湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校2024-2025學年高一上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題 含解析

2024年秋季鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校期中聯(lián)考高一數(shù)學試卷命題學校：黃石二中命題教師：李朝盛王小平審題學校：蘄春一中審題教師：周強鋒考試時間：2024年11月11日上午08：00—10：00試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（）A.中國古代四大發(fā)明 B.所有無理數(shù)C.2024年高考數(shù)學難題 D.小于的正整數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意利用集合中元素具有確定性的性質(zhì)，對選項逐一判斷可得結(jié)論.【詳解】對于A，中國古代四大發(fā)明是指造紙術(shù)、指南針、火藥、印刷術(shù)，滿足集合定義，即A能構(gòu)成集合；對于B，所有無理數(shù)定義明確，即B能構(gòu)成集合;對于C，2024年高考數(shù)學難題定義不明確不具有確定性，不符合集合的定義，即C構(gòu)不成集合；對于D，小于的正整數(shù)只有1，2，3，具有確定性，滿足集合定義，即D能構(gòu)成集合.故選：C2已知集合，，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求解即得.【詳解】依題意，，而，所以.故選：D3.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在(0,+∞)上遞增，則實數(shù)（）A.2 B. C.4 D.2或【答案】B【解析】【分析】利用冪函數(shù)的定義求出m值，再由單調(diào)性驗證即得.【詳解】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，即，解得或，當時，函數(shù)在(0,+∞)上遞增，則，當時，函數(shù)在(0,+∞)上遞減，不符合要求，實數(shù).故選：B4.已知是定義在上的減函數(shù)，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的定義域以及單調(diào)性可得，滿足的條件，由此即可解得的范圍．【詳解】由題意，函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，因為得，解得，所以x的取值范圍是.故選：A.5.若，，，則的最小值為（）A.1 B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】利用乘“1”法即可求出最值.【詳解】根據(jù)題意可得當且僅當即時，等號成立，此時最小值為3.故選：B.6.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”.在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.下面的圖象對應(yīng)的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先由函數(shù)的定義域排除CD，再由時，排除A，即可得答案.【詳解】由圖象可知，函數(shù)的定義域為，因為的定義域為，所以排除C，因為的定義域為，所以排除D，因為當時，，所以排除A，故選：B7.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式的解集為空集，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，求出不等式的解，再代入判斷列式求解.【詳解】函數(shù)，設(shè)，不等式為，即，解得，依題意，無解，即不等式無解，因此，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：C8.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美譽.函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，，則方程的所有大于零的解之和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】，，使，可得，，分類討論k為奇數(shù)和偶數(shù)的情況，求出k的值，再代入求解即可.【詳解】，，使，則，于是，，若k為奇數(shù)，則，，，則，解得，或，當時，，，，，解得，當時，，，，，解得；若k偶數(shù)，則，則，，則，解得，或，當時，，，，，解得，當時，，，，，解得，所以所有大于零的解之和為.故選：D【點睛】結(jié)論點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18'分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有下列四種說法，正確的說法有（）A.奇函數(shù)圖象不一定過坐標原點B.命題“，”的否定是“，”C.若，則“”的充要條件是“”D.定義在上函數(shù)對任意兩個不等實數(shù)a，b，總有成立，則在上是增函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】對A舉反例即可；對B，利用全稱命題的否定為特稱命題即可判斷；對C，舉反例即可；對D，根據(jù)單調(diào)性的定義即可判斷.【詳解】對于A，奇函數(shù)的圖象不一定過坐標原點，如是奇函數(shù)，它的圖象不過原點，所以A正確；對于B，命題“，”的否定是“”，B錯誤；對于C，若，則由不能推出故“”不是的充要條件，故C錯誤；對于D，根據(jù)題意知，時，，時，，由單調(diào)性的定義知，y=fx在R上是增函數(shù)，D正確故選：AD.10.已知關(guān)于x的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（）A. B.的解集為C. D.的解集為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，再給一元二次不等式的求解逐項判斷即得.【詳解】由不等式的解集為或，得且是方程的兩個根，則，即，對于A，，A錯誤；對于B，不等式為，而，解得，B正確；對于C，，C正確；對于D，不等式為，即，解得D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)的定義域為，對任意實數(shù)x，y滿足：，且.當時，.則下列選項正確的是（）A. B.C.為奇函數(shù) D.為上的增函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】對A直接賦值即可；對B，賦值即可；對C，利用奇偶性定義判斷即可；對D，根據(jù)單調(diào)性的判斷方法判斷即可.【詳解】對于A，由題可知故，故A正確；對于B，由題可知，故B正確；對于C，，故為奇函數(shù)，故C正確；對于D，當時，，∵∴fx是R上的減函數(shù)，故D錯誤故選：ABC.二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)每個式子有意義的條件分別求出自變量的取值范圍，再求交集即可.【詳解】因為所以解得且，所以函數(shù)的定義域為(.故答案為：.13.已知集合，，若，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意利用集合中元素的互異性分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】依題意可知，由于可知，此時，所以，解得或(舍去)即.故答案為：14.設(shè)函數(shù)關(guān)于x的方程有三個不等實根，且，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到，，求出答案.【詳解】畫出函數(shù)的圖象，觀察圖形知，僅當時，方程有三個不等實根，分別對應(yīng)直線與圖象三個交點的橫坐標，其中兩個交點位于二次函數(shù)圖象上，不妨設(shè)，顯然關(guān)于對稱，則，另一個交點位于直線上，在中，當時，，即，因此，所以.故答案為：三、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字、證明過程或演算步驟.15.設(shè)全集，已知集合，.（1）若，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若“”是“”的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，然后結(jié)合集合的交集運算即可求解；（2）由題意得，然后結(jié)合集合的包含關(guān)系即可求解．【小問1詳解】由，解得，所以．因為，且，所以或，得或，所以實數(shù)的取值范圍是或；【小問2詳解】因為“”是“”的充分條件，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．16.用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個面積為的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成，當?shù)妊菪蔚难L為多少時，所用籬笆的長度最小?并求出所用籬笆長度的最小值.【答案】等腰三角形腰長為，所用籬笆長度的最小值為.【解析】【分析】建立函數(shù)模型，利用基本不等式求解.【詳解】設(shè)，上底，分別過點，作下底的垂線，垂足分別為，，則，，則下底，該等腰梯形的面積，所以，則所用籬笆長為當且僅當即，時取等號.所以，當?shù)妊菪蔚难L為時，所用籬笆長度最小，其最小值為.17.函數(shù)的定義域為，且滿足對于任意，有，當時，.（1）證明：是偶函數(shù)；（2）如果，解不等式.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）令，從而得到，即可證明；（2）通過賦值代換得，再證明其單調(diào)性，從而得到不等式組，解出即可.【小問1詳解】因?qū)Χx域內(nèi)的任意，有，令，則有，又令，得，再令，得，從而，于是有，所以是偶函數(shù).【小問2詳解】由于，所以，于是不等式可化為，由（1）可知函數(shù)是偶函數(shù)，則不等式可化為，設(shè)，則，由于，所以，所以，所以，所以，所以在上是增函數(shù)，所以可得，解得，所以不等式的解集為.18.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且.（1）求實數(shù)的值；（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，并說明理由；（3）求函數(shù)（其中）的值域.【答案】（1），；（2）函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，理由見解析；（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)奇偶性定義以及函數(shù)值解方程可得結(jié)果；（2）利用單調(diào)性定義按照步驟即可證明在區(qū)間1,+∞單調(diào)遞增；（3）由換元法得出函數(shù)的表達式，再由（2）中的結(jié)論得出其在上的單調(diào)性，利用二次函數(shù)性質(zhì)分類討論即可得出結(jié)果.【小問1詳解】根據(jù)題意可得，即，可得；再由可得，解得；當，可得，經(jīng)檢驗此時滿足，為奇函數(shù)，所以，【小問2詳解】取任意，且，則;由，可得，；所以，即可得，即函數(shù)在區(qū)間1,+∞的單調(diào)遞增；【小問3詳解】由，由(2)得當時，，所以，即，所以函數(shù)0,1上單調(diào)遞減；因此函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，又函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以函數(shù)的減區(qū)間為，遞增區(qū)間為,當時，,令，有①當時，即，,此時函數(shù)的值域為;②當時，即時，可得此時函數(shù)的值域為③當時，即時，，此時函數(shù)的值域為④當時，即，，此時函數(shù)的值域為，綜上所述，時，其值域為;當時，值域為當時，值域為；當時，值域為【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用換元法得出函數(shù)的表達式，再證明得出函數(shù)的單調(diào)性，利用二次函數(shù)性質(zhì)分類討論即可得出結(jié)果函數(shù)的值域.19.已知n為正整數(shù)，集合，對于中任意兩個元素和，定義：；（1）當時，設(shè)，，寫出，并計算；（2）若集合滿足，且，，求集合S中元素個數(shù)的最大值，寫出此時的集合S，并證明你的結(jié)論