專題20函數(shù)新定義小題綜合

專題20函數(shù)新定義小題綜合沖刺秘籍沖刺秘籍所謂“新定義背景問(wèn)題”，是指題目中會(huì)介紹一個(gè)“課本外的知識(shí)”，并說(shuō)明它的規(guī)則，然后按照這個(gè)規(guī)則去解決問(wèn)題。它主要考查學(xué)生接受并運(yùn)用新信息解決問(wèn)題的能力。這類(lèi)問(wèn)題有時(shí)提供的信息比較抽象，能否讀懂并應(yīng)用“新信息”是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。沖刺訓(xùn)練沖刺訓(xùn)練一、單選題1．（2023·湖南·鉛山縣第一中學(xué)校聯(lián)考三模）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意，成立，則稱為“導(dǎo)減函數(shù)”.下列函數(shù)中，是“導(dǎo)減函數(shù)”的為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】理解題目新定義，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算分析即可得出答案.【詳解】若函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)任意，，，當(dāng)時(shí)，，則不符合導(dǎo)減函數(shù)的定義；，，當(dāng)時(shí)，，則不符合導(dǎo)減函數(shù)的定義；，，當(dāng)時(shí)，，則不符合導(dǎo)減函數(shù)的定義；，，則符合導(dǎo)減函數(shù)的定義.故選：D.2．（2023·四川成都·?？寄M預(yù)測(cè)）定義：設(shè)不等式的解集為M，若M中只有唯一整數(shù)，則稱M是最優(yōu)解．若關(guān)于x的不等式有最優(yōu)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為.設(shè)，，根據(jù)的取值范圍分類(lèi)，作出的圖象，結(jié)合圖象，即可求得的取值范圍.【詳解】可轉(zhuǎn)化為.設(shè)，，則原不等式化為.易知m＝0時(shí)不滿足題意.當(dāng)m>0時(shí)，要存在唯一的整數(shù)，滿足，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，的圖象，如圖1所示

則，即，解得.當(dāng)m<0時(shí)，要存在唯一的整數(shù)，滿足，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，的圖象，如圖2所示

則，即，解得.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D3．（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）若函數(shù)和在區(qū)間上的單調(diào)性相同，則把區(qū)間叫做的“穩(wěn)定區(qū)間”.已知區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實(shí)數(shù)的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求函數(shù)，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)同為增函數(shù)或同為減函數(shù)，確定絕對(duì)值里面的正負(fù)，根據(jù)恒成立求的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，由題意得與在區(qū)間上同增或同減.若兩函數(shù)同增，則在區(qū)間上恒成立，即，所以.若兩函數(shù)同減，則在區(qū)間上恒成立，即，無(wú)解，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，對(duì)照選項(xiàng)中的a值，所以只有B選項(xiàng)符合題意.故選：B.4．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心.若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過(guò)二次求導(dǎo)可得，求出的圖像的對(duì)稱中心為，得到，據(jù)此規(guī)律求和即可.【詳解】由，可得，令，可得，又，所以的圖像的對(duì)稱中心為，即，所以，故選：B.5．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）雙曲函數(shù)是一類(lèi)與常見(jiàn)三角函數(shù)類(lèi)似的函數(shù)，在生活中有著廣泛的應(yīng)用，如懸鏈橋．常見(jiàn)的有雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)．下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．C．雙曲正弦函數(shù)是奇函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)是偶函數(shù)D．若點(diǎn)P在曲線上，α為曲線在點(diǎn)P處切線的傾斜角，則【答案】B【分析】對(duì)于A，B，直接代入驗(yàn)證即可；對(duì)于C，利用奇偶性的定義即可判斷；對(duì)于D，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合基本不等式及正切函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，且定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以雙曲正弦函數(shù)是奇函數(shù)；令，則，且定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以雙曲余弦函數(shù)是偶函數(shù)，C正確；對(duì)于D，令，則，設(shè)，所以，又因?yàn)椋?，D正確.故選：B6．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)中的任意一個(gè)，都有，且，則稱函數(shù)為“類(lèi)奇函數(shù)”．若某函數(shù)是“類(lèi)奇函數(shù)”，則下列命題中，錯(cuò)誤的是（

）A．若0在定義域中，則B．若，則C．若在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減D．若定義域?yàn)椋液瘮?shù)也是定義域?yàn)榈摹邦?lèi)奇函數(shù)”，則函數(shù)也是“類(lèi)奇函數(shù)”【答案】C【分析】對(duì)A，根據(jù)“類(lèi)奇函數(shù)”的定義，代入求解即可；對(duì)B，根據(jù)題意可得，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；對(duì)C，根據(jù)，結(jié)合正負(fù)分?jǐn)?shù)的單調(diào)性判斷即可；對(duì)D，根據(jù)“類(lèi)奇函數(shù)”的定義，推導(dǎo)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由函數(shù)是“類(lèi)奇函數(shù)”，所以，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，故A正確；對(duì)于B，由，即隨的增大而減小，若，則成立，故B正確；對(duì)于，由在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞減，設(shè)，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，所以，所以函數(shù)也是“類(lèi)奇函數(shù)”，所以D正確；故選：C7．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，，．若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義結(jié)合可求得的值，再結(jié)合歐拉函數(shù)的定義可求得的值.【詳解】與互素且不超過(guò)的正整數(shù)為，與互素且不超過(guò)的正整數(shù)為、，與互素且不超過(guò)的正整數(shù)為、，與互素且不超過(guò)的正整數(shù)為、、、，與互素且不超過(guò)的正整數(shù)為、、、，因?yàn)椋?，，，，所以，，則，因?yàn)榕c互素且不超過(guò)的正整數(shù)為、、、，所以，.故選：B.8．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）狄利克雷（1805~1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune德國(guó)數(shù)學(xué)家.對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.他提出了著名的狄利克雷函數(shù)，狄利克雷函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中典型的病態(tài)函數(shù).則關(guān)于有以下結(jié)論中不正確的是（

）A．B．C．存在使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形D．設(shè)函數(shù)，則【答案】C【分析】結(jié)合定義，根據(jù)選項(xiàng)，討論的情況，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.若為有理數(shù)，則都是有理數(shù)，則，若是無(wú)理數(shù)，則都是無(wú)理數(shù)，則，故A正確；B.若為有理數(shù)，，則都是有理數(shù)，則，若為無(wú)理數(shù)，，則都是無(wú)理數(shù)，則，故B正確；.設(shè)①當(dāng)在軸上，則為無(wú)理數(shù)，且，則為無(wú)理數(shù)，矛盾②當(dāng)不在軸上，則和為有理數(shù)，則為無(wú)理數(shù)，矛盾，均不存在，故C錯(cuò)誤；

.，故，故D正確.故選：C9．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）記，若（且），則稱是的n次迭代函數(shù)．若，則（

）A． B． C．2022 D．2023【答案】B【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式迭代可得，由此可得，進(jìn)而可得，將代入計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，，即，則，，，故有，所以，故.故選：B．【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確理解題干給出的“n次迭代函數(shù)”的概念并正確應(yīng)用，是解決本題的關(guān)鍵.10．（2023·天津?yàn)I海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？既＃┰O(shè)是定義在R上的函數(shù)，若是奇函數(shù).是偶函數(shù)，函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（

）（1）當(dāng)時(shí)，（2）（3）若，則實(shí)數(shù)m的最小值為（4）若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】由題可得，后由題目條件可得大致圖象.（1）由題目條件可得時(shí)，；（2）注意的特殊情況；（3）由題可得時(shí)，，后結(jié)合圖象可得答案；（4）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于直線與在時(shí)的圖象相切.【詳解】因是奇函數(shù)，則.因是偶函數(shù)，則.則.又注意到時(shí)，，則；時(shí)，，則.以此類(lèi)推，可得大致圖象如下.（1）時(shí)，，.則，故（1）錯(cuò)誤；（2）注意到當(dāng)時(shí)，，故（2）錯(cuò)誤；（3）當(dāng)時(shí)，由以上分析：，則，結(jié)合圖象可知若當(dāng)時(shí)，，則的最小值為，故（3）正確；（4）有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn).由圖可得，當(dāng)直線與在時(shí)的圖象相切時(shí)，滿足題意.注意到當(dāng)時(shí)，圖象上有一點(diǎn)，又恒過(guò)定點(diǎn)，，則當(dāng)與在時(shí)的圖象相切時(shí)，，故（4）錯(cuò)誤.綜上，只有（3）正確.故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題涉及求函數(shù)解析式及對(duì)于類(lèi)周期函數(shù)性質(zhì)的考查.本題由函數(shù)奇偶性確定解析式后，結(jié)合題目條件得到了大致圖象，可以直觀且簡(jiǎn)明地判斷（1）（2）（3），對(duì)于（4）所涉零點(diǎn)問(wèn)題?？赊D(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)問(wèn)題.11．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）定義，設(shè)函數(shù)，若使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】先考慮命題使得成立的否定為真命題時(shí)a的取值范圍，再求其補(bǔ)集即可.【詳解】命題使得成立的否定為對(duì)，，因?yàn)楫?dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，，若命題，為真命題，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，其中，設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，所以，矛盾；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，所以，矛盾；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，命題，為真命題，所以若使得成立，則a的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.12．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義為與距離最近的整數(shù)（當(dāng)為兩相鄰整數(shù)算術(shù)平均數(shù)時(shí)，取較大整數(shù)），令函數(shù)，如：，，，，則（

）A．17 B． C．19 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分析的規(guī)律，將重新分組，第組為個(gè)，則每組中各個(gè)數(shù)之和為，分析所在的組，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，則，則有，當(dāng)，有，則，則有，當(dāng)，有，則，則有，當(dāng)，有，則，則有，，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，包含，，，，共個(gè)整數(shù)，由此可以將重新分組，各組依次為、、、，，第組為個(gè)，則每組中各個(gè)數(shù)之和為，前組共有個(gè)數(shù)，則是第組的第個(gè)數(shù)，則．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是找到的規(guī)律，確定所在的分組.13．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，滿足，當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)為，（其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)），則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)（

）①是非奇非偶函數(shù)函數(shù)；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】對(duì)于①,利用特殊值驗(yàn)證，可判斷；對(duì)于②，根據(jù)的含義，明確函數(shù)的解析式，進(jìn)而作出圖象，數(shù)形結(jié)合，可判斷；對(duì)于③，確定，求和，即可判斷；對(duì)于④，根據(jù)，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可判斷，由此可得答案.【詳解】對(duì)于①，函數(shù)，則，故且，即是非奇非偶函數(shù)函數(shù)，①正確；對(duì)于②，函數(shù)定義域?yàn)椋瑵M足，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，，故當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)，作出函數(shù)的部分圖象，如圖，

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)，因?yàn)?，又滿足的整數(shù)有2024個(gè)，即，②正確；對(duì)于③，，所以，③正確；對(duì)于④，因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，④正確，故選：D【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)奇偶性以及函數(shù)值變化的規(guī)律以及求和問(wèn)題，解答的難點(diǎn)在于明確的含義，進(jìn)而明確函數(shù)的解析式特征，數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行解答.二、多選題14．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考三模）已知定義在R上的函數(shù)的圖象連續(xù)不間斷，若存在非零常數(shù)t，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，則（

）A．函數(shù)具有性質(zhì)B．若函數(shù)具有性質(zhì)，則C．若具有性質(zhì)，則D．若函數(shù)具有性質(zhì)，且，則，【答案】ABD【分析】根據(jù)性質(zhì)的定義直接驗(yàn)證即可判斷A；利用性質(zhì)迭代即可判斷B；取驗(yàn)證性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)性質(zhì)迭代可得，再結(jié)合即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，故A正確；若函數(shù)具有性質(zhì)，則，即所以，故B正確；若，取，易知恒成立，所以C錯(cuò)誤；若函數(shù)具有性質(zhì)，則，即所以所以又，所以，D正確.故選：ABD15．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，記一次完整的圖形變換為“T變換”，“T變換”的規(guī)則為：將函數(shù)圖象向右平移2個(gè)單位，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再向上平移1個(gè)單位，的圖象經(jīng)歷一次“T變換”得到的圖象，依此類(lèi)推，經(jīng)歷次“T變換”后，得到的圖象，則（

）A．B．若，則C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值之和小于D．【答案】ACD【分析】由條件給出的變換求出的解析式可判斷A；作出的圖象，可知若，只需成立即可，參變分離可求出的范圍可判斷B；設(shè)的極大值為，則有，求出的通項(xiàng)，可判斷D，對(duì)求和可判斷C.【詳解】，其中，即，故A正確；作出的圖象，可得．若，只需，對(duì)即可，故，故B錯(cuò)誤；記的極大值為（也是最大值），則，且，則，即，即，故D正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值之和，故C正確；故選：ACD16．（2023·山東·校聯(lián)考二模）若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①；②對(duì)，成立；③對(duì)，，，成立；則稱為“正方和諧函數(shù)”，下列說(shuō)法正確的是（

）A．，是“正方和諧函數(shù)”B．若為“正方和諧函數(shù)”，則C．若為“正方和諧函數(shù)”，則在上是增函數(shù)D．若為“正方和諧函數(shù)”，則對(duì)，成立【答案】ABD【分析】條件③．即可判定A，由條件①③可得，即可求得即可判斷B，由條件③即可判斷C,由迭代遞推法即可判斷D.【詳解】對(duì)于A,函數(shù)，，顯然滿足條件①②．對(duì)任意，且時(shí)，．函數(shù)在區(qū)間，上為“正方和諧函數(shù)”．故A正確.對(duì)于B，若函數(shù)為“正方和諧函數(shù)”，則令，，得，即，又由對(duì)，，，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，所以，即有，函數(shù)在區(qū)間上不一定是單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，①當(dāng)時(shí)，成立，②當(dāng)時(shí)，，，③當(dāng)時(shí)，，，則；顯然，當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，其中，那么當(dāng)時(shí)，，可知對(duì)于，總有，其中，而對(duì)于任意，存在正整數(shù)，使得，此時(shí)綜上可知，滿足條件的函數(shù)對(duì)時(shí)總有成立.故D正確，故選：ABD17．（2023·江蘇鹽城·校考三模）讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉，法國(guó)歐塞爾人，著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家．他發(fā)現(xiàn)任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)構(gòu)成的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示，如定義在R上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，則（

）．A．函數(shù)的最小正周期為B．點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心C．D．【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式結(jié)合余弦函數(shù)的最小正周期可判斷A；由已知推出可判B；根據(jù)函數(shù)的周期性以及時(shí)，有可判斷C；令代入函數(shù)表達(dá)式求值，判斷D.【詳解】由于，且的最小正周期為，則也是的周期,故的最小正周期為，A錯(cuò)誤；，故，即點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，B正確；由題意知是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有，故，C正確；由于，令，則，即，所以，D正確，故選：BCD18．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，若對(duì)任意，都存在正數(shù)M使得總成立，則稱函數(shù)是定義在A上的“有界函數(shù)”．則下列函數(shù)是“有界函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】可求每個(gè)選項(xiàng)函數(shù)的值域，然后求出的范圍即可得出該函數(shù)是否為有界函數(shù)．【詳解】對(duì)于A：的定義域?yàn)?，令，則，，，不存在正數(shù)，使得總成立，不是有界函數(shù)；對(duì)于B：的定義域?yàn)?，，所以，存在，使得，是有界函?shù)；對(duì)于C：，，存在，使得，是有界函數(shù)；對(duì)于D：，由于時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)，故不存在正數(shù)，使得總成立，不是有界函數(shù)；故選：BC．19．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知符號(hào)函數(shù)，偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用函數(shù)的周期性及給定函數(shù)，求出函數(shù)的值域，再結(jié)合符號(hào)函數(shù)逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，，而是偶函數(shù)，則當(dāng)，，因此當(dāng)時(shí)，，其取值集合為，又，即是周期為2的函數(shù)，于是函數(shù)的值域?yàn)?，的部分圖象，如圖，

當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，C正確；當(dāng)時(shí)，取，則，此時(shí)，D錯(cuò)誤.故選：ABD20．（2023·福建廈門(mén)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，則（

）A． B．是素?cái)?shù)時(shí)，C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)給定的歐拉函數(shù)定義逐項(xiàng)分析計(jì)算判斷即可.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，由題知，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤對(duì)B選項(xiàng)，當(dāng)為素?cái)?shù)時(shí)，顯然成立，所以B選項(xiàng)正確對(duì)C選項(xiàng)，2的倍數(shù)都不與互質(zhì)，故共有個(gè)，所以C選項(xiàng)正確對(duì)D選項(xiàng)，在中，2的倍數(shù)共有個(gè)，3的倍數(shù)共有個(gè)，6的倍數(shù)共有個(gè)，所以，所以，所以D選項(xiàng)正確故選：BCD.21．（2023·廣東深圳·深圳市高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）對(duì)于函數(shù)和，設(shè)，若存在，使得，則稱與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義求函數(shù)的零點(diǎn)，由定義可得函數(shù)的零點(diǎn)的范圍，結(jié)合函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為含參方程有解問(wèn)題，求導(dǎo)，可得答案.【詳解】由題意，可得，，易知，則，，則在有解，求導(dǎo)得：，令，解得，可得下表：極大值則當(dāng)時(shí)，取得最大值為，，則的取值范圍為，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以的值可以是，，.故選：BCD.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.22．（2023·河北張家口·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，使得對(duì)于在區(qū)間上的任意，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù).也就是說(shuō)，若函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意，只要充分接近，那么與也能夠充分接近，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)B．函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)C．函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)D．函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)【答案】BC【分析】對(duì)于A項(xiàng)，令，充分大時(shí)可判定；對(duì)于B項(xiàng)，作差分子有理化放縮可得，可判定；對(duì)于C項(xiàng)，作差和差化積放縮可得，即判定；對(duì)于D，取，則，但，利用定義即可判定；【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，令，當(dāng)充分大時(shí)，；另一方面，，不滿足，因此，函數(shù)在上不一致連續(xù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，令，且，則，取，當(dāng)，且時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，取，當(dāng)時(shí)，有，不妨令，令即在定義域上單調(diào)遞減，故，所以恒成立，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上，函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，對(duì)給定的充分小，不妨設(shè)，取，則，但，這說(shuō)明，函數(shù)在區(qū)間上不一致連續(xù)，故錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生閱讀理解能力及邏輯推理素養(yǎng)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.關(guān)鍵在于理解一致連續(xù)的意義，即自變量無(wú)限接近則其對(duì)應(yīng)函數(shù)值無(wú)限接近，利用題目給出的一致連續(xù)的定義，我們可以得到函數(shù)在區(qū)間不一致連續(xù)的定義：對(duì)給定的某正數(shù)，不論取值多么小，總至少有，，滿足，但，則稱函數(shù)在區(qū)間不一致連續(xù).這樣可以找出一些反例.23．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）已知，定義：表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如.若函數(shù)，其中，則（

）A．當(dāng)時(shí)，存在零點(diǎn)B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，把代入可得，所以不存在零點(diǎn)；對(duì)于選項(xiàng)B，由得，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，求的最值，從而證得當(dāng)時(shí)，成立；對(duì)于選項(xiàng)C，用反證法先假設(shè)，推出，與矛盾，所以正確；對(duì)于選項(xiàng)D，令，即可得出的取值范圍，從而得到.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，?所以當(dāng)時(shí)，，所以不存在零點(diǎn).故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，即，所?當(dāng)時(shí)，令，則，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以在上遞增，所以.故選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，假設(shè)，則，因?yàn)橛忠驗(yàn)?，與矛盾，所以正確.故選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，令，所以，所以，，所以，所以，?故選項(xiàng)D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，可利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、最值，由此來(lái)證得不等式成立.24．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“”表示不大于x的最大整數(shù)，例如：，，．下列關(guān)于的性質(zhì)的敘述中，正確的是（

）A．B．若，則C．若數(shù)列中，，，則D．被3除余數(shù)為0【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，由題意得到，變形得到；B選項(xiàng)，舉出反例即可；C選項(xiàng)，求出，利用等差數(shù)列求和公式求出答案；D選項(xiàng)，分析得到，被3除余數(shù)為1，分組求和后得到其被3除余數(shù)為1011，而，故D正確.【詳解】對(duì)于A，由定義“”表示不大于x的最大整數(shù)可知，，故，用代換x，即得，故A正確．對(duì)于B，不妨設(shè)，，滿足，但此時(shí)，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，由，可得，故，則，故C正確．對(duì)于D，對(duì)任意自然數(shù)k，與均不是整數(shù)，且，則．當(dāng)時(shí)，，即被3除余數(shù)為1．當(dāng)時(shí)，，，則被3除余數(shù)為1，，由上述分析知其被3除余數(shù)為1011，而，即M能被3整除，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】函數(shù)新定義問(wèn)題的方法和技巧：（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書(shū)上的概念.25．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，當(dāng)時(shí)，規(guī)定，如，.則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，則的子集個(gè)數(shù)為D．【答案】BD【分析】結(jié)合特例，可判定A錯(cuò)誤；結(jié)合，可判定B正確；結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的值域，得到的值域?yàn)?，可判定C正確；設(shè)，得到的周期為，證得恒為，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，例如，則，，可得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，，所以，所以，所以B正確；對(duì)于C中，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若，則且，所以且，即且，所以，不符合題意，即，同理，若，則與其中一個(gè)為，另一個(gè)為，或其中一個(gè)為，另一個(gè)為，不妨令，則，此時(shí)，，則，，所以，，又，顯然不符合題意；再令，則，此時(shí)，，則，，所以，，又，不妨令，，此時(shí)滿足；即函數(shù)的值域?yàn)?，所以集合的子集個(gè)數(shù)為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，設(shè)，若，可得，所以，，則，所以的周期為，又當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)；，此時(shí)；，此時(shí)；，此時(shí)，所以，結(jié)合周期為，即恒為，即，所以，所以D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)的新定義試題的求解：1、根據(jù)函數(shù)的新定義，可通過(guò)舉出反例，說(shuō)明不正確，同時(shí)正確理解新定義與高中知識(shí)的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化；2、正確理解函數(shù)的定義的內(nèi)涵，緊緊結(jié)合定義，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性和周期等性質(zhì)）進(jìn)行推理、論證求解.三、填空題26．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使函數(shù)圖象在這兩點(diǎn)處的切線斜率之積小于0且斜率之和等于常數(shù)e，則稱該函數(shù)為“e函數(shù)”，下列四個(gè)函數(shù)中，其