81成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性（五大題型）（原卷版）

8．1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性【題型歸納目錄】題型一：相關(guān)關(guān)系的理解題型二：散點(diǎn)圖與相關(guān)性題型三：散點(diǎn)圖及其應(yīng)用題型四：線性相關(guān)性的檢驗(yàn)題型五：判斷線性相關(guān)的強(qiáng)弱【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量間的關(guān)系有函數(shù)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系和不相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．2、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果一個(gè)變量值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，則稱這個(gè)兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．3、線性相關(guān)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)．一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．4、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算注意：相關(guān)系數(shù)是研究變量之間線性相關(guān)程度的量假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)分別為，對(duì)數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的“標(biāo)準(zhǔn)化處理”處理，，分別除和（和分別為，和的均值），得，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對(duì)數(shù)據(jù)分別記為，則變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下：．【典型例題】題型一：相關(guān)關(guān)系的理解【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．例1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．中的x，y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量B．正四面體的體積與棱長(zhǎng)具有相關(guān)關(guān)系C．電腦的銷售量與電腦的價(jià)格之間是一種確定性的關(guān)系D．傳染病醫(yī)院感染傳染病的醫(yī)務(wù)人員數(shù)與醫(yī)院收治的傳染病人數(shù)是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量例2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．任何兩個(gè)變量都具有相關(guān)關(guān)系B．球的體積與該球的半徑具有相關(guān)關(guān)系C．農(nóng)作物的產(chǎn)量與施化肥量之間是一種確定性關(guān)系D．一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間是一種非確定性的關(guān)系例3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）對(duì)于變量x與y，當(dāng)x取值一定時(shí)，y的取值帶有一定的隨機(jī)性，x，y之間的這種非確定性關(guān)系叫做（

）A．函數(shù)關(guān)系 B．線性關(guān)系C．相關(guān)關(guān)系 D．回歸關(guān)系變式1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是（

）．A．正方體的棱長(zhǎng)和體積B．單位圓中圓心角的度數(shù)和所對(duì)弧長(zhǎng)C．學(xué)生的學(xué)籍號(hào)與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)D．日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn)量題型二：散點(diǎn)圖與相關(guān)性【方法技巧與總結(jié)】判斷兩個(gè)變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡(jiǎn)便方法就是繪制散點(diǎn)圖，如果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個(gè)別點(diǎn)的位置的影響．例4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知變量和滿足關(guān)系，變量與正相關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是（

）．A．與正相關(guān)，與負(fù)相關(guān) B．與正相關(guān)，與正相關(guān)C．與負(fù)相關(guān)，與負(fù)相關(guān) D．與負(fù)相關(guān)，與正相關(guān)例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖如圖所示，現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析．方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程，相關(guān)系數(shù)為；方案二：剔除點(diǎn)，根據(jù)剩下的數(shù)據(jù)得到回歸直線方程，相關(guān)系數(shù)為．則（

）A． B．C． D．例6．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為，，，，；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為，，，，.表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則（

）.A． B．C． D．變式2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如下四個(gè)散點(diǎn)圖中，正相關(guān)的是（

）A． B．C． D．變式3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤(rùn)率統(tǒng)計(jì)表如下：月份123456人均銷售額658347利潤(rùn)率(%)12.610.418.53.08.116.3根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．利潤(rùn)率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系B．利潤(rùn)率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系C．利潤(rùn)率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系D．利潤(rùn)率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系題型三：散點(diǎn)圖及其應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】1、畫(huà)散點(diǎn)圖時(shí)應(yīng)注意合理選擇單位長(zhǎng)度，避免圖形過(guò)大或偏小，或者是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫(huà)不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯(cuò)誤結(jié)論．2、在這里利用散點(diǎn)圖直觀感知事物的形態(tài)與變化，理解事物間的關(guān)聯(lián)及變化規(guī)律，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象的具體體現(xiàn)．例7．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）兩對(duì)變量A和B，C和D的取值分別對(duì)應(yīng)如表1和表2，畫(huà)出散點(diǎn)圖，分別判斷它們是否具有相關(guān)關(guān)系；若具有相關(guān)關(guān)系，說(shuō)出它們相關(guān)關(guān)系的區(qū)別．表1A261813104B202434385064表2C05101520253035D541．67602．66672．09704．99806．71908．59975．421034．75題型四：線性相關(guān)性的檢驗(yàn)【方法技巧與總結(jié)】當(dāng)相關(guān)系數(shù)越接近1時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)越接近0時(shí)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系越弱．例8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）現(xiàn)隨機(jī)抽取了我校10名學(xué)生在入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)(x)與入學(xué)后的第一次考試數(shù)學(xué)成績(jī)(y)，數(shù)據(jù)如下表：學(xué)生號(hào)12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771計(jì)算這10個(gè)學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的樣本相關(guān)系數(shù)r，并判斷兩者是否具有線性相關(guān)關(guān)系．例9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）為研究鱸魚(yú)身長(zhǎng)與體重的關(guān)系，芬蘭某漁業(yè)公司記錄了如下表所示的鱸魚(yú)身長(zhǎng)X（單位：cm）與體重Y（單位：）的數(shù)據(jù)：身長(zhǎng)X/cm30.031.231.133.534.034.734.535.035.136.2體重Y/g242.0290.0340.0363.0430.0450.0500.0390.0450.0500.0身長(zhǎng)X/cm36.236.236.437.237.238.338.538.638.7體重Y/g475.0500.0500.0600.0600.0700.0700.0610.0650.0請(qǐng)畫(huà)出散點(diǎn)圖，并求鱸魚(yú)身長(zhǎng)X與體重Y間的樣本相關(guān)系數(shù).例10．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）兩對(duì)變量A和B，C和D的取值分別對(duì)應(yīng)如表1和表2，畫(huà)出散點(diǎn)圖，分別判斷它們是否具有相關(guān)關(guān)系；若具有相關(guān)關(guān)系，說(shuō)出它們相關(guān)關(guān)系的區(qū)別．表1A261813104－1B202434385064表2C05101520253035D541．67602．66672．09704．99806．71908．59975．421034．75變式4．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某個(gè)男孩的年齡與身高的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示．年齡x（歲）123456身高y（cm）788798108115120（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖；（2）判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系．題型五：判斷線性相關(guān)的強(qiáng)弱例11．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校組織學(xué)生觀看了“天宮課堂”第二課的直播后，極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)的興趣，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，特別是對(duì)實(shí)驗(yàn)操作的研究與探究.現(xiàn)有某化學(xué)興趣小組的同學(xué)在老師的指導(dǎo)下，開(kāi)展了某項(xiàng)化學(xué)實(shí)驗(yàn)操作，為了解實(shí)驗(yàn)效度與實(shí)驗(yàn)中原料的消耗量（單位：）的關(guān)系，該校實(shí)驗(yàn)員隨機(jī)選取了10個(gè)小組的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表.小組編號(hào)12345678910總計(jì)實(shí)驗(yàn)效度6原料的消耗量15并計(jì)算得.(1)求這10個(gè)小組的實(shí)驗(yàn)效度與實(shí)驗(yàn)中原料的消耗量的平均值；(2)求這10個(gè)小組的實(shí)驗(yàn)效度與實(shí)驗(yàn)中原料的消耗量的相關(guān)系數(shù)（精確到）；(3)經(jīng)該校實(shí)驗(yàn)員統(tǒng)計(jì)，以往一個(gè)學(xué)年各種實(shí)驗(yàn)中需用到原料的實(shí)驗(yàn)有200次左右.假設(shè)在一定的范圍內(nèi)，每次實(shí)驗(yàn)中原料的消耗量與實(shí)驗(yàn)效度近似成正比，其比例系數(shù)可近似為樣本中相應(yīng)的平均值的比值.根據(jù)要求，實(shí)驗(yàn)效度平均值需達(dá)到.請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)信息，估計(jì)該校本學(xué)年原料的消耗量.附：相關(guān)系數(shù)例12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)環(huán)境得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得：，，，，．(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值；(2)求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到）；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由．例13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每隔從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：）做好記錄．下表是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的個(gè)零件的尺寸：抽取次序零件尺寸（）抽取次序910111213141516零件尺寸（）經(jīng)計(jì)算得，，，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸（）．(1)求的相關(guān)系數(shù)，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ?，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。?；(2)一天內(nèi)抽檢的零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．①?gòu)倪@一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？②在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．（精確到）【同步練習(xí)】一、單選題1．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列關(guān)于統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)的判斷，正確的是（

）A．將總體劃分為2層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為和，且已知，則總體方差B．在研究成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時(shí)，相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1C．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D．按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：；乙組：，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)?第50百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則2．（2023秋·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）小明同學(xué)每天閱讀數(shù)學(xué)文化相關(guān)的書(shū)籍，他每天閱讀的頁(yè)數(shù)分別為：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（單位：頁(yè)）.下列圖形中不利于描述這些數(shù)據(jù)的是（

）A．條形圖 B．莖葉圖 C．散點(diǎn)圖 D．扇形圖3．（2023秋·遼寧阜新·高二校考期末）如圖是近十年來(lái)全國(guó)城鎮(zhèn)人口、鄉(xiāng)村人口的折線圖（數(shù)據(jù)來(lái)自國(guó)家統(tǒng)計(jì)局）．根據(jù)該折線圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)正相關(guān) B．鄉(xiāng)村人口與年份的相關(guān)系數(shù)接近C．城鎮(zhèn)人口逐年增長(zhǎng)率大致相同 D．可預(yù)測(cè)鄉(xiāng)村人口仍呈現(xiàn)下降趨勢(shì)4．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）通過(guò)抽樣調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)氐谌径鹊尼t(yī)院心腦血管疾病的人數(shù)和便利店購(gòu)買冷飲的人數(shù)的相關(guān)系數(shù)很高，甲認(rèn)為這是巧合，兩者其實(shí)沒(méi)有關(guān)系：乙認(rèn)為冷飲的某種攝入成分導(dǎo)致了疾病；丙認(rèn)為病人對(duì)冷飲會(huì)有特別需求：丁認(rèn)為兩者的相關(guān)關(guān)系是存在的，但不能視為因果，請(qǐng)判斷哪位成員的意見(jiàn)最可能成立（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一次試驗(yàn)中，測(cè)得的五組數(shù)據(jù)分別為，，，，，去掉一組數(shù)據(jù)后，下列說(shuō)法正確的是（

）A．樣本數(shù)據(jù)由正相關(guān)變成負(fù)相關(guān) B．樣本的相關(guān)系數(shù)不變C．樣本的相關(guān)性變?nèi)?D．樣本的相關(guān)系數(shù)變大6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

）A． B．C． D．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)兩個(gè)變量與進(jìn)行回歸分析，有個(gè)不同模型可供選擇，其中擬合效果最好的是（

）A．模型的相關(guān)系數(shù)為 B．模型的相關(guān)系數(shù)為C．模型的相關(guān)系數(shù)為 D．模型的相關(guān)系數(shù)為8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)三組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)依次是，，，則它們的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考期末）對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后得到的散點(diǎn)圖如圖，關(guān)于其線性相關(guān)系數(shù)的結(jié)論正確的是(

)A． B． C． D．10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）（多選）在下列所示的四個(gè)圖中，每個(gè)圖的兩個(gè)變量間具有相關(guān)關(guān)系的是（

）．A． B． C． D．11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的關(guān)系，正確的有（

）A． B． C． D．12．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）給出下列說(shuō)法，其中正確的是（

）A．某病8位患者的潛伏期（天）分別為3，3，8，4，2，7，10，18，則它們的第50百分位數(shù)為B．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為3，那么數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)和方差分別為5，13C．在回歸分析中，變量間的關(guān)系若是非確定性關(guān)系，那么因變量不能由自變量唯一確定D．樣本相關(guān)系數(shù)三、填空題13．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）以下兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)的是_____．①學(xué)生的學(xué)籍號(hào)與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)；②堅(jiān)持每天吃早餐的人數(shù)與患胃病的人數(shù)；③氣溫與冷飲銷售量；④電瓶車的重量和行駛每千米的耗電量．14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，依次獲得如圖所示的散點(diǎn)圖．關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的大小比較，將0、、、、從小到大排列，應(yīng)為_(kāi)_____．15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若一組觀測(cè)值，，…，（）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于同一直線上，則x，y的相關(guān)系數(shù)為_(kāi)_____．16．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為_(kāi)__________.四、解答題17．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）近年來(lái)，“雙11”網(wǎng)購(gòu)的觀念逐漸深入人心，某人統(tǒng)計(jì)了近5年某網(wǎng)站“雙11”當(dāng)天的交易額，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：年