第1講分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（原卷版）

計(jì)數(shù)原理第1講分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法．考點(diǎn)二：分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法．考點(diǎn)三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理聯(lián)系回答的都是關(guān)于完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問(wèn)題區(qū)別一針對(duì)的是“分類(lèi)”問(wèn)題針對(duì)的是“分布”問(wèn)題區(qū)別二各種方法相互“獨(dú)立”各個(gè)步驟中的方法互相“依存”區(qū)別三任何一種方法都可以做完這件事只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事考點(diǎn)四：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的推廣完成一件事有n類(lèi)不同的方案，在第1類(lèi)方案中有m1種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有m2種不同的方法，……，在第n類(lèi)方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法．考點(diǎn)五：分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣完成一件事需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法．【題型目錄】題型一：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理題型二:分步乘法計(jì)數(shù)原理題型三:兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用【典型例題】題型一：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理【例1】現(xiàn)有5幅不同的油畫(huà)，2幅不同的國(guó)畫(huà)，7幅不同的水彩畫(huà)，從這些畫(huà)中選一幅布置房間，則不同的選法共有（

）A．7種 B．9種 C．14種 D．70種【例2】我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱(chēng)為“六合數(shù)”（如2130是“六合數(shù)”），則其中首位為2的“六合數(shù)”共有（

）．A．18個(gè) B．15個(gè) C．12個(gè) D．9個(gè)【例3】某校高二年級(jí)舉行健康杯籃球賽，共20個(gè)班級(jí)，其中1、3、4班組成聯(lián)盟隊(duì)，2、5、6班組成聯(lián)盟隊(duì)，一共有16支籃球隊(duì)伍，先分成4個(gè)小組進(jìn)行循環(huán)賽，決出8強(qiáng)（每隊(duì)與本組其他隊(duì)賽一場(chǎng)），即每個(gè)組取前兩名（按獲勝場(chǎng)次排名，如果獲勝場(chǎng)次相同的就按凈勝分排名）；然后晉級(jí)的8支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，淘汰賽第一輪先決出4強(qiáng)，晉級(jí)的4支隊(duì)伍要決出冠亞軍和第三、四名，同時(shí)后面的4支隊(duì)伍要決出第五至八名，則總共要進(jìn)行籃球賽的場(chǎng)次為（

）A．32 B．34 C．36 D．38【例4】若、，，，且，則平面上的點(diǎn)共有（

）．A．21個(gè) B．20個(gè) C．28個(gè) D．30個(gè)【例5】某日，甲、乙、丙三個(gè)單位被系統(tǒng)隨機(jī)預(yù)約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗且每個(gè)單位只能被隨機(jī)預(yù)約到一家醫(yī)院，每家醫(yī)院每日至多接待兩個(gè)單位．已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的預(yù)約方案種數(shù)為（

）A．27 B．24 C．18 D．16【例6】如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為設(shè)．若且，則稱(chēng)為原位大三和弦；若且，則稱(chēng)為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為_(kāi)_________．【題型專(zhuān)練】1．為了方便廣大市民接種新冠疫苗，提高新冠疫苗接種率，某區(qū)衛(wèi)健委在城區(qū)設(shè)立了11個(gè)接種點(diǎn)，在鄉(xiāng)鎮(zhèn)設(shè)立了19個(gè)接種點(diǎn)．某市民為了在同一接種點(diǎn)順利完成新冠疫苗接種，則不同接種點(diǎn)的選法共有（

）A．11種 B．19種 C．30種 D．209種2．從甲地出發(fā)前往乙地，一天中有4趟汽車(chē)、3趟火車(chē)和1趟航班可供選擇．某人某天要從甲地出發(fā)，去乙地旅游，則所有不同走法的種數(shù)是（

）A．16 B．15 C．12 D．83．某高中為高一學(xué)生提供四門(mén)課外選修課：數(shù)學(xué)史?物理模型化思維?英語(yǔ)經(jīng)典閱讀?《紅樓夢(mèng)》人物角色分析.要求每個(gè)學(xué)生選且只能選一門(mén)課程.若甲只選英語(yǔ)經(jīng)典閱讀，乙只選數(shù)學(xué)史或物理模型化思維，學(xué)生丙?丁任意選，這四名學(xué)生選擇后，恰好選了其中三門(mén)課程，則他們選課方式的可能情況有___________種.4．書(shū)架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第2層放有3本不同的文藝書(shū)，第3層放有2本不同的體育書(shū).從書(shū)架上任取1本書(shū)，不同的取法有__________種.5.從數(shù)字1，2，3，4中取出3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．9 C．10 D．136．已知集合，，從A中取一個(gè)數(shù)作為十位數(shù)字，從B中取一個(gè)數(shù)作為個(gè)位數(shù)字，能組成______個(gè)不同的兩位數(shù)，能組成______個(gè)十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字的兩位數(shù)．應(yīng)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵：用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)，關(guān)鍵在于根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合它的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)在這個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)下，完成這件事的任何一種方法只屬于某一類(lèi)，并且分別屬于不同種類(lèi)的兩種方法是不同的．題型二:分步乘法計(jì)數(shù)原理【例1】?jī)H有甲、乙、丙三人參加四項(xiàng)比賽，所有比賽均無(wú)并列名次，則不同的奪冠情況共有（

）種.A． B． C． D．【例2】洛書(shū)，古稱(chēng)龜書(shū)，是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，如圖，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)（圖中白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽(yáng)數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽(yáng)和為7，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)有（

）A．120 B．90 C．48 D．12【例3】某學(xué)校舉行校慶文藝晚會(huì)，已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場(chǎng)氣氛，主辦方特地邀請(qǐng)了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變?cè)瓉?lái)的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種．【例4】如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法數(shù)為_(kāi)_______.【例5】乘積式展開(kāi)后的項(xiàng)數(shù)是___________.【例6】從0，1，2，3這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)的系數(shù)，可組成不同的一次函數(shù)共有____________個(gè)，不同的二次函數(shù)共有____________個(gè)．（用數(shù)字作答）【例7】正整數(shù)2160的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）．A．20 B．28 C．40 D．50【題型專(zhuān)練】1．五名高中生報(bào)考三所高等院校，每人報(bào)且只報(bào)一所，不同的報(bào)名方法有______種．2．（1）將4封信投入3個(gè)信箱中，共有_______種不同的投法；（2）某外語(yǔ)組有9人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén)，其中7人會(huì)英語(yǔ)，3人會(huì)日語(yǔ)，從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人，有_________種不同的選法．3.如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，B，C，D，E五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，則復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有（

）ABCDEA．500種 B．520種 C．540種 D．560種4．為了豐富學(xué)生的課余生活，某學(xué)校開(kāi)設(shè)了籃球、書(shū)法、美術(shù)、吉他、舞蹈、擊劍共六門(mén)活動(dòng)課程，甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門(mén)活動(dòng)課程參加，則這3名學(xué)生所選活動(dòng)課程不全相同的選法有（

）A．120種 B．150種 C．210種 D．216種5．某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分，如圖所示．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（

）．A．80種 B．120種 C．160種 D．240種6．核糖核酸RNA是存在于生物細(xì)胞以及部分病毒、類(lèi)病毒中的遺傳信息載體．參與形成RNA的堿基有4種，分別用A，C，G，U表示．在一個(gè)RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，假設(shè)某一RNA分子由100個(gè)堿基組成，則不同的RNA分子的種數(shù)為（

）A． B． C． D．7．用0，1，2，3，4，5，6七個(gè)數(shù)共可以組成______個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).8．電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式___________.（結(jié)果用數(shù)值表示）9．從，0，1，2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有____________個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共有____________個(gè)．（用數(shù)字作答）題型三:兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用【例1】用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【例2】某學(xué)校為落實(shí)“雙減政策，在每天放學(xué)后開(kāi)設(shè)拓展課程供學(xué)生自愿選擇，開(kāi)學(xué)第一周的安排如下表.小明同學(xué)要在這一周內(nèi)選擇編程、書(shū)法、足球三門(mén)課，不同的選課方案共有（

）周一周二周三周四周五演講、繪畫(huà)、舞蹈、足球編程、繪畫(huà)、舞蹈、足球編程、書(shū)法、舞蹈、足球書(shū)法、演講、舞蹈、足球書(shū)法、演講、舞蹈、足球注：每位同學(xué)每天最多選一門(mén)課，每門(mén)課一周內(nèi)最多選一次.A．15種 B．10種 C．8種 D．5種【例3】回文聯(lián)是我國(guó)對(duì)聯(lián)中的一種，它是用回文形式寫(xiě)成的對(duì)聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味．相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上客；人過(guò)大佛寺，寺佛大過(guò)人．”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類(lèi)順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的正整數(shù)，被稱(chēng)為“回文數(shù)”，如22，575，1661等．那么用數(shù)字1，2，3，4，5可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．25 B．20 C．30 D．36【例4】用0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿(mǎn)足下列條件的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位數(shù)？(1)偶數(shù)：(2)左起第二?四位是奇數(shù)的偶數(shù)；(3)比21034大的偶數(shù).【題型專(zhuān)練】1．某學(xué)校舉行秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，酷愛(ài)運(yùn)動(dòng)的小明同學(xué)準(zhǔn)備在某七個(gè)比賽項(xiàng)目中，選擇參加其中四個(gè)項(xiàng)目的比賽.根據(jù)賽程安排，在這七個(gè)比賽項(xiàng)目中，100米賽跑與200米賽跑不能同時(shí)參加，且跳高與跳遠(yuǎn)也不能同時(shí)參加.則不同的報(bào)名方法數(shù)為_(kāi)__________.（用數(shù)字作答）2．由0、1、2、3、4、5這6個(gè)數(shù)字可以組成______個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).3．（1）用1、2、3、4、5可以組成多少個(gè)四位數(shù)？（2）用0，1，2，3