2024-2025學年高中數(shù)學第二章解析幾何初步3.13.23.3空間兩點的距離公式課時作業(yè)含解析北師大版必修2

PAGE其次章解析幾何初步[課時作業(yè)][A組基礎(chǔ)鞏固]1．點P(1，eq\r(2)，eq\r(3))為空間直角坐標系中的點，過點P作平面xOy的垂線，垂足為Q，則點Q的坐標為()A．(0,0，eq\r(3)) B．(0，eq\r(2)，eq\r(3))C．(1，eq\r(3)，0) D．(1，eq\r(2)，0)解析：由空間點的坐標的定義，知點Q的坐標為(1，eq\r(2)，0)．答案：D2．在空間直角坐標系中，P(2,3,4)，Q(－2,3，－4)兩點的位置關(guān)系是()A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于yOz平面對稱C．關(guān)于坐標原點對稱 D．關(guān)于y軸對稱解析：依據(jù)空間中點的對稱規(guī)律推斷．答案：D3．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，則A，B，C三點()A．可以構(gòu)成直角三角形B．可以構(gòu)成銳角三角形C．可以構(gòu)成鈍角三角形D．不能構(gòu)成任何三角形解析：由已知得|AB|＝eq\r(2)，|BC|＝eq\r(3)，|AC|＝1，因此滿意|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，故△ABC是直角三角形．答案：A4.已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，且|BP|＝eq\f(1,3)|BD′|，建立如圖所示的空間直角坐標系，則點P的坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))解析：由點P向xOy平面作垂線，設(shè)垂足為Q，易知Q的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，0))，又因為|PQ|＝eq\f(1,3)|D′D|，所以點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3))).答案：D5．已知平行四邊形ABCD中，A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，則點D的坐標為________．解析：設(shè)平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點為點P，則P為AC，BD的中點．由A(4,1,3)，C(3,7，－5)，得點P的坐標為(eq\f(7,2)，4，－1)，又點B(2，－5,1)，所以點D的坐標為(5,13，－3)．答案：(5,13，－3)6．已知A(1,2,3)，B(5,6，－7)，則線段AB中點D的坐標為________．解析：設(shè)D(x，y，z)，由中點坐標公式可得x＝eq\f(1＋5,2)＝3，y＝eq\f(2＋6,2)＝4，z＝eq\f(3－7,2)＝－2，所以D(3,4，－2)．答案：(3,4，－2)7．已知A(2,3，－5)，B(－4,7,5)，則線段AB在yOz平面上的射影長為________．解析：點A(2,3，－5)，B(－4,7,5)在yOz平面上的射影分別為A′(0,3，－5)，B′(0,7,5)，∴線段AB在yOz平面上的射影長A′B′＝eq\r(0－02＋7－32＋5＋52)＝2eq\r(29).答案：2eq\r(29)8．在空間直角坐標系中，已知點A(1,0,2)，B(1，－3,1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標是________．解析：設(shè)M的坐標為(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，所以y＝－1，即點M的坐標為(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)9.四面體P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝PB＝2，PC＝1，E為AB的中點，建立空間直角坐標系并寫出點P，A，B，C，E的坐標．解析：以P為坐標原點，PA，PB，PC所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則點P(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0，0,1)，E(1,1,0)．10．(1)在z軸上求一點，使它到點A(4,5,6)與到點B(－7,3,11)的距離相等；(2)已知點P到坐標原點的距離等于2eq\r(3)，且它的坐標重量相等，求該點坐標．解析：(1)設(shè)z軸上一點P(0,0，z)，則|PA|＝eq\r(4－02＋5－02＋6－z2)，|PB|＝eq\r(－7－02＋3－02＋11－z2)，由|PA|＝|PB|，得z＝eq\f(51,5)，∴所求點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(51,5))).(2)設(shè)點P的坐標為(x，x，x)，則d|OP|＝eq\r(x2＋x2＋x2)＝eq\r(3x2)＝2eq\r(3)，∴x2＝4，x＝±2，所求點的坐標為(2,2,2)或(－2，－2，－2)．[B組實力提升]1．已知點A(2,3－μ，－1＋v)關(guān)于x軸的對稱點為A′(λ，7，－6)，則λ、μ、v的值為()A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5C．λ＝2，μ＝10，v＝8D．λ＝2，μ＝10，v＝7解析：關(guān)于x軸對稱的點，x軸上的坐標不變，其他是相反數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,3－μ＝－7，,－1＋v＝6))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝10，,v＝7.))答案：D2．一個四面體中假如有三條棱兩兩垂直，且垂足不是同一點，這三條棱就像中國武術(shù)中的兵器——三節(jié)棍，所以，我們常把這類四面體稱為“三節(jié)棍體”，“三節(jié)棍體”ABCD四個頂點在空間直角坐標系中的坐標分別為A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(4,4,0)，D(0,0,2)，則此“三節(jié)棍體”外接球的表面積是()A．36π B．24πC．18π D．12π解析：可將“三節(jié)棍體”ABCD補成長方體，易知CD為外接球的直徑．因為CD＝eq\r(42＋42＋22)＝6，所以外接球的半徑為3，所以此“三節(jié)棍體”外接球的表面積積是36π，故選A.答案：A3．已知空間直角坐標系中三點A，B，M，點A與點B關(guān)于點M對稱，且已知A點的坐標為(3,2,1)，M點的坐標為(4,3,1)，則B點的坐標為________．解析：設(shè)B點的坐標為(x，y，z)，則有eq\f(x＋3,2)＝4，eq\f(y＋2,2)＝3，eq\f(z＋1,2)＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，故B點的坐標為(5,4,1)．答案：(5,4,1)4．如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a，M為BD′的中點，點N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，則MN的長________．解析：以D為原點，建立空間直角坐標系．因為正方體的棱長為a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M為BD′的中點，取A′C′中點O′，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，a)).因為|A′N|＝3|NC′|，所以N為A′C′的四等分點，從而N為O′C′的中點．故Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，\f(3,4)a，a)).依據(jù)空間兩點間的距離公式，可得|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(3a,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－a))2)＝eq\f(\r(6),4)a.答案：eq\f(\r(6),4)a5.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝2，點M在A1C1上，且MC1＝2A1M，N為D1C解析：如圖，分別以AB，AD，AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz.由題意，可知C(3,3,0)，A1(0,0,2)，C1(3,3,2)，D1(0，3,2)．∵N為CD1的中點，∴N(eq\f(3,2)，3,1)．又點M在A1C1上，且MC1＝2A1M，∴M(1,1,2)．由空間兩點間的距離公式，得MN＝eq\r(\f(3,2)－12＋3－12＋1－22)＝eq\f(\r(21),2).6.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，AB，C1B1，CB的中點．建立如圖空間直角坐標系．(1)在平面ABB1A1內(nèi)找一點P，使△ABP(2)能否在MN上求得一點Q，使△AQB為直角三角形？若能，懇求出點Q的坐標；若不能，請予以證明．解析：(1)因為EF是AB的中垂線，在平面ABB1A1內(nèi)只有EF上的點與A，B兩點的距離相等，則P必在EF上，如題圖，A(2,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,4)．設(shè)P(1,2，z)，由|PA|＝|AB|，得eq\r(1－22＋2－02＋z－02)＝eq\r(0－22＋4－02＋0－02)，整理，得eq\r(z2＋5)＝eq\r(20)，所以z2＝15.因為z∈[0,4]，所以z＝eq\r(15).故平面ABB1A1內(nèi)的點P(1,2，eq\r(15))，使得△ABP