專題09立體幾何初步（難點(diǎn)）

專題09立體幾何初步（難點(diǎn)）一、單選題1．從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)上任取4個(gè)頂點(diǎn)，則這4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的幾何圖形不可能是（

）A．三個(gè)面是直角三角形的正三棱錐B．有一個(gè)面是鈍角三角形的四面體C．每個(gè)面都是等邊三角形的四面體D．每個(gè)面都是直角三角形的四面體【答案】B【分析】作圖，根據(jù)圖形分析.【解析】如圖是正方體，三棱錐是三個(gè)面為直角三角形的正三棱錐，A正確；三棱錐是四個(gè)面都是直角三角形的四面體，D正確；三棱錐是四個(gè)面都是等邊三角形的四面體，C正確；對于B，先選取A點(diǎn)，與剩下的7個(gè)頂點(diǎn)的任意兩個(gè)都不可構(gòu)成鈍角三角形，B錯(cuò)誤；故選：B.2．在直四棱柱中，E，F(xiàn)分別是BC，的中點(diǎn)，則“”的一個(gè)充分必要條件是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【分析】簡單作出滿足ABD選項(xiàng)的圖形，皆可知存在與不平行的情況，故可進(jìn)一步推得與不平行，即這三個(gè)選項(xiàng)都不是“”的充分條件，故ABD錯(cuò)誤；而C選項(xiàng)可利用中位線定理與構(gòu)成平行四邊形推得充分條件，利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理推得必要條件，進(jìn)而得到C正確.【解析】對于A，如圖1，由于條件，，并不能推得，即可以相交，當(dāng)相交時(shí)，在直四棱柱中，易知，故與是異面直線，即與不平行，而因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，的中點(diǎn)，所以，所以與不平行，即選項(xiàng)A不是“”的充分條件，故A錯(cuò)誤；.對于B，如圖2，由且，可得，即，由同旁內(nèi)角互補(bǔ)可知，，又，所以，當(dāng)時(shí)，四邊形是梯形，即與會(huì)交于一點(diǎn)，即與不平行，而，故與不平行，即選項(xiàng)B不是“”的充分條件，故B錯(cuò)誤；.對于C，如圖3，由得，，又，在直四棱柱中，易知，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，故，又因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，的中點(diǎn)，所以，所以，故選項(xiàng)C是的充分條件；反之，當(dāng)時(shí)，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，的中點(diǎn)，所以，則，則四點(diǎn)共面，又，面，面，故面，因?yàn)槊婷妫置?，則，所以，又，，所以四邊形是平行四邊形，故，而在直四棱柱中，易知，所以，所以四邊形是平行四邊形；所以，且，即選項(xiàng)C也是的必要條件；綜上：選項(xiàng)C是的充分必要條件，故C正確；.對于D，如圖4，由，且，與選項(xiàng)A一樣，并不能保證，即可以相交，后續(xù)推導(dǎo)與選項(xiàng)A一致，可知選項(xiàng)D不是“”的充分條件，故D錯(cuò)誤；故選：C..3．某組合體的正視圖和側(cè)視用如圖（1）所示，它的俯視圖的直觀圖是圖（2）中粗線所表示的平面圖形，其中四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，則圖（2）中平行四邊形的面積為（）A．12 B． C． D．6【答案】B【分析】由已知可得正視圖,根據(jù)斜二測知識(shí)點(diǎn)可知圖(2)中對應(yīng)的邊長,即可求出面積.【解析】由正視圖和側(cè)視圖可得俯視圖如下：，故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,及斜二測畫法中的計(jì)算問題,難度一般.4．已知三棱柱內(nèi)接于一個(gè)半徑為的球，四邊形與均為正方形，分別是，的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)為，連接，找出與所成角的平面角，利用解三角形求出與所成角的余弦值．【解析】由可得直三棱柱中,分別是的中點(diǎn)，如圖，取的中點(diǎn)為，連接，所以，，所以，是平行四邊形，所以，所以是與所成角或其補(bǔ)角，因?yàn)樗倪呅闻c均為正方形，所以，因?yàn)槿庵鶅?nèi)接于一個(gè)半徑為的球，設(shè)，則三棱柱外接球可看作棱長為的正方體外接球，所以，解得，所以,所以，，,，在中,由余弦定理可得：,所以，異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.5．設(shè)異面直線所成的角為，經(jīng)過空間一定點(diǎn)有且只有四條直線與直線所成的角均為，則可以是下列選項(xiàng)中的（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)面內(nèi)所成的角，讓過點(diǎn)的直線分別在面內(nèi)和面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，得到角度的取值范圍，即可得到經(jīng)過空間一定點(diǎn)有且只有四條直線與直線所成的角的范圍，即可得出結(jié)果【解析】解：由題意，過點(diǎn)作，則與所成的角即為異面直線所成的角，為，與確定一個(gè)平面，過點(diǎn)作，作直線和分別平分與所成的幾個(gè)角∵異面直線所成的角為∴當(dāng)過點(diǎn)的直線在面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，與和所成角為，則的最小為角平分線，最大為垂直時(shí)的，當(dāng)過點(diǎn)的直線在面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，與和所成角為，則的最小為角平分線，最大為垂直時(shí)的，∵經(jīng)過空間一定點(diǎn)有且只有四條直線與直線所成的角均為，∴∴可以為故選：C.6．已知三棱錐，為中點(diǎn)，，側(cè)面底面，則過點(diǎn)的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，，設(shè)三棱錐外接球的球心為，設(shè)過點(diǎn)的平面為，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)所得截面的面積最小，當(dāng)點(diǎn)在以為圓心的大圓上時(shí)，此時(shí)截面的面積最大，再結(jié)合球的截面的性質(zhì)即可得解.【解析】連接，，由，可知：和是等邊三角形，設(shè)三棱錐外接球的球心為，所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，是等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，所以底面，而底面，因此，所以是矩形,和是邊長為的等邊三角形，所以兩個(gè)三角形的高，在矩形中，，連接，所以，設(shè)過點(diǎn)的平面為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)所得截面的面積最小，該截面為圓形，，因此圓的半徑為：，所以此時(shí)面積為，當(dāng)點(diǎn)在以為圓心的大圓上時(shí)，此時(shí)截面的面積最大，面積為：，所以截面的面積范圍為.故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：幾何體的外接球問題和截面問題，考查空間想象能力，難度較大．7．如圖，棱長為2的長方體中，P為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．則以下結(jié)論正確的為（

）A．三棱錐中，點(diǎn)P到面的距離為定值B．過點(diǎn)P平行于面的平面被正方體截得的多邊形的面積為C．當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球體積為D．直線與面所成角的正弦值的范圍為【答案】D【分析】對A：根據(jù)線面平行分析可知：點(diǎn)P到平面的距離為定值，再利用等體積法求點(diǎn)P到平面的距離；對B：過點(diǎn)P平行于平面的平面被正方體所截的截面為，判斷其形狀求面積；對D：可證平面，則根據(jù)直三柱的外接球分析可得：平面，且，結(jié)合解三角形求的外接圓半徑，進(jìn)而求三棱錐的外接球的半徑和體積；對C：根據(jù)線面夾角的定義可得，結(jié)合題意運(yùn)算求解.【解析】對于A中，由題意可得：且∴為平行四邊形，則平面，平面∴平面又∵P為線段上，則點(diǎn)P到平面的距離為定值設(shè)點(diǎn)P到面的距離為h，為等邊三角形，面積為∵，即，解得，A不正確；對于B中，過點(diǎn)P平行于平面的平面被正方體所截的截面為，此時(shí)三角形為邊長為的等邊三角形，其面積為，B不正確；設(shè)直線與平面所成角為，則，∵，則，D正確；對于C中，當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，則∵平面，平面∴，平面∴平面設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，三棱錐的外接球的球心，半徑為，連接，則平面，且對于，則∴，則∵，則∴，即，則三棱錐的外接球的體積為，所以C不正確．故選：D．【點(diǎn)睛】①對于三棱錐體積的求解可采用等體積法求解，通過選擇合適的底面來求三棱錐的體積的一種方法；②對于線面角的計(jì)算問題可以通過根據(jù)直線與平面所成角的定義，結(jié)合垂線段與斜線段的長度比求得線面角的正弦值；③對于直三棱柱的外接球的問題：外接球的球心與底面外接圓圓心的連線平行于側(cè)棱，且長度為側(cè)棱的一半.8．如圖，在直角梯形中，，D為邊中點(diǎn)，將沿邊折到．連接得到四棱錐，記二面角的平面角為，下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．若，則四棱錐外接球表面積B．無論為何值，在線段上都存在唯一一點(diǎn)H使得C．無論為何值，平面平面D．若，則異面直線所成角的余弦值為【答案】B【分析】根據(jù)梯形的長度和角度關(guān)系可知四邊形為矩形，折疊后根據(jù)線面垂直的判定定理可知平面，根據(jù)二面角的定義可知二面角的平面角即為，根據(jù)，可將四棱錐放在長方體中，所以長方體外接球即為四棱錐外接球，求出長方體外接球表面積后即可判斷A；根據(jù)可知，若B成立，則以為圓心，1為半徑的圓與線段須有除點(diǎn)外的另一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)與該圓相切時(shí)不成立，即可判斷B；根據(jù)及面面垂直判定定理即可判斷C；根據(jù)，過點(diǎn)做，垂足為分別取中點(diǎn)，連接可知所求異面直線所成角即為所成角，根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理可知，根據(jù)長度和垂直關(guān)系可求得，再根據(jù)余弦定理即可求得，即可判斷D.【解析】解：由題知直角梯形，且D為邊中點(diǎn)，，所以，由于，，所以四邊形為矩形，所以，即折疊后有，當(dāng)時(shí)，即平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以平面，因?yàn)?，所以四棱錐可看作長方體的一部分，如圖所示：所以長方體的外接球即為四棱錐的外接球，因?yàn)?，所以長方體體對角線即為外接球直徑，所以四棱錐外接球半徑為，該球表面積為：，故選項(xiàng)A正確；在中，，當(dāng)時(shí)，與以為圓心，1為半徑的圓相切，此時(shí)線段上不存在點(diǎn)H使得，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，且平面，平面，所以平面，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，平面平面，所以即為二面角的平面角，因?yàn)椋?，連接，交點(diǎn)為，取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)做，交于點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以可得為中點(diǎn)，由為中點(diǎn)，所以，所以異面直線所成角即為所成角，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，在中，由余弦定理得：，所以直線所成角的余弦值為，即異面直線所成角的余弦值為，故選項(xiàng)D正確.故選：B二、多選題9．已知是等腰直角三角形，，用斜二測畫法畫出它的直觀圖，則的長可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】通過斜二測畫法的定義可知BC為軸時(shí)，為最大值，以BC為軸，則此時(shí)為最小值，故的長度范圍是，C選項(xiàng)可以以AB為軸進(jìn)行求解出，從而求出正確結(jié)果.【解析】以BC為軸，畫出直觀圖，如圖2，此時(shí)，A正確，以BC為軸，則此時(shí)，則的長度范圍是，若以AB或AC為x軸，畫出直觀圖，如圖1，以AB為軸，則，此時(shí)過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)D，則，則，，由勾股定理得：，C正確；故選：AC10．如圖所示，在直三棱柱中，底面是以為直角的等腰直角三角形，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，要使平面，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用已知條件判斷平面，然后說明，設(shè)，然后可得，又，然后可求出答案.【解析】由已知得又D是的中點(diǎn)，所以，又側(cè)棱底面ABC，可得側(cè)棱平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以，故若平面，則必有.設(shè)，則，又，所以，解得或.故選：AC11．在直三棱柱中，，，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)Q是線段上靠近M的三等分點(diǎn)，R是線段的中點(diǎn)，若面，則（

）．A． B．P為的中點(diǎn)C．三棱錐的體積為 D．三棱錐的外接球表面積為【答案】ACD【分析】由線面平行的判定定理得線線平行，從而判斷A，并利用平面幾何知識(shí)證明判斷B，證明三棱錐的體積等于三棱錐的體積，由體積公式計(jì)算體積后判斷C，確定三棱錐的外接球球心在上（如圖），求出球半徑后得球表面積判斷D．【解析】對于選項(xiàng)AB，連接并延長交于S，連接，由平面幾何知識(shí)可得：S是的中點(diǎn)，且N，R，S三點(diǎn)共線，是重心，因?yàn)槊?，平面，平面平面，所以，作交于，由直棱柱性質(zhì)有，因此是平行四邊形，，又由平面幾何知識(shí)知是中點(diǎn)，因此是中點(diǎn)，從而，即P為上靠近N的三等分點(diǎn)，所以A正確，B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，，因此是平行四邊形，所以與互相平分，從而與點(diǎn)到平面的距離相等，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，而，所以C正確；對于選項(xiàng)D，∵的外心是S，由得平面，∴三棱錐的外接球球心一定在直線上，設(shè)三棱錐的外接球球心為O，半徑為R，，則，，∴，解得：，，球表面積為，所以D正確．故選：ACD．12．如圖，正方形的邊長為2，為的中點(diǎn)，將沿向上翻折到，連接，，為的中點(diǎn)，在翻折過程中（

）A．四棱錐的體積最大值為B．平面C．三棱錐的外接球半徑的最大值是D．直線，與平面所成角的正弦值之比為【答案】ABD【解析】若，如下圖示，，所以翻折過程中，當(dāng)面時(shí)四棱錐的體積最大，為，A正確；若為中點(diǎn)，連接，又為的中點(diǎn)，則且，又且，即且，所以為平行四邊形，則，面，面，故平面，B正確；由題意△為直角三角形，若為中點(diǎn)，則其外接圓圓心為且半徑為，而△中，故，則其外接圓半徑為，若圓心為，則，所以，令外接球球心為，則外接球半徑為，又，故外接球半徑最小值為，無最大值，C錯(cuò)誤.由，面，面，故平面，所以到面的距離相等，令距離為，所以，與平面所成角正弦值分別為，而，則，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：C選項(xiàng)，根據(jù)已知求出△、△外接圓的半徑，則為公共弦，再由外接球半徑與側(cè)面外接圓半徑的幾何關(guān)系列式求范圍.三、填空題13．在三棱錐P﹣ABC中，能證明AP⊥BC的條件是______．①AP⊥PB，AP⊥PC；②AP⊥PB，BC⊥PB；③平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC；④PB＝PC，AB＝AC．【答案】①③④【解析】推導(dǎo)出AP⊥平面PBC，可判斷①；根據(jù)已知條件可判斷②不滿足條件；推導(dǎo)出BC⊥平面PAC，可判斷③；取BC的中點(diǎn)D，連接AD、PD，推導(dǎo)出BC⊥平面PAD，可判斷④．【解答】對于①，因?yàn)锳P⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，平面，所以AP⊥平面PBC，因?yàn)锽C?平面PBC，所以AP⊥BC，①滿足條件；對于②，AP⊥PB，BC⊥PB，無法證明AP⊥BC，②不滿足條件；對于③，因?yàn)槠矫鍮CP⊥平面PAC，平面BCP∩平面PAC＝PC，BC⊥PC，BC?平面BCP，所以BC⊥平面PAC，又AP?平面PAC，故AP⊥BC，③滿足條件；對于④，取BC的中點(diǎn)D，連接AD、PD，因?yàn)镻B＝PC，D為BC的中點(diǎn)，故BC⊥PD，同理可得BC⊥AD，因?yàn)锳D∩PD＝D，平面，所以BC⊥平面PAD，因?yàn)锳P?平面PAD，AP⊥BC，④滿足條件．故答案為：①③④．14．棱長為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，過、、作正方體的截面，則截面的面積是_________．【答案】【分析】連接，設(shè)截面交棱于點(diǎn)，連接、，利用面面平行的性質(zhì)分析可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，且四邊形為等腰梯形，計(jì)算出該四邊形的各邊長及高，利用梯形的面積公式可求得截面的面積.【解析】連接，設(shè)截面交棱于點(diǎn)，連接、，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，，則，為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，由勾股定理可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，過點(diǎn)、分別在平面內(nèi)作、，垂足分別為點(diǎn)、，由等腰梯形的性質(zhì)可得，，又因?yàn)椋?，，所以，，因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，所以，，所以，，則，因此，截面面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：（1）直接法：截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；（2）平行線法；截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；（3）延長交線得交點(diǎn)：截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.15．在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，側(cè)面是以為斜邊的等腰直角三角形，若，則四棱錐的體積取值范圍為______【答案】.【分析】證明平面，從而得平面平面，作，垂足為，可得平面，為棱錐的高，然后設(shè)，用表示，，由的范圍求得的范圍是的范圍，由體積公式可得體積的范圍．【解析】，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，作，垂足為，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，設(shè)，，，，，在中，，，，因?yàn)?，所以，解得，則，所以，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的體積，解題關(guān)鍵是引入?yún)?shù)求出體積，因此首先要找到棱錐的高，掌握線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵，即證明平面平面是本題的關(guān)鍵，然后只要作出，垂足為，即為棱錐的高，再引入，由的范圍求得范圍后即得高的范圍．16．如圖，在邊長為2的正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連結(jié),，在翻折到的過程中，下列說法正確的是_________．（將正確說法的序號(hào)都寫上）①四棱錐的體積的最大值為；②當(dāng)面平面時(shí)，二面角的正切值為；③存在某一翻折位置，使得；④棱的中點(diǎn)為，則的長為定值．【答案】①②④【分析】當(dāng)面平面時(shí)，四棱錐的高取得最大值,此時(shí)體積達(dá)到最大值，經(jīng)計(jì)算可知①正確；作出二面角的平面角，經(jīng)計(jì)算可知②正確；利用反證法可知③不正確；取的中點(diǎn)，連，，，可得，經(jīng)計(jì)算可知④正確.【解析】在翻折到的過程中，因?yàn)樗睦忮F的底面積為定值，定值為，所以當(dāng)四棱錐的高取得最大值時(shí)，其體積達(dá)到最大，當(dāng)面平面時(shí)，四棱錐的高取得最大值,其最大值為直角三角形的斜邊上的高，其值為，所以四棱錐的體積的最大值為，故①正確；當(dāng)面平面時(shí)，過作，垂足為，則平面，所以，過作，垂足為，連，因?yàn)?，所以平面，所以，所以為二面角的平面角，在直角三角形中，，在直角三角形中，，因?yàn)?，所以，在直角三角形中，，所以，所以，所以二面角的正切值為，故②正確；連接，如圖：假設(shè)，因?yàn)椋?，所以平面，所以，所以，又，二者相矛盾，故假設(shè)不成立，故與不垂直，故③不正確；取的中點(diǎn)，連，，，如圖：因?yàn)?，，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，在直角三角形中，，所以，即CN的長為定值，故④正確.故答案為：①②④.四、解答題17．如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，為等腰三角形，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面．(2)若底面，且，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn),連接，通過證明從而得到平面，再證明平面，最后利用面面平行的判定與性質(zhì)即可.（2）利用，從而用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離為，再結(jié)合（1）中平面即可得到答案.【解析】（1）如圖所示，取的中點(diǎn),連接，為等腰三角形,且，，又為等邊三角形,且為的中點(diǎn)，，，又平面平面，平面，又分別為的中點(diǎn)，,又平面平面,平面.又，且平面，平面平面,平面平面.（2）連接，在等腰中,,在中,由余弦定理,得，，在Rt中,，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由,得,，所以.由（1）可知,平面點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.點(diǎn)到平面的距離為.18．如圖，在四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，∠BAD=60°，平面平面ABCD，，，E為上的一點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若平面BDE，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)，可得平面，從而，結(jié)合，即可證明平面；（2）利用等體積法，求三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐體積的一半，即可求得本題答案.【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平?（2）如圖，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋栽谥?，，所以?19．如圖，在三棱柱中，側(cè)面ABCD為矩形．(1)設(shè)M為AD中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PC上且，求證：平面BDN；(2)若二面角的大小為，，且，求直線BD和平面QCB所成角的正弦值的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連接MC交BD于E，由題可得，然后利用線面平行的判定定理即得；（2）過點(diǎn)C作射線，可得為二面角的平面角，過點(diǎn)D作，可得平面BCQ，設(shè)直線BD和平面PAD所成角為，結(jié)合條件可得，然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即得.(1)連接MC交BD于E，連接，因?yàn)閭?cè)面ABCD為矩形，所以，又M為AD中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以．所以，又平面NBD，平面NBD，所以平面BDN．(2)在平面QBC中，過點(diǎn)C作射線，因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以，所以為二面角的平面角，且．又，所以平面CDF，在平面DCF中，過點(diǎn)D作，垂足為G，因?yàn)槠矫鍰CF，平面DCF，所以，又，平面BCQ，平面BCQ，所以平面BCQ，于是DG為點(diǎn)D到平面BCQ的距離，且，設(shè)直線BD和平面PAD所成角為，則，，由，可得，∴所以直線BD和平面PAD所成角的正弦值的取值范圍是．20．如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)存在，.【分析】（1）連接與，兩線交于點(diǎn)，連接，利用三角形中位線性質(zhì)得到，再利用線面平行的判定即可證.（2）應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)、判定可得平面，從而得到，根據(jù)和得到，再利用線面垂直的判定即可證.（3）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，易證四邊形為平行四邊形，從而得到，進(jìn)而有平面，再利用面面垂直的判定即可證.（1）連接與，兩線交于點(diǎn)，連接，在中，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)榈酌?，平面，所?又為棱的中點(diǎn)，，所以.因?yàn)椋?，平面，所以平面，平面，所?因?yàn)?，所?又，在和中，，所以，即，所以，又，，平面，所以平面.（3）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，即時(shí)，平面平面.證明如下：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以且，又為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，由（2）知：平面，所以平面，又平面，所以平面平面.21．如圖，AB是的直徑，C是圓周上異于A，B的點(diǎn)，P是平面ABC外一點(diǎn)，且.(1)求證：平面平面；(2)若，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且與C在直徑AB同側(cè)，.（ⅰ）設(shè)平面平面，求證：；（ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）.【分析】（1）先利用線面垂直判定定理去證明平面ABC，再利用面面垂直判定定理去證明平面平面ABC；（2）（?。┫壤镁€面平行判定定理證明平面，再利用線面平行性質(zhì)定理去證明；（ⅱ）先作出平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的平面角，再去求其正切值即可.（1）如圖，連接OC，∵，∴.又∵C是以AB為直徑的圓周上一點(diǎn)，∴.∵，∴，∴.∵，平面，∴平面ABC.又∵平面PAB，∴平面平面ABC.（2）（?。┯深}意，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，∴.∵，∴.又點(diǎn)D在圓O上且與C在直線AB的同側(cè)，∴.又∵平面PAB，平面PAB，∴平面PAB.設(shè)平面平面，∵平面PCD，∴.（ⅱ）連接PD，則，取CD的中點(diǎn)E，連接PE，OE，則，，由（?。┲?，平面平面，.∴，.又∵平面PAB，平面PCD，∴是平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的平面角.∵，，∴.∵，∴是邊長為1的正三角形，∴，又∵平面ABC，∴，∴平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值為.22．如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為直角梯形，，，，，點(diǎn)在線段上，且．(1)探究在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，試證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．(2)設(shè)二面角的大小為，若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)平面，證明見解析；(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)平面，連接，交于點(diǎn)，連接，利用相似比證明，然后由線面平行的判定定理證明即可；（2）取的中點(diǎn)，連接，，可得為二面角的平面角，在中利用余弦定理求解，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，可證平面，又平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離，再利用等面積法求出，再求出的長，利用邊角關(guān)系求解即可．（1）解：存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)平面，證明：連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，則，則，故，又平面，平面，故平面；（2）解：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉檎切?，則，，因?yàn)闉橹苯翘菪?，，，，故四邊形為矩形，則，又，，平面，所以平面，又平面，故平面平面，所以為二面角的平面角，故，且，設(shè)，由余弦定理可得，，所以，整理可得，解得或（舍，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)椋移矫?，故平面，又平面，則平面平面，又平面平面，平面，所以平面，故即為點(diǎn)到平面的距離，又，平面，平面，所以平面，故即為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)?，則，所以，即，解得，又，故直線與平面所成角的正弦值為．23．在矩形ABCD中，，.點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且，.沿EF將四邊形AEFD翻折至四邊形，點(diǎn)平面BCFE.(1)求證：平面；(2)求證：與BC是異面直線；(3)在翻折的過程中，設(shè)二面角的平面角為，求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)1【分析】（1）證明平面平面，利用面面平行的性質(zhì)定理可證明結(jié)論；（2）利用反證的方法，假設(shè)假設(shè)與BC不是異面直線，得出矛盾，即可證明結(jié)論；（3）作輔助線，找出二面角的平面角，通過設(shè)角，可得到，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)，可求得答案.(1)證明：因?yàn)?平面,平面,所以平面，因?yàn)?平面,平面,所以平面，因?yàn)?故平面平面,而平面,故平面；(2)證明：假設(shè)與BC不是異面直線，即四點(diǎn)共面，則或相交于一點(diǎn)，設(shè)為Q,若，因?yàn)槠矫鍮CFE，故平面BCFE，而平面,平面平面=EF,故,與且，，則不平行矛盾；若,則平面,平面,平面平面=EF,故,則交于一點(diǎn)，由題意可知相交于FE延長線上，相交于EF延長線上一點(diǎn)，即不會(huì)交于同一點(diǎn)，故