2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2.1-3.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則二課時跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版選修1-1

PAGE基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．函數(shù)y＝eq\f(cosx,1－x)的導(dǎo)數(shù)是()A.eq\f(－sinx＋xsinx,1－x2)B.eq\f(xsinx－sinx－cosx,1－x2)C.eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x2)D.eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x)解析：y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,1－x)))′＝eq\f(－sinx1－x－cosx·－1,1－x2)＝eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x2).答案：C2．曲線y＝eq\f(x,x＋2)在點(－1，－1)處的切線方程為()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2解析：∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq\f(2,x＋22)，∴k＝y(tǒng)′|x＝－1＝eq\f(2,－1＋22)＝2，∴切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：A3．已知函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c，若f′(1)＝2，則f′(－1)＝()A．－1 B．－2C．2 D．0解析：法一：由f(x)＝ax4＋bx2＋c，得f′(x)＝4ax3＋2bx.因為f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1.則f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.法二：因為f(x)是偶函數(shù)，所以f′(x)是奇函數(shù)．所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.答案：B4．函數(shù)f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)在x＝0處的導(dǎo)數(shù)值為()A．－6 B．0C．6 D．1解析：∵f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)]′，∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)＝－6.答案：A5．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，則f′(－1)的值為()A．0 B．－1C．1 D．2解析：∵f(x)＝eq\f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，∴f′(x)＝f′(－1)x－2，∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，∴f′(－1)＝－1.答案：B6．若函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x)在x＝c處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù)，則c＝________.解析：∵f(x)＝eq\f(ex,x)，∴f(c)＝eq\f(ec,c).又f′(x)＝eq\f(ex·x－ex,x2)＝eq\f(exx－1,x2)，∴f′(c)＝eq\f(ecc－1,c2).由題意，知f(c)＋f′(c)＝0，∴eq\f(ec,c)＋eq\f(ecc－1,c2)＝0，∴2c－1＝0，解得c＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．若曲線y＝xlnx上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點P的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)P(x0，y0)，則y′|x＝x0＝lnx0＋1＝2，∴x0＝e，則y0＝e，則P點坐標(biāo)為(e，e)．答案：(e，e)8．已知a∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－lnx的圖象在點(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為________．解析：∵f(x)＝ax－lnx，∴f(1)＝a，即切點是(1，a)．∵f′(x)＝a－eq\f(1,x)，∴f′(1)＝a－1，∴切線l的方程為y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1，即l在y軸上的截距為1.答案：19．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)f(x)＝e－x(sinx＋cosx)；(2)y＝eq\f(ex＋1,ex－1)；(3)f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x>0)．解析：(1)f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx＋sinx,ex)))′＝eq\f(cosx－sinxex－excosx＋sinx,e2x)＝eq\f(－2sinx,ex)＝－2e－xsinx.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex＋1,ex－1)))′＝eq\f(exex－1－ex＋1ex,ex－12)＝eq\f(－2ex,ex－12).(3)法一：y′＝[x(x＋1)(x＋2)]′＝x′(x＋1)(x＋2)＋x(x＋1)′(x＋2)＋x(x＋1)(x＋2)′＝(x＋1)(x＋2)＋x(x＋2)＋x(x＋1)＝3x2＋6x＋2.法二：因為y＝x(x＋1)(x＋2)＝(x2＋x)(x＋2)＝x3＋3x2＋2x，所以y′＝(x3＋3x2＋2x)′＝3x2＋6x＋2.10．求過曲線y＝sinx在x＝eq\f(π,4)處的點且與此處切線垂直的直線方程．解析：由于y′＝(sinx)′＝cosx，則y′|x＝eq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，從而與切線垂直的直線的斜率為－eq\r(2)，依點斜式得符合題意的直線方程為y－eq\f(\r(2),2)＝－eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，即eq\r(2)x＋y－eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),4)π＝0.[B組實力提升]11．曲線y＝xex在點(1，e)處的切線與直線ax＋by＋c＝0垂直，則eq\f(a,b)的值為()A．－eq\f(1,2e) B．－eq\f(2,e)C.eq\f(2,e) D.eq\f(1,2e)解析：y′＝ex＋xex，則y′|x＝1＝2e.∵曲線在點(1，e)處的切線與直線ax＋by＋c＝0垂直，∴－eq\f(a,b)＝－eq\f(1,2e)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(1,2e).答案：D12．若直線y＝eq\f(1,2)x＋b與曲線y＝－eq\f(1,2)x＋lnx相切，則實數(shù)b的值為()A．－2 B．－1C．－eq\f(1,2) D．1解析：設(shè)切點為(x0，y0)．由y＝－eq\f(1,2)x＋lnx，得y′＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,x)，所以－eq\f(1,2)＋eq\f(1,x0)＝eq\f(1,2)，所以x0＝1，y0＝－eq\f(1,2)，代入直線y＝eq\f(1,2)x＋b，得－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋b，解得b＝－1，故選B.答案：B13．曲線y＝eq\f(sinx,sinx＋cosx)－eq\f(1,2)在點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))處的切線的斜率為________．解析：y′＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2)＝eq\f(1,1＋sin2x)，把x＝eq\f(π,4)代入得導(dǎo)數(shù)值為eq\f(1,2)，即為所求切線的斜率．答案：eq\f(1,2)14．已知曲線y＝x＋lnx在點(1,1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________.解析：法一：∵y＝x＋lnx，∴y′＝1＋eq\f(1,x)，y′|x＝1＝2.∴曲線y＝x＋lnx在點(1,1)處的切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.∵y＝2x－1與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(當(dāng)a＝0時曲線變?yōu)閥＝2x＋1與已知直線平行)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y＝ax2＋a＋2x＋1，))消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.法二：同法一得切線方程為y＝2x－1.設(shè)y＝2x－1與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于點(x0，axeq\o\al(2,0)＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax0＋a＋2＝2，,ax\o\al(2,0)＋a＋2x0＋1＝2x0－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(1,2)，,a＝8.))答案：815．設(shè)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿意f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常數(shù)a，b∈R.求曲線y＝f(x)在點(1，f解析：因為f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a,3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3，令x＝2得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－eq\f(3,2).則f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－3x＋1，從而f(1)＝－eq\f(5,2).又f′(1)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－3，所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.16．已知曲線y＝f(x)＝eq\f(x2,a)－1(a>0)在x＝1處的切線為l，求l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積的最小值．解析：由已知，得f′(x)＝eq\f(2x,a)，切線斜率k＝f′(1)＝eq\f(2,a)，所以切線l的方程為y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))＝eq\f(2,a)(x－1)，即2x－ay－a－1＝0.令y＝0，得x＝eq\f(a＋1,2)；令x＝0，得y＝－eq\f(a＋1,a).所以l與