沖刺模擬試卷04-2023年高考數(shù)學(xué)考前高分沖刺模擬卷（新高考專用）

2023年高考數(shù)學(xué)考前沖刺模擬試卷04全解全析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以．故選：C2．若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，則．故選：B.3．已知向量的夾角的余弦值為，，，則（）A.4 B.1 C.1 D.4【答案】C【解析】由題意不妨設(shè)，，則，，由，可得，即，又由，解得，所以.故選：C.4．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為圓內(nèi)切于圓，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A5．在三棱錐中，平面BCD，，則三棱錐的外接球的表面積與三棱錐的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取的中點,連接，因為面面面所以，所以，所以，，因為面面所以面，又因為面，所以，所以，所以，所以為三棱錐的外接球的圓心,半徑，所以球表面積為，三棱錐的體積為，故.故選：D6．2022年北京冬奧會開幕式精彩紛呈，其中雪花造型驚艷全球．有一個同學(xué)為了畫出漂亮的雪花，將一個邊長為1的正六邊形進(jìn)行線性分形．如圖，圖（n）中每個正六邊形的邊長是圖中每個正六邊形的邊長的．記圖（n）中所有正六邊形的邊長之和為，則下列說法不正確的是（）A．圖（4）中共有294個正六邊形B．C．是一個遞增的等比數(shù)列D．記為數(shù)列的前n項和，則對任意的且，都有【答案】A【解析】對于A，由圖可知，圖至圖中正六邊形的個數(shù)構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，故圖中共有個正六邊形，A錯誤；對于B，由題可知，圖中每個正六邊形的邊長為，，，B正確；對于C，是底數(shù)大于的指數(shù)型函數(shù)，是一個遞增的等比數(shù)列，C正確；對于D，，，，，當(dāng)且時，對任意的且，都有，D正確.故選：A.7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得：，由于，所以，解得：①又因為函數(shù)在上恒成立，所以，解得：，由于，所以，解得：②又因為，當(dāng)時，由①②可知：，解得；當(dāng)時，由①②可知：，解得.所以的取值范圍為.故選：B.8．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，時，，即，設(shè)，，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，，即恒成立，即，令，，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，時，函數(shù)取得最小值，即，得：，那么，即，即，綜上可知.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．居家學(xué)習(xí)期間，某學(xué)校發(fā)起了“暢讀經(jīng)典，歡度新年”活動，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該校共有1200名學(xué)生，所有學(xué)生每天讀書時間均在20分鐘到100分鐘之間，他們的日閱讀時間頻率分布直方圖如圖所示．則下列結(jié)論正確的是（）A.該校學(xué)生日閱讀時間的眾數(shù)約為70B.該校學(xué)生日閱讀時間不低于60分鐘的人數(shù)約為360C.該校學(xué)生日閱讀時間的第50百分位數(shù)約為65D.該校學(xué)生日閱讀時間的平均數(shù)約為64【答案】ACD【解析】對于A，由圖可知眾數(shù)約為，故A正確；對于B，閱讀時間不低于60分鐘的人數(shù)約為(0.02+0.01）×20×1200=720，故B錯誤；對于C，[20，60)的頻率為（0.005+0.015)×20=0.4，[60，80)的頻率為0.02×20=0.4，∴第50百分位數(shù)為，故C正確；對于D，平均值為30×0.005×20+50×0.015×20＋70×0.02×20+90×0.01×20=64，故D正確；故選：ACD10．已知實數(shù)a，b>0，2a+b=4，則下列說法中正確的有（）A.有最小值 B.a2+b2有最小值C.4a+2b有最小值8 D.lna+lnb有最小值ln2【答案】BC【解析】因為實數(shù)a，b>0，2a+b=4，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，故選項A不正確；因為2a+b=4，所以，當(dāng)時，a2+b2有最小值，故選項B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即時取等號，故選項C正確；因為實數(shù)a，b>0，2a+b=4，所以，當(dāng)，時，lna+lnb有最大值ln2，因此選項D不正確，故選：BC11．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，則（）A.是函數(shù)的一個極大值點B.C.函數(shù)在處切線的斜率小于零D.【答案】AB【解析】令，解得，則在上單調(diào)遞增，令，解得或，則在上單調(diào)遞減，故是函數(shù)的一個極大值點，，A、B正確；∵，則，故函數(shù)在處切線的斜率大于零，C錯誤；又∵，則，但無法確定函數(shù)值的正負(fù)，D錯誤；故選：AB.12．己知橢圓：的左、右焦點分別為，右頂點為A，點M為橢圓上一點，點I是的內(nèi)心，延長MI交線段于N，拋物線（其中c為橢圓下的半焦距）與橢圓交于B，C兩點，若四邊形是菱形，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.橢圓的離心率是C.的最小值為 D.的值為【答案】ACD【解析】對于A，因為橢圓的左、右焦點分別為，右頂點為A，則，，，，因為拋物線（其中c為橢圓下的半焦距）與橢圓交于B，C兩點，所以由橢圓與拋物線的對稱性可得，兩點關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)，，，因為四邊形是菱形，所以的中點是的中點，所以由中點坐標(biāo)公式得，則，將代入拋物線方程得，，所以，則，所以，故A正確；對于B，由選項A得，再代入橢圓方程得，化簡得，則，故，所以，故B錯誤；對于C，由選項B得，所以，則，所以，不妨設(shè)，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，即時，等號成立，所以的最小值為，故C正確；對于D，連接和，如圖，因為的內(nèi)心為，所以為的平分線，則有，同理：，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，則______．【答案】10【解析】，其二項展開式的通項為，是展開式的系數(shù)，令，可得.故答案為:10.14.已知函數(shù)，將的圖像向右平移個單位長度后的函數(shù)的圖像，若為偶函數(shù)，則函數(shù)在上的值域為___________.【答案】【解析】因為，將的圖像向右平移個單位長度得到，又為偶函數(shù)，所以，，解得，，因為，所以，所以，因為，則，所以，則.故答案為：15.設(shè)奇函數(shù)的定義域為，且對任意，都有．若當(dāng)時，，且，則不等式的解集為__________．【答案】【解析】設(shè)，且，則因為，當(dāng)時，，所以，因為對任意，都有．所以，，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為不等式等價于不等式，即，因為對任意，都有，，所以，當(dāng)時，得；當(dāng)時，得所以，所以，，，，，所以，當(dāng)時，的解集為，當(dāng)時，的解集為，所以，的解集為，所以，不等式的解集為故答案為：16．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后，分別經(jīng)過點C和D，且，，則E的離心率為__________．【答案】【解析】依題意，直線都過點，如圖，有，，設(shè)，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得，故，，即；（2）由已知，得n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，，則．18．在中，，是邊上一點，．（1）若，求的值；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，，可得，．在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得，所以．（2）由，得．設(shè)，則，，所以，，，則，故．設(shè)，則．因為，所以，則．設(shè)，，則．因為當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．因為，，所以，故的取值范圍為．19．2020年將全面建成小康社會，是黨向人民作出的莊嚴(yán)承諾．目前脫貧攻堅已經(jīng)進(jìn)入沖刺階段，某貧困縣平原地區(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶數(shù)之比為．用分層抽樣的方法，收集了100戶家庭2019年家庭年收入數(shù)據(jù)（單位：萬元），繪制的頻率直方圖如圖所示，樣本中家庭年收入超過1.5萬元的有10戶居住在山區(qū)．(1)完成2019年家庭年收入與地區(qū)的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9％的把握認(rèn)為該縣2019年家庭年收入超過1.5萬元與地區(qū)有關(guān)．超過1.5萬元不超過1.5萬元總計平原地區(qū)山區(qū)10總計附：，其中．0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828(2)根據(jù)這100個樣本數(shù)據(jù)，將頻率視為概率．為了更好地落實黨中央精準(zhǔn)扶貧的決策，從2020年9月到12月，每月從該縣2019年家庭年收入不超過1.5萬元的家庭中選取4戶作為“縣長聯(lián)系家庭”，記“縣長聯(lián)系家庭”是山區(qū)家庭的戶數(shù)為，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有99.9％的把握認(rèn)為該縣2019年家庭年收入超過1.5萬元與地區(qū)有關(guān)；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，收入超過1.5萬元的家庭的頻率為，所以收入超過1.5萬元的家庭的戶數(shù)有戶，又因為平原地區(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶數(shù)之比為，抽取了100戶，故平原地區(qū)的共有60戶，山區(qū)地區(qū)的共有40戶，又樣本中家庭年收入超過1.5萬元的有10戶居住在山區(qū)，所以超過1.5萬元的有40戶居住在平原地區(qū)，不超過1.5萬元的有20戶住在平原地區(qū)，有30戶住在山區(qū)地區(qū)，故2019年家庭年收入與地區(qū)的列聯(lián)表如下：超過1.5萬元不超過1.5萬元總計平原地區(qū)402060山區(qū)103040總計5050100則，所以有99.9％的把握認(rèn)為該縣2019年家庭年收入超過1.5萬元與地區(qū)有關(guān)．（2）由（1）可知，選1戶家庭在平原的概率為，山區(qū)的概率為，X的可能取值為0，1，2，3，4，所以，，，，，所以X的分布列為：X01234P因為X服從二項分布，所以X的數(shù)學(xué)期望．20．如果，在四棱柱中，底面ABCD與側(cè)面ABB1A1都是菱形，AB=4，，平面平面ABCD，E?F?M?G分別是的中點，N是AC上的點且AC=4AN（1）求證：平面EFG；（2）若四棱柱的體積為48，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接與相交于,連接，故是中點，因為是中點，所以又,故,因此四邊形為平行四邊形，故,又AC=4AN，所以為中點，又為中點,所以平面平面,所以平面（2）則平面內(nèi)過點作，垂足為，連接，因為平面平面，且平面平面,所以平面,易得是等邊三角形，因此四棱柱的體積為，所以，即為的中點，，因而可知兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；則,因為，則，故設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知二面角的平面角為銳角，故，故二面角的余弦值為21．已知為拋物線的弦，點在拋物線的準(zhǔn)線上.當(dāng)過拋物線焦點且長度為時，中點到軸的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）若為直角，求證：直線過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)，則由題意得，解得，所以拋物線的方程為（2）直線過定點，證明如下：設(shè)，直線的方程：，將代入得，則，得，由韋達(dá)定理可得，所以，因為，所以，即，即，即，所以，所以直線過定點.22．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：在區(qū)間上存在唯一的極大值點；（2）討論零點的個數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）3個.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上無極值點，當(dāng)時，在上都遞減，即在上遞減，而，則存在唯一，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)