2024屆高考數(shù)學(xué)訓(xùn)練題

2024年高考數(shù)學(xué)考前訓(xùn)練題

1.在直三棱柱A8C?A8C中，NA8C=90°,AB=BC=AA\=\.

(1)求異面直線(xiàn)〃I。與AC所成的角的大?。?/p>

(2)求直線(xiàn)4c與平面A8C所成角.

【分析】(1)由用可知NACB即為異面直線(xiàn)BiCi與4C所成的角，在RtAABC

中即可求出NAC8的大小.

(2)由AMI平面AM。可知即為有線(xiàn)AiC與平面ARC所成角,在Rt/\,4iAC

中求出cosZAiCA的值即可.

【解答】解：(1)，：B\C\〃BC,

.??NAC8即為異面直線(xiàn)B\C\與AC所成的角，

VZABC=90°,AB=BC=\,

???NAC8=45°,

即異面直線(xiàn)8iCi與AC所成的角的大小為45°.

(2),?,直三棱柱/WC-4BC,

，AiA_L平面A3CO,

AZA1CA即為直線(xiàn)AiC與平面ABC所成角，

在Rt^AiAC中，A\A=\,AC=\[2,：.A\C=y]ArA2+AC2=V3,

cosZ4iCA=點(diǎn)=當(dāng)，

V6

/.ZAiCA=arccos-，

3

V6

即直線(xiàn)AC與平面48c所成的角為arccosy.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了異面直線(xiàn)的夾角，考查了直線(xiàn)與平面所成角，是中檔題.

2.如圖，在四棱錐P-ABC。中，AB//CD,且NB4P=NCDP=90°.

(1)證明：平面％8_1_平面力。：

(2)若用=PD=A4=OC=1,NA”O(jiān)=90'，求二面角P?AC-。的大小.

【分析】（I）利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明平面外根據(jù)面面垂直的判定定理證

明即可;

（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)

法求出平面%C的法向量，由向量的夾角公式求解即可.

【解答】（1）證明：由己知N84P=NCOP=90°,

所以A8_LAP,CDLPD,

由于A(yíng)8〃C。，故AB_PD,

又APCPD=P.AP,PDu平面外。，

從而AB_L平面PAD,

又48u平面B4B,

所以平面力B_L平面朋D；

（2）解：在平面"。內(nèi)作P”_L4。，垂足為“，

由（1）可知，A8_L平而以。，PFu平面雨Q,

所以夕產(chǎn)_1_八“，又人"n4Q=A,AB,人。u平面八8c。，

所以PFJ_平面八ACD,

以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

因?yàn)橄?PO=A8=OC=1,NAPO=90°,

則力。=y/PA2+PD2=V2,

所以尸（0,0,0）,&孝，0,0）,P（0,0,孝），C（一孝，1,0）,0（一孝，0,0），

故日=（孝,0,一多，CA=（V2,-1,0）,DA=（V2,0,0）,

設(shè)平面PAC的法向量為］=（%,y,z）,

則”『，BP{TX-TZ=0,

-n=0IV2x—y=0

令x=l,則丁=或，z=I,

所以71=(1,V2,1),

又平面4BCD的一個(gè)法向量為薪=(0,0,1),

一、日?南11

所以cosVn,m>=二J-“二=

|n||7n|v14-2+lxl2

因?yàn)槎娼?-AC-O為銳二面角,

所以二面角P-4C-Q的大小為二.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線(xiàn)面垂直的判定定理和面面垂直的判

定定理的應(yīng)用，在求解有關(guān)空間角問(wèn)題的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將

空間角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向最問(wèn)題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

3.如圖，四棱錐4-4CDE是由直角△A8C沿其中位線(xiàn)。石翻折而成，且NA8C=*PC

=2*,設(shè)48=1,AC=3.

(I)若NA￡B=m，求二面角4-3。-P的余弦值；

(II)若二面角C-AD-E的大小為、，求三棱錐P-A'ED的體積.

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【分析】(I)因?yàn)镹A叢二條則△AE4為等邊三角形，取分別C。的中點(diǎn)。，F(xiàn),

連接0"，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以08,OF,OA'為x軸，y軸，z軸，再求兩平面

的法向最，再用向量法求二面角的大小.

(II)先作出二面角C-HD-E的補(bǔ)補(bǔ)角，即二面角A-A'O-E的大小，然后多次利

用直角三角形的邊的關(guān)系求出點(diǎn)4'到面BCOE的距離，再求P到面8cOE的距離.

【解答】解：(I)因?yàn)镹A^=!則”為等邊三角形,

取分別8E,CQ的中點(diǎn)。，F(xiàn),連接。凡

以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以08，OF,0A'為x軸，y軸，z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則竭,0,0）,C&2vL0）,4（0,0,空），0（-卜V2,0）,

由題意可知，OP=0C+OAr,所以，P（金，—?第），

所以8/）=（-2，V2/0）,A'B=?0,—字）,BP=（-看,—^―,第）'

設(shè)平面A'B。的一個(gè)法向量為五=Qi，%,zj,

BD-=U1+"^丫1+0=0.

所以T：，即｛12,不妨令％=逐，所以%=（2份,

4B,元=0+0-寧Z]=0

M,2&），

設(shè)平面PBD的法向量點(diǎn)=(%2，丫2，Z2)，

(^n-c+^2y2+0=0T

所以.?]二(),即《2，不妨令力=8，所以九2二(2灰，百，

(8P?幾=0(_然+竽丫2+年Z2=0

-2V2),

斫以…V：">_EE_2v,r6x2v^6+/3x^+2/2x（-2s/2）_19

所以COSj”一時(shí)-（限⑥2+（、③2+Q下）2F

19

所以二面角A：皿-的余弦值還;

(II)過(guò)點(diǎn)￡作￡M_LA'。于M,

再過(guò)點(diǎn)"在平面AA'。內(nèi)作A'。的垂線(xiàn)MN交A4'于N,連接NE.

NNME為二面角E?A'。-A的平面角，

???二面角。?A'。-E的大小為三，：./NME=￡

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在RlAABC中，由4B=1,AC=3,所以8。=26，DE=V2,A'E=AE=

由折又疊知OEJ_A4'E,所以DELEN,

由作輔助線(xiàn)過(guò)程程知4'力_LiffiMNE,所以NE_L4'D,又A'DQDE=D,

所以EN_LA'DE,所以EN_LA'E,

O11萬(wàn)

由RtAVED,容易求得A'D=5，又一4D?EM=-4E?D￡所以EM=浮,

2223

在Rt&WNE中，又NNME屋,所以七2?x字=等,

在RtM￡N中，由勾股定理得A'2等'所以sf'E=謐,"的￡=焉'

所以s出/AE&=2x簿x=考普'

6\/6

所以4'到面8CDE的距離為一,，PC=2P