾股定理的逆定理∠ADC的度數(shù)；（3）利用圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長即可得出答案．【解答】解：（1）分別作AB、BC的垂直平分線，兩直線交于點D，則點D即為該圓弧所在圓的圓心，由圖形可知，點D的坐標(biāo)為（﹣2，0），故答案為：（﹣2，0）；（2）圓D的半徑長＝＝2，AC＝＝2，AD2+CD2＝20+20＝40，AC2＝40，則AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，故答案為：2；90；（3）設(shè)圓錐的底面圓的半徑長為r，則2πr＝，解得，r＝．【點評】本題考查的是圓錐的計算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面積公式、正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．20．（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分線，且AD＝6，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧EF，交AB于點E，交AC于點F．（1）求由弧EF及線段FC、CB、BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積；（2）將陰影部分剪掉，余下扇形AEF，將扇形AEF圍成一個圓錐的側(cè)面，AE與AF正好重合，圓錐側(cè)面無重疊，求這個圓錐的高h(yuǎn)．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，BD＝CD，則可計算出BD＝6，然后利用扇形的面積公式，利用由弧EF及線段FC、CB、BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積＝S△ABC﹣S扇形EAF進(jìn)行計算；（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2πr＝，解得r＝2，然后利用勾股定理計算這個圓錐的高h(yuǎn)．【解答】解：∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BD＝AD＝6，∴BC＝2BD＝12，∴由弧EF及線段FC、CB、BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×6×12﹣＝36﹣12π；（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝2，這個圓錐的高h(yuǎn)＝＝4．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和扇形的面積公式．21．（2022秋?新吳區(qū)期中）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A、B、C，請在網(wǎng)格中進(jìn)行下列操作：（1）請在圖中確定該圓弧所在圓心D點的位置，D點坐標(biāo)為（2，0）；（2）連接AD、CD，求⊙D的半徑及扇形DAC的圓心角度數(shù)；（3）若扇形DAC是某一個圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐的底面半徑．【分析】（1）找到AB，BC的垂直平分線的交點即為圓心坐標(biāo)；（2）利用勾股定理可求得圓的半徑；易得△AOD≌△DEC，那么∠OAD＝∠CDE，即可得到圓心角的度數(shù)為90°；（3）求得弧長，除以2π即為圓錐的底面半徑．【解答】解：（1）如圖；D（2，0）（4分）（2）如圖；；作CE⊥x軸，垂足為E．∵△AOD≌△DEC，∴∠OAD＝∠CDE，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE+∠ADO＝90°，∴扇形DAC的圓心角為90度；（3）∵弧AC的長度即為圓錐底面圓的周長．l?。?，設(shè)圓錐底面圓半徑為r，則，∴．【點評】本題用到的知識點為：非直徑的弦的垂直平分線經(jīng)過圓心；圓錐的弧長等于底面周長．二．圓柱的計算（共3小題）22．（2023?宿遷一模）若圓柱的底面半徑為3cm，母線長為4cm，則這個圓柱的側(cè)面積為（）A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2【分析】圓柱側(cè)面積＝底面周長×高．【解答】解：根據(jù)側(cè)面積公式可得：π×2×3×4＝24πcm2，故選：D．【點評】本題考查了圓柱的計算，解題的關(guān)鍵是弄清圓柱的側(cè)面積的計算方法，圓柱的側(cè)面積＝底面圓的周長×高．23．（2022?宜興市校級一模）如果圓柱的母線長為5cm，底面半徑為2cm，那么這個圓柱的側(cè)面積是20πcm2．【分析】根據(jù)柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長等于矩形的長和矩形的面積公式進(jìn)行計算．【解答】解：這個圓柱的側(cè)面積＝5×2π×2＝20π（cm2）．故答案為20πcm2．【點評】本題考查了圓柱的計算：圓柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長等于矩形的長．24．（2021?江都區(qū)模擬）已知圓柱的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則圓柱的側(cè)面積是30πcm2．【分析】圓柱側(cè)面積＝底面周長×高．【解答】解：π×2×3×5＝30πcm2，故答案為30π．【點評】本題考查了圓柱的計算，掌握圓柱側(cè)面積的計算方法是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）已知圓錐的底面半徑為3，母線長為4，則它的側(cè)面展開圖的面積是（

）．A．6 B．12 C．6π D．12π【答案】D【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式計算即可．【詳解】根據(jù)題意可知．故選：D．【點睛】本題主要考查了求圓錐的側(cè)面積，掌握公式是解題的關(guān)鍵．即（其中r是底面半徑，l是圓錐的母線）．2．（2022·江蘇無錫·校考二模）若圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則這個圓錐的側(cè)面積為（

）A．15 B．12π C．15π D．30π【答案】C【分析】求出底面周長，即為側(cè)面展開圖的弧長，利用扇形面積公式即可求解．【詳解】解：圓錐側(cè)面積為，故選：C．【點睛】本題考查求圓錐側(cè)面積，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．3．（2020·江蘇連云港·?？家荒＃┤鐖D所示，小紅要制作一個母線長為，底面圓周長是的圓錐形小漏斗，若不計損耗，則她所需紙板的面積是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積底面周長母線長即可得到解答．【詳解】解：∵底面圓周長是，母線長為，∴圓錐形小漏斗的側(cè)面積，故選：．【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式，熟記圓錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┑男边叄粭l直角邊，以邊所在直線為軸將這個三角形旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓錐，則這個圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，圓錐的側(cè)面積．故選：B．【點睛】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積的計算，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考二模）已知圓錐的底面半徑是，母線長為，則圓錐的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即扇形面積公式計算．【詳解】解：圓錐的側(cè)面積是．故選：C．【點睛】本題考查的是圓錐的計算，圓錐的側(cè)面積：，熟記圓錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三視圖有圓，有三角形，由此可判斷該幾何體是圓錐；從圖可看出該圓錐的底面圓的直徑為12，圓錐的高為8，然后問題可求解．【詳解】解：由圖可知：該幾何體為圓錐，且該圓錐的底面圓的直徑為12，圓錐的高為8，則該圓錐的母線長為，所以該幾何體的側(cè)面積為；故選C．【點睛】本題主要考查三視圖及圓錐的側(cè)面積，熟練掌握三視圖及圓錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）將半徑為4，圓心角為的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則此圓錐底面圓的半徑是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】設(shè)此圓錐底面圓的半徑是，根據(jù)弧長公式可得，求解即可獲得答案．【詳解】解：設(shè)此圓錐底面圓的半徑是，根據(jù)題意，可得，解得，即此圓錐底面圓的半徑是1．故選：A．【點睛】本題主要考查了計算弧長以及圓錐的相關(guān)計算，解題關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面展開圖是一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長．8．（2023·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考三模）如圖，在菱形紙片中，，，分別剪出扇形和，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面．若點在上，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得的半徑為，進(jìn)而求得，當(dāng)與相切時，取得最大值，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)求得，即可求解．【詳解】解：∵，，∴的長為，∴的半徑為，連接，則是等邊三角形，，∴當(dāng)與相切時，取得最大值，設(shè)與相切于點，則∵在菱形紙片中，，∴，∴∴的最大值是，故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，圓錐側(cè)面積公式，切線的性質(zhì)，勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）已知一個三角形的三邊長分別為3、4、5，將這個三角形繞著最短的邊所在直線施轉(zhuǎn)一周，得到一個幾何體，那么這個幾何體的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】繞著最短的邊即直角邊為3所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，底面半徑是4，高是3，母線為5，然后利用圓錐的側(cè)面積（為底面圓周長）計算即可．【詳解】解：繞著最短的邊即直角邊為3所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，底面半徑是4，高是3，母線為5，∴側(cè)面積為：，故選：C【點睛】此題考查了點、線、面、體中的面動成體，解題關(guān)鍵是繞著最短的邊即直角邊為3所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐及圓錐的側(cè)面積（為底面圓周長）．10．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知圓錐的底面半徑是2，母線長是6．如果A是底面圓周上一點，從點A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點，則這根繩子的長度可能是（

）A．8 B．11 C．10 D．9【答案】B【分析】設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n．利用弧長公式構(gòu)建方程求出n的值，連結(jié)AC，過B作BD⊥AC于D，求出AC的長即可判斷；【詳解】解：設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n．底面圓的周長等于：解得：n=120°；連結(jié)AC，過B作BD⊥AC于D，則∠ABD=60°．AB=6，BD=3，∴

AC=2AD=，即這根繩子的最短長度是，故這根繩子的長度可能是11，故選：B．【點睛】此題考查了圓錐的計算，勾股定理的應(yīng)用，含30°角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是記住圓錐的底面圓的周長和扇形弧長相等，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．二、填空題11．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）用半徑為20，圓心角為90°的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓半徑為___________．【答案】5【分析】設(shè)這個圓錐的底面圓半徑為r，利用弧長公式得到并解關(guān)于r的方程即可．【詳解】設(shè)這個圓錐的底面圓半徑為r根據(jù)題意得解得故答案為：5．【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．12．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）底面半徑為3，母線長為5的圓錐的高是_________．【答案】4【分析】圓錐的母線長、底面半徑與高組成一個直角三角形，其中母線長為斜邊，由勾股定理即可完成．【詳解】由勾股定理得，圓錐的高為故答案為：4【點睛】本題考查了圓錐的母線、底面半徑與高間的關(guān)系，用勾股定理是關(guān)鍵．13．（2023春·江蘇連云港·九年級?？计谥校┤鐖D，正五邊形的邊長為4，以頂點A為圓心，長為半徑畫圓，若圖中陰影部分恰是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則這個圓錐底面圓的半徑是______．

【答案】【分析】先利用正多邊形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)圓錐底面圓的周長即為其展開圖中扇形的弧長進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)這個圓錐底面圓的半徑是r，由題意得，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了求圓錐底面圓半徑，正多邊形內(nèi)角，熟知圓錐底面圓的周長即為其展開圖中扇形的弧長是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）已知圓錐的側(cè)面積為，母線長為，則該圓錐的底面直徑為________cm．【答案】10【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面的計算公式，求得底面半徑，即可求解．【詳解】解：；解得，所以直徑為故答案為：10．【點睛】此題考查了圓錐側(cè)面積的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐側(cè)面積的計算公式．15．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）如圖，一把打開的雨傘可近似的看成一個圓錐，傘骨（面料下方能夠把面料撐起來的支架）末端各點所在圓的直徑長為12分米，傘骨長為10分米，那么制作這樣的一把雨傘至少需要綢布面料為______平方分米．

【答案】【分析】圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，根據(jù)題意可得該圓錐的母線長為，則扇形的直徑為，根據(jù)的長度可求出圓錐地面周長，即可得出扇形的弧長，最后根據(jù)扇形面積公式即可求解．【詳解】解：∵分米，∴該圓錐底面周長為分米，∴該圓錐側(cè)面積（平方分米），故答案為：．【點睛】本題主要考查了求圓錐側(cè)面積，解題的關(guān)鍵是掌握圓錐的側(cè)面展開圖為，以及扇形面積公式．16．（2022·江蘇揚(yáng)州·?？既＃﹫A錐的底面圓半徑是1，側(cè)面展開圖的圓心角是90°，那么圓錐的母線長是___________．【答案】4【分析】利用弧長等于底面圓的周長方程求解即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為R，由題意得：解得：，故答案為：4．【點睛】本題主要考查扇形的弧長公式，掌握弧長公式各字母代表的含義正確代入計算，解此題的關(guān)鍵是掌握圓錐側(cè)面扇形的弧長等于底面圓的周長．17．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形紙片中，，分別剪出扇形和，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面．若點在上，則的最大值是__________．

【答案】/【分析】根據(jù)已知條件求得的半徑為，進(jìn)而求得，當(dāng)與相切時，取得最大值，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)求得，即可求解．【詳解】解：∵，，∴的長為，∴的半徑為，連接，則是等邊三角形，，∴當(dāng)與相切時，取得最大值，

設(shè)與相切于點，則∵在菱形紙片中，，∴，∴∴的最大值是，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，圓錐側(cè)面積公式，切線的性質(zhì)，勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）如圖是一頂由扇形紙板圍成的圓錐形生日帽，陰影部分是扇形紙板重疊的部分（用于黏貼）．已知生日帽的母線長為25cm，高為24cm，長為，則原扇形紙板的圓心角度數(shù)為______°．【答案】108【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的弧長等于圓錐底面周長計算．【詳解】解∶圓錐的底面半徑為，底面周長為，設(shè)原扇形紙板的圓心角度數(shù)為度，解得．故答案為∶108【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解．三、解答題19．（2021秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）用鐵皮制作圓錐形容器蓋，其尺寸要求如圖所示．(1)求圓錐的高；(2)求所需鐵皮的面積（結(jié)果保留）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓錐的母線、高和底面圓的半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理即可求解；（2）根據(jù)圓錐的底面圓周長是扇形的弧長，圓錐的母線長是扇形的半徑進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)為圓錐的高，為圓錐的母線，為底面圓的半徑，∴，，，∴有中，∴圓錐的高為．（2）圓錐的底面周長為：，∵圓錐的底面周長是側(cè)面展開得到的扇形的弧長，∴扇形的弧長為，∴扇形的面積為，∴所需鐵皮的面積為．【點睛】本題考查圓錐的計算．正確理解圓錐的高、母線與底面圓的半徑構(gòu)成直角三角形，圓錐的側(cè)面與它的側(cè)面展開圖扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，要正確理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．20．（2022秋·江蘇常州·九年級常州實驗初中校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點、、，(1)經(jīng)過A，B，Ｃ三點的圓弧所在圓的圓心D點的坐標(biāo)為___________(2)的半徑為___________（結(jié)果保留根號），的度數(shù)為___________(3)若扇形是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面半徑___________（結(jié)果保留根號）(4)點M是第一象限網(wǎng)格中的一個格點，直線與相切，寫出滿足條件的點M的坐標(biāo)___________【答案】(1)；(2)：，；(3)；(4)．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可作和的垂直平分線，它們的交點即為D點；（2）利用勾股定理可求得半徑的長，根據(jù)勾股定理的逆定理可求得；（3）先根據(jù)弧長公式求出的長，再根據(jù)圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長列式求出底面半徑即可；（4）根據(jù)和切線的性質(zhì)可得，作出圖形即可得到點M的坐標(biāo)．【詳解】（1）解∶如圖，分別作，的垂直平分線交于點D，則點D為所求圓心，由圖得，點D的坐標(biāo)為，故答案為：；（2）解：如圖，連接，，，∴的半徑為：，∵，且，∴，∴，故答案為：，；（3）解：∵，∴的長為：，設(shè)該圓錐底面半徑為r，則，解得：，即該圓錐底面半徑為，故答案為：；（4）解：∵，∴，∵直線與相切，∴，∴，如圖，當(dāng)，點M是第一象限網(wǎng)格中的一個格點時，M的坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理及其逆定理，弧長公式，圓錐的有關(guān)計算，切線的性質(zhì)等知識，掌握確定圓心的方法是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級校聯(lián)考期中）我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．如圖，將△ABC放在每個小正方形邊長為1的網(wǎng)格中，點均落在格點上．(1)用無刻度直尺畫出的最小覆蓋圓的圓心（保留痕跡）；(2)用圓規(guī)畫出的最小覆蓋圓，則的半徑為，；(3)若將扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，求該圓錐的底面圓的半徑（結(jié)果保留根號）．【答案】(1)見解析(2)半徑

(3)該圓錐的底面圓的半徑為【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點畫出的垂直平分線的交點，即為所求；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點以及勾股定理即可求得半徑，根據(jù)網(wǎng)格可得是等腰直角三角形，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理可得；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論代入弧長公式進(jìn)行計算，進(jìn)而求得該圓錐的底面圓的半徑【詳解】（1）如圖，點O即為所求.（2）如圖所示，半徑，∵是等腰直角三角形，則，∵，∴，（3）設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為．【點睛】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，畫三角形的外接圓，網(wǎng)格中找等腰三角形，圓周角定理，弧長公式，求圓錐底面半徑，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點、、，請在網(wǎng)格圖中進(jìn)行如下操作：(1)若該圓弧所在圓的圓心為D，則D點坐標(biāo)為_____；(2)連接、，則的半徑長為______，的度數(shù)為______；(3)若扇形是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑為_______．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)(2)2，90°(3)【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出點位置，結(jié)合圖形得到點的坐標(biāo)；（2）利用點的坐標(biāo)結(jié)合勾股定理得出的半徑長，根據(jù)勾股定理的逆定理的度數(shù)；（3）利用圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長即可得出答案．【詳解】（1）解：分別作、的垂直平分線，兩直線交于點，則點即為該圓弧所在圓的圓心，由圖形可知，點的坐標(biāo)為，故答案為：；（2）圓的半徑長，，，，則，，故答案為：；90；（3）設(shè)圓錐的底面圓的半徑長為，則，解得，．【點睛】本題考查的是圓錐的計算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面積公式、正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．23．（2022秋·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期末）在半徑為的圓形紙片中，剪出一個圓心角為的扇形（圖中的陰影部分）．(1)求這個扇形的半徑；(2)若用剪得的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，求所圍成圓錐的底面圓半徑．【答案】(1)3(2)【分析】(1)連接，，過點O作，垂足為D，得到，，根據(jù)垂徑定理，求得，判定是等邊三角形，計算即可．(2)設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，根據(jù)題意，得，計算即可．【詳解】（1）如圖，連接，，過點O作，垂足為D，∵，，，∴，，是等邊三角形，∴，，∴這個扇形的半徑為3．（2）設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，根據(jù)題意，得，解得．故圓錐底面圓的半徑為．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，弧長公式，圓錐與扇形的關(guān)系，熟練掌握弧長公式，垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在一張四邊形的紙片中，，，，以點為圓心，為半徑的圓分別與交于點．(1)求證：與相切；(2)過點B作的切線；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(3)若用剪下的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，能否從剪下的兩塊余料中選取一塊，剪出一個圓作為這個圓錐的底面？【答案】(1)見解析(2)見解析(3)能，理由見解析【分析】（1）過點作于點，勾股定理求得可得是的半徑，即可得證；（2）作線段的垂直平分線，交于點，作直線，則即為所求，根據(jù)作圖可得，根據(jù)勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即可求解；（3）根據(jù)弧長公式求得的長，繼而求得圓錐的底面半徑，連接交于點，過點作于點，交于點，過點作于點，則與相切，繼而求得的半徑，比較與的大小，進(jìn)而比較與圓錐底面半徑的大小即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點作于點，∵，∴，∵的半徑為，∴是的半徑，又，∴是的切線；（2）如圖，作線段的垂直平分線，交于點，作直線，則即為所求，理由，∵，∴∴是直角三角形，且∴是的切線；（3）解：∵∴，∴則圓錐的底面圓的半徑為如圖，連接交于點，過點作于點，交于點，過點作于點，則與相切，∵∴∵∴∴∴由（1）可知之間的距離為，∴,∵∴∴是等腰直角三角形，∴∵∴是等腰直角三角形，∴設(shè)的半徑為，則，∴解得∴,∴，∴，，∵，又，∴，即，∵．∴能從剪下的兩塊余料中選取一塊，剪出一個圓作為這個圓錐的底面．【點睛】本題考查了切線的判定，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．一．選擇題（共8小題）1．（2022?錫山區(qū)一模）若圓柱的底面半徑為3cm，母線長為4cm，則這個圓柱的側(cè)面積為（）A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2【分析】圓柱側(cè)面積＝底面周長×高．【解答】解：根據(jù)側(cè)面積公式可得：π×2×3×4＝24πcm2，故選：D．【點評】本題考查了圓柱的計算，解題的關(guān)鍵是弄清圓柱的側(cè)面積的計算方法，圓柱的側(cè)面積＝底面圓的周長×高．2．（2022?周村區(qū)一模）如圖，將半徑為15cm的圓形紙片剪去圓心角為144°的一個扇形，用剩下的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計），這個圓錐的高是（）A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，由于扇形的弧長等于圓錐底面的周長，根據(jù)弧長公式得2πr=(360-144)×π×15180，解方程得【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，根據(jù)題意得2πr=解得r＝9，所以圓錐的高=152故選：B．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．3．（2022?潛江模擬）若圓錐的側(cè)面積為18π，底面半徑為3，則該圓錐的母線長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】設(shè)該圓錐的母線長為l，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用扇形的面積公式得到12×2π×3×l＝18【解答】解：設(shè)該圓錐的母線長為l，根據(jù)題意得12×2π×3×l＝18解得l＝6，即該圓錐的母線長是6．故選：D．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．4．（2022?陸良縣模擬）如圖是一個圓錐形冰淇淋外殼，已知其母線長為10cm，底面半徑為3cm，則這個冰淇淋外殼的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為（）A．108° B．120° C．144° D．150°【分析】設(shè)這個冰淇淋外殼的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為n°，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用弧長公式得到2π×3=n×π×10【解答】解：設(shè)這個冰淇淋外殼的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為n°，根據(jù)題意得2π×3=n×π×10解得n＝108，即這個冰淇淋外殼的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為108°．故選：A．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．5．（2022?西山區(qū)一模）如圖，從一塊半徑為2m的圓形鐵皮上剪出一個扇形ABC，且BC經(jīng)過圓心O．如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為（）mA．2 B．1 C．23 D．【分析】連接OA、OB、OC，如圖，先證明△ABO和△ACO為等邊三角形得到∠OAB＝∠OAC＝60°，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為rm，利用弧長公式得到2πr=120×π×2【解答】解：連接OA、OB、OC，如圖，∵AB＝AO＝AC＝OB＝OC，∴△ABO和△ACO都為等邊三角形，∴∠OAB＝∠OAC＝60°，∴∠BAC＝120°，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為rm，根據(jù)題意得2πr=120×π×2解得r=2即該圓錐的底面圓的半徑為23m故選：C．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．6．（2022?紅河州一模）小琳準(zhǔn)備用一張半徑為30cm的扇形紙板，制作一個圓錐形的帽子（接縫忽路不計），如果圓錐形的帽子要做成底面半徑為8cm，那么需要扇形紙板的面積是（）A．120cm2 B．120πcm2 C．240cm2 D．240πcm2【分析】由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，則利用扇形的面積公式可計算出扇形紙板的面積．【解答】解：根據(jù)題意得扇形紙板的面積=12×2π×8×30＝240π（故選：D．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．7．（2022?宜興市一模）如圖，圓錐的軸截面是一個斜邊為1的等腰直角三角形，則這個圓錐的側(cè)面積是（）A．24π B．22π C．π【分析】易得圓錐的底面半徑及母線長，那么圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2．【解答】解：∵圓錐的軸截面是一個斜邊為1的等腰直角三角形，∴底面半徑＝0.5，母線長為22，底面周長＝π∴圓錐的側(cè)面積=12×故選：A．【點評】本題考查了圓錐的計算，利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解，解題的關(guān)鍵是牢記有關(guān)公式，難度不大．8．（2021秋?東城區(qū)期末）如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，將長方形ABCD繞邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱甲，再將長方形ABCD繞邊BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱乙，記兩個圓柱的側(cè)面積分別為S甲、S乙．下列結(jié)論中正確的是（）A．S甲＞S乙 B．S甲＜S乙 C．S甲＝S乙 D．不確定【分析】根據(jù)圖形分別求出S甲＝2πab，S乙＝2πba，再求出S甲﹣S乙＝0，根據(jù)差的正負(fù)即可比較大?。窘獯稹拷猓骸逽甲＝2π×b×a＝2πab，S乙＝2π×a×b＝2πba，∴S甲﹣S乙＝2πab﹣2πba＝0，∴S甲﹣S乙＝0，∴S甲＝S乙，故選：C．【點評】本題考查了圓柱的計算，點、線、面、體，幾何體的表面積等知識點，能分別求出圖甲和圖乙的面積是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）9．（2022?邳州市一模）已知圓錐的側(cè)面積為50π，底面圓半徑為5，則此圓錐的母線長為10．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積計算公式S側(cè)＝πrl，進(jìn)行計算即可得出答案．【解答】解：S側(cè)＝πrl，50π＝5πl(wèi)，解得：l＝10．故答案為：10．【點評】本題主要考查了圓錐的計算，熟練掌握圓錐的計算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．10．（2022?無錫模擬）已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°，半徑為3cm的扇形，則這個圓錐的底面圓周長是2πcm．【分析】根據(jù)展開圖扇形的弧長等于圓錐的底面圓周長，計算即可得出答案．【解答】解：展開圖扇形的弧長l=nπr180=根據(jù)題意展開圖扇形的弧長等于圓錐的底面圓周長，即這個圓錐的底面圓周長是2πcm．故答案為：2π．【點評】本題主要考查了圓錐的計算，熟練掌握圓錐原圖與展開圖扇形之間的關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．11．（2022?連云港一模）小紅用圖中所示的扇形紙片制作一個圓錐形容器（接縫忽略不計）的側(cè)面，已知扇形紙片的半徑為5cm，圓心角為240°，那么這個圓錐形容器底面半徑為245cm【分析】先計算出扇形的面積，設(shè)圓錐的店面半徑為r，則母線長l＝5，根據(jù)題意，扇形的面積等于圓錐側(cè)面積，根據(jù)圓錐側(cè)面積計算公式S側(cè)＝S扇AOB＝πrl，代入計算即可得出答案．【解答】解：S扇AOB=nπr2設(shè)圓錐的店面半徑為r，則母線長l＝5，根據(jù)題意可得，S側(cè)＝S扇AOB＝πrl，24π＝5πr，解得：r=24故答案為：【點評】本題主要考查了圓錐的計算，熟練掌握圓錐的計算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．12．（2022春?眉山期中）已知圓錐的高為8cm，母線長為10cm，則圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為216°．【分析】先利用勾股定理計算出底面圓的半徑為6cm，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為n°，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2π?6=nπ×10180，然后解關(guān)于【解答】解：圓錐的底面圓的半徑=102設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為n°，根據(jù)題意得2π?6=nπ×10解得n＝216，即圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為216°．故答案為：216．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．13．（2022春?亭湖區(qū)校級期中）圓錐的母線長為3cm，底面圓的半徑長為1cm，則該圓錐的側(cè)面積為3πcm2．【分析】直接用圓錐的側(cè)面積公式計算即可．【解答】解：圓錐的側(cè)面積為：πrl＝3×1π＝3πcm2，故答案為：3π．【點評】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是正確地進(jìn)行圓錐與扇形的轉(zhuǎn)化．14．（2022?工業(yè)園區(qū)校級模擬）已知圓錐的底面半徑為3cm，將其側(cè)面展開后得到的扇形圓心角為120°，則此圓錐的母線長為9cm．【分析】易得圓錐的底面周長，也就是側(cè)面展開圖的弧長，進(jìn)而利用弧長公式即可求得圓錐的母線長．【解答】解：圓錐的底面周長＝2π×3＝6πcm，設(shè)圓錐的母線長為R，則：120π×R180=6解得R＝9．故答案為：9．【點評】本題考查了圓錐的計算，用到的知識點為：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于底面周長；弧長公式為：nπr18015．（2022?常山縣模擬）一個圓柱的底面半徑為5cm，母線長為6cm，則這個圓柱的側(cè)面積為60πcm2．【分析】圓柱側(cè)面積＝底面周長×高．【解答】解：圓柱的底面周長為：π×2×5＝10π，側(cè)面積為10π×6＝60π（cm2）．故答案為：60π．【點評】本題主要考查了圓柱側(cè)面積的計算方法，解題的關(guān)鍵是牢記圓柱的側(cè)面積公式．16．（2021秋?衢州期末）已知圓柱的底面半徑為2cm，母線長為3cm，則這個圓柱的全面積為20πcm2．【分析】先求出圓柱的底面積與側(cè)面積，再根據(jù)全面積等于兩個底面與一個側(cè)面的面積之和計算即可得解．【解答】解：底面積＝πr2＝π?22＝4π（cm2），側(cè)面積＝2πr?l＝2π×2×3＝12π（cm2），所以，圓柱的全面積＝2×4π+12π＝8π+12π＝20π（cm2）．故答案為：20πcm2．【點評】本題考查了幾何體的表面積，認(rèn)識立體圖形并熟悉圓柱有兩個底面和一個側(cè)面是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）17．（2021秋?金川區(qū)校級期末）在一塊大鐵皮上裁剪如圖所示圓錐形的煙囪帽，它的底面直徑為80cm，母線為50cm，求裁剪的面積．【分析】由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用扇形的面積公式計算出圓錐的側(cè)面積即可．【解答】解：圓錐的側(cè)面積=12×2π×40×50＝2000π（所以裁剪的面積為2000πcm2．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．18．（2021秋?原州區(qū)期末）如圖，從半徑為9cm的圓形紙片剪去13【分析】設(shè)圓錐的底面圓