解密19雙曲線（分層訓(xùn)練）-2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義分層訓(xùn)練

解密19雙曲線A組基礎(chǔ)練A組基礎(chǔ)練1、（2022·重慶八中高二期末）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由雙曲線的定義即可求出的周長(zhǎng).【詳解】設(shè)，，由題意可得，由雙曲線的定義可得，，則的周長(zhǎng)是.故選：B.2、（2021·遼寧·高二階段練習(xí)）若方程表示的是雙曲線，則t的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題知，進(jìn)而解方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榉匠瘫硎镜氖请p曲線，所以，解得：故選：C3、（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)（理））若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則（）．A． B． C． D．8【答案】D【解析】根據(jù)的關(guān)系計(jì)算可解．【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，所以，所以，解得．故選：D．4、（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍，則實(shí)數(shù)的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷焦點(diǎn)位置和實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)可得答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，且，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，又虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍，所以，解得.故選：C.5、（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，是的左焦點(diǎn)，且，則雙曲線的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)一條漸近線過點(diǎn)，可確定，再結(jié)合，，推得為等邊三角形，從而確定，可求得雙曲線方程.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)在一條漸近線上，如圖示：所以，則，且兩條漸近線的傾斜角分別為60°，120°，則,又，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），所以為等邊三角形，從而,由，，解得，，所以雙曲線的方程為,故選：A.6、（2022·內(nèi)蒙古·鐵路一中高二期末）已知雙曲線，過左焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若弦的長(zhǎng)恰等于實(shí)鈾的長(zhǎng)，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出，進(jìn)而求出，之間的關(guān)系，即可求解結(jié)論．【詳解】解：由題意，直線方程為：，其中，因此，設(shè)，，，，解得，得，，弦的長(zhǎng)恰等于實(shí)軸的長(zhǎng)，，，故選：B．7、（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作C的一條漸近線的平行線交C于點(diǎn)A，交另一條漸近線于點(diǎn)B．若，則C的離心率為（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由可得，結(jié)合條件可得，代入雙曲線方程即求.【詳解】由題意得左焦點(diǎn)，設(shè)一漸近線的方程為，則另一漸近線的方程為，由題知直線FB：,由，得，即，由，可得A為FB的中點(diǎn)，又，∴，∴，化簡(jiǎn)得，∴.故選：A.8、（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）已知雙曲線C：（，）的右焦點(diǎn)F（，0），點(diǎn)Q是雙曲線C的左支上一動(dòng)點(diǎn)，圓E：與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為P，若，則雙曲線C的離心率的最大值為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用雙曲線的定義進(jìn)行焦半徑的轉(zhuǎn)化，由此求出的最小值即可求出a的范圍，再根據(jù)離心率計(jì)算公式可求離心率最大值.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，則，即，故．由題意可得，∵，∴，則雙曲線C的離心率．故選：A．9、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）已知為橢圓：()與雙曲線：()的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)M是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，分別為，的離心率，則的最小值為（）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】設(shè)橢圓、雙曲線的共同半焦距為c，利用橢圓、雙曲線定義及余弦定理建立關(guān)系，再借助均值不等式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)橢圓、雙曲線的共同半焦距為c，由橢圓、雙曲線對(duì)稱性不妨令點(diǎn)M在第一象限，由橢圓、雙曲線定義知：，且，則有，，在中，由余弦定理得：，即，整理得：，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，從而有，所以的最小值為.故選：A10、（2022·河南·沈丘縣第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））已知點(diǎn)，，雙曲線C上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn)滿足直線RM與QM的斜率之積為4.(1)求C的方程；(2)若直線l過C上的一點(diǎn)P，且與C的漸近線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別位于第一、第二象限，，求的最小值.【答案】(1)(2)1【解析】（1）由題意得，化簡(jiǎn)可得答案，（2）求出漸近線方程，設(shè)點(diǎn)，，，，，由可得，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)可得，然后表示的坐標(biāo)，再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可得答案(1)由題意得，即，整理得，因?yàn)殡p曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足上式，所以C的方程為.(2)由（1）可知，曲線C的漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，，，，，由，得，整理得，①，把①代入，整理得②，因?yàn)?，，所?由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是1.11、（2021·江蘇如皋·高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)若軌跡C的左，右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為軌跡C上異于，的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線，分別與直線相交于S，T兩點(diǎn)，以ST為直徑的圓與x軸交于M，N兩點(diǎn)，求四邊形SMTN面積的最小值.【答案】(1)；(2)6.【解析】(1)，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，根據(jù)a、b即可求出結(jié)果；(2)可求得、、、，進(jìn)而面積為，利用基本不等式計(jì)算即可.(1)由動(dòng)點(diǎn)P滿足，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且，所以，所以，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程為：；(2)由(1)知，，所以直線的方程為，即，與直線的交點(diǎn)S的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，與直線的交點(diǎn)T的坐標(biāo)為，設(shè)以ST為直徑的圓的方程為，令，則，所以，，令，則，設(shè)，則，所以，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，故，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以四邊形面積的最小值為6.B組提升練B組提升練1、（2021·山東濟(jì)南·高三階段練習(xí)）雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率，分別是它的左、右焦點(diǎn)，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，且│AB│是的等差中項(xiàng)，則│AB│等于（）A．8 B．4 C．2 D．8【答案】A【解析】由虛軸長(zhǎng)求出b=2,再根據(jù)離心率求出a,進(jìn)而結(jié)合題意及雙曲線的定義求得答案.【詳解】由題意，，由.由雙曲線的定義可知：，兩式相加得：.因?yàn)椹B│是的等差中項(xiàng)，所以，于是.故選：A.2、（2021·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校高二階段練習(xí)（文））“”是“方程雙曲線”的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】先根據(jù)方程雙曲線求出m的范圍，進(jìn)而判斷答案.【詳解】若方程雙曲線，則，解得,所以“”是“方程雙曲線”的充分必要條件.故選：A.3、（2022·湖北·沙市中學(xué)高二期末）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】根據(jù)題意得出的符號(hào)，進(jìn)而得到的象限.【詳解】由題意，，所以在第四象限.故選：D.4、（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高三期末（理））已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，為雙曲線上一點(diǎn)，，的內(nèi)切圓的圓心為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意得，，，，進(jìn)而在中，利用等面積法得的內(nèi)切圓的半徑，再設(shè)的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，進(jìn)而在中結(jié)合勾股定理求解即可.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，為雙曲線上一點(diǎn)，，所以，，，因?yàn)?，所以，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，即，解得，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，則，，所以，所以故選：A5、（2021·山東泗水·高二期中）已知雙曲線的漸近線與圓相切，且該雙曲線過點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線與圓相切得到，再根據(jù)曲線經(jīng)過點(diǎn)，得到解方程組即得解.【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)殡p曲線的漸近線與圓相切，所以.又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以.所以雙曲線的方程為.故選：C6、（2022·江西·南昌市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖所示，雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，A是的中點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率（）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】由已知可得，設(shè)，，，，由點(diǎn)在漸近線上，求得點(diǎn)坐標(biāo)，再由為的中點(diǎn)，得到點(diǎn)坐標(biāo)，把代入漸近線，即可求得的離心率．【詳解】A是的中點(diǎn)，為△的中位線，，所以，所以．設(shè)，，，，點(diǎn)在漸近線上，，得．又為的中點(diǎn)，，在漸近線上，，得，則雙曲線的離心率．故選：B7、（2022·江西撫州·高二期末（理））已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N兩點(diǎn)分別在C的左、右兩支上，若四邊形OFMN為菱形，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得且，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入雙曲線方程中，即可得出離心率.【詳解】由題意，四邊形為菱形，如圖，則且，分別為的左，右支上的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在第二象限，在第一象限.由雙曲線的對(duì)稱性，可得，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，則，所以,則，所以，所以，則，即，解得，或，由雙曲線的離心率，所以取，則故選：C8、（福建省龍巖市20212022學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題）經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】共漸近線的雙曲線方程，設(shè)，把點(diǎn)代入方程解得參數(shù)即可.【詳解】設(shè)，把點(diǎn)代入方程解得參數(shù)，所以化簡(jiǎn)得方程故選：C.9、（2022·遼寧·大連八中高二期末）設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若的三個(gè)內(nèi)角分別為、、且，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進(jìn)而可求得的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.【詳解】易知點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，其中，，且，，且，，，所以，，，因?yàn)?，所以，，則，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.10、（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知圓與雙曲線的漸近線相切，則正實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分別求出圓的圓心坐標(biāo)和雙曲線的漸近線方程利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心坐標(biāo)為，則圓與雙曲線的兩條漸近線都相切，雙曲線的漸近線方程為，則，解得，故選:.11、（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)是雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，由點(diǎn)向雙曲線的兩條漸近線引垂線，垂足為和，則的面積為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，根據(jù)雙曲線的漸近線方程可得，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得、，代入可得答案.【詳解】設(shè)，雙曲線的漸近線方程為雙曲線，所以漸近線的傾斜角為，所以，，因?yàn)?，，所以的面積為.故選：C.12、（2021·四川·石室中學(xué)一模（理））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線l交雙曲線C的漸近線于A，B兩點(diǎn)，若，（表示的面積），則雙曲線C的離心率的值為（）A． B． C． D．或【答案】D【解析】以直線斜率是否存在進(jìn)行分類.斜率存在時(shí)，直接代入題設(shè)中的式子，求出的值，進(jìn)而求出離心率.斜率不存在時(shí)，由題意得出點(diǎn)的軌跡為圓，再利用解出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)“點(diǎn)差法”求出，進(jìn)而求出離心率即可.【詳解】若直線斜率不存在，不妨設(shè)點(diǎn)，則所以，則離心率；若直線斜率存在，設(shè)，中點(diǎn)，不妨設(shè)M在x軸上方，由，得，故點(diǎn)M在圓上，由，得，則，所以．由得，即．當(dāng)時(shí)，，得．當(dāng)時(shí)，，矛盾，舍去．綜上所述，或．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是求雙曲線的離心率，在直線斜率不存在時(shí)，利用兩點(diǎn)的中點(diǎn)，采用“點(diǎn)差法”求出是解題的關(guān)鍵.13、（2022·遼寧葫蘆島·高二期末）橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)、，與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率的范圍是，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求得，可得出，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，可得，由可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，因?yàn)榕c在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，是以線段為底邊的等腰三角形，則，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，，則，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則，即，因?yàn)?，則，故.故選：B.14、（2022·江西·高三期末（理））已知點(diǎn)為雙曲線的下焦點(diǎn)，為其上頂點(diǎn)，過作垂直于的實(shí)軸的直線交于、兩點(diǎn)，若為銳角三角形，則的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，分析可知為銳角，可得出，由此可求得雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，由雙曲線的對(duì)稱性可知點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則，因?yàn)闉殇J角三角形，則為銳角，將代入方程可得，取點(diǎn)、，易知點(diǎn)，，，故，即，可得，又因?yàn)?，?故選：B.15、（2022·重慶·西南大學(xué)附中高二期末）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且雙曲線C過點(diǎn).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)M的直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點(diǎn)，是否存在直線AB，使得成立，若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(2)存在，直線AB的方程為：或.【解析】(1)根據(jù)給定的漸近線方程及所過的點(diǎn)列式計(jì)算作答.(2)假定存在符合條件的直線AB，設(shè)出其方程，借助弦長(zhǎng)公式計(jì)算判斷作答.(1)依題意，，解得：，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)假定存在直線AB，使得成立，顯然不垂直于y軸，否則，設(shè)直線：，由消去x并整理得：，因直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，于是得，則有，即或，因此，，解得，所以存在直線AB，使得成立，此時(shí)，直線AB的方程為：或.16、（2021·安徽·安慶市第二中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的上焦點(diǎn)為是雙曲線上的兩個(gè)不同的點(diǎn).(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.若三點(diǎn)共線，求證：為定值.【答案】(1)；(2)，證明見解析.【解析】（1）直接求出漸近線方程；（2）分直線MN的斜率不存在時(shí)或存在兩種情況進(jìn)行討論，用“設(shè)而不求法”直接證明；(1)令，則，∴雙曲線的