高中數(shù)學(xué)必修二《第九章 統(tǒng)計》復(fù)習(xí)教案

《第九章統(tǒng)計》復(fù)習(xí)教案

9.1隨機抽樣

9.1.1簡單隨機抽樣

【基礎(chǔ)知識拓展】

1.抽簽法的優(yōu)缺點與操作步驟

(1)優(yōu)點：簡單易行.當(dāng)總體的個數(shù)不多時，使總體處于“攪拌均勻”的狀

態(tài)比較容易，這時，每個個體都有均等的機會被抽中，從而能夠保證樣本的代表

性.

(2)缺點：僅適用于個體數(shù)較少的總體.當(dāng)總體容量非常大時，費時費力又

不方便，況且，如果號簽攪拌的不均勻，可能導(dǎo)致抽樣不公平.

(3)用抽簽法從容量為”的總體中抽取一個容量為〃的樣本的步驟：

①編號：給總體中的所有個體編號(號碼可以從1到加；

②制作號簽：將1?N這M個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上(號簽可以用

小球、卡片、紙條等制作)；

③均勻攪拌：將號簽放在一個不透明的容器里，攪拌均勻；

④抽取號碼：每次從容器中不放回地抽取一個號簽，連續(xù)抽取〃次；

⑤構(gòu)成樣本：從總體中將與抽到的號簽上的號碼一致的人體抽取，就構(gòu)成了

一個容量為〃的樣本.

2.隨機數(shù)表法的優(yōu)缺點及操作步驟

(1)優(yōu)點：簡單易行.它很好地解決了當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時抽簽法制簽

難的問題.

(2)缺點：當(dāng)總體中的個體數(shù)很多，需要的樣本量也較大時，用隨機數(shù)表法

抽取樣本仍不方便.

(3)隨機數(shù)表法抽取樣本的步驟：

①編號：對總體的個體進(jìn)行編號(每個號碼位數(shù)一致)；

②選定初始值：在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始；

③選號：從選定的數(shù)開始按一定的方向讀下去，得到的號碼若不在編號中，

則跳過，若在編號中，則取出，如果得到的號碼前面已經(jīng)取出，也跳過，如此繼

續(xù)下去，直到取滿為止；

④確定樣本：根據(jù)選定的號碼抽取樣本.

3.抽簽法與隨機數(shù)法的區(qū)別

抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少，樣本量也較小的抽

樣，隨機數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多，但樣本量較小的抽樣.

4.用樣本估計總體，主要基于以下兩點：

一是在很多情況下總體的個數(shù)往往很多，甚至無限，不能一一加以考察；二

是有些從總體中抽取個體的試驗常有破壞性，因而抽取的個體不允許太多。

【跟蹤訓(xùn)練】

1.判一判（正確的打7：錯誤的打“X”）

（D簡單隨機抽樣就是隨便抽取樣本.（）

（2）使用抽簽法抽簽時，后抽簽的人占優(yōu)勢.（）

（3）利用計算器生成隨機數(shù)時，按一次“=”鍵可生成一個隨機數(shù).（）

答案⑴X（2）X（3）V

2.做一做

（1）下列調(diào)查：①每隔5年進(jìn)行一次人口普查；②報社等進(jìn)行輿論調(diào)查；③

燈泡使用壽命的調(diào)查；④對入學(xué)報名者的學(xué)歷檢查；⑤從20臺電視機中抽出3

臺進(jìn)行質(zhì)量檢查，其中屬于抽樣調(diào)查的是（）

A.①②③B.②③⑤

C.②③④D.①③⑤

（2）下列抽樣試驗中，適合用抽簽法的有（）

A.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗

B.從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗

C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗

D.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗

答案（1）B（2）B

【核心素養(yǎng)形成】

題型一簡單隨機抽樣的判斷

例1下列5個抽樣中，簡單隨機抽樣的個數(shù)是（）

①從無數(shù)個個體中抽取50個個體作為樣本；

②倉庫中有1萬支火炬，從中一次性抽取100支火炬進(jìn)行質(zhì)量檢查；

③某連隊從200名黨員官兵中，挑選出50名最優(yōu)秀的官兵趕赴青海參加抗

震救災(zāi)工作；

④一彩民選號，從裝有36個大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽

出6個號簽.

A.0B.1

C.2D.3

［解析］根據(jù)簡單隨機抽樣的特點逐個判斷.①不是簡單隨機抽樣，因為簡

單隨機抽樣要求被抽取樣本的總體中的個體數(shù)是有限的；②不是簡單隨機抽樣，

雖然“一次性抽取”和“逐個抽取”不影響個體被抽到的可能性，但簡單隨機抽

樣要求的是“逐個抽取”；③不是簡單隨機抽樣，因為50名官兵是從中挑出來

的，是最優(yōu)秀的，每個個體被抽到的可能性不同，不符合簡單隨機抽樣中“等可

能抽樣”的要求；④是簡單隨機抽樣，因為總體中的個體數(shù)是有限的，并且是從

總體中逐個進(jìn)行抽取的，是不放回、等可能的抽樣.綜上，只有④是簡單隨機抽

樣.

［答案］B

【解題技巧】簡單隨機抽樣必須具備的特點

(1)被抽取樣本的總體中的個體數(shù)是有限的.

(2)抽取的樣本是從總體中逐個抽取的.

(3)簡單隨機抽樣是一種等可能的抽樣.

如果三個特征有一個不滿足，就不是簡單隨機抽樣.

【跟蹤訓(xùn)練】

判斷下面的抽樣方法是否為簡單隨機抽樣，并說明理由.

(1)某班45名同學(xué)，指定個子最矮的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的某項活動；

(2)從20個零件中一次性抽出3個進(jìn)行質(zhì)量檢查.

解(D不是簡單隨機抽樣.

因為指定個子最矮的5名同學(xué)，是在45名同學(xué)中特指的，不存在隨機性，

不是等可能抽樣.

(2)不是簡單隨機抽樣.

因為一次性抽取3個不是逐個抽取，不符合簡單隨機抽樣的特征.

題型二用抽簽法抽取樣本

例2(1)上海某中學(xué)從40名學(xué)生中選1人作為上海男籃啦啦隊的成員，采

用下面兩種選法，則抽簽法的序號是.

①將這40名學(xué)生從1?40進(jìn)行編號，相應(yīng)地制作1?40的40個號簽，把這

40個號簽放在一個暗箱中攪勻，然后隨機地從中抽取1個號簽，與這個號簽編

號一致的學(xué)生幸運入選；

②將39個白球與1個紅球(球除顏色外，其他完全相同)混合放在一個暗箱

中攪勻，讓40名學(xué)生逐一從中摸取一球，摸到紅球的學(xué)生成為啦啦隊成員.

(2)在社區(qū)公益活動中，某單位共有50名志愿者參與了報名，現(xiàn)要從中隨機

抽出6人參加一項活動，請用抽簽法進(jìn)行抽樣，并寫出過程.

［解析］(1)①滿足抽簽法的特征，是抽簽法；②不是抽簽法，因為抽簽法

要求所有的號簽編號互不相同，而②中39個白球無法相互區(qū)分.

(2)第一步，將50名志愿者編號，號碼依次為1,2,3,…，50；

第二步，將號碼分別寫在大小、形狀、質(zhì)地都相同的紙條上，揉成團，制成

號簽；

第三步，將所有號簽放入一個不透明的箱子中，攪拌均勻；

第四步，一次取出1個號簽，連取6次(不放回抽取)，并記錄其編號；

第五步，將對應(yīng)編號的志愿者選出即可.

［答案］⑴①(2)見解析

【解題技巧】抽簽法的五個步驟

____4給總體中所有的個體編號

編號—(號碼可以從1到N)_________

廠H、將1~%這7個號碼寫在形狀、大小、

電怨、質(zhì)地都相同的號簽上___________

LL,將號簽放在一個不透明的容器中，

I攪拌一攪拌均勻

，一每次從容器中不放回地抽取一個號

何甜簽.并記短算編號,連續(xù)抽取n次

從總體中，將與抽到的號簽編號一

取樣懺致的個體取由________________

【跟蹤訓(xùn)練】

從20架鋼琴中抽取5架進(jìn)行質(zhì)量檢查，請用抽簽法確定這5架鋼琴.

解第一步，將20架鋼琴編號，號碼是01,02,…，20.

第二步，將號碼分別寫在相同的紙條上，揉成團，制成號簽.

第三步，將得到的號簽放入一個不透明的袋子中，并充分?jǐn)噭?

第四步，從袋子中逐個不放回地抽取5個號簽，并記錄上面的編號.

第五步，所得號碼對應(yīng)的5架鋼琴就是要進(jìn)行質(zhì)量檢查的對象.

題型三用隨機數(shù)法抽取樣本

例3(1)要考察某種品牌的850顆種子的發(fā)芽率，從中抽取50顆種子進(jìn)行

實驗，利用隨機數(shù)表法抽取種子，先將850顆種子按001,002,…，850進(jìn)行編

號，如果從隨機數(shù)表第3行第6列的數(shù)開始向右讀，請依次寫出最先檢驗的4

顆種子的編號：.(下面抽取了隨機數(shù)表第1行至第8行)

03474373863696473661469863716233261680456011141095

97742467624281145720425332373227073607512451798973

16766227665650267107329079785313553858598897541410

12568599269696682731050372931557121014218826498176

55595635643854824622316243099006184432532383013030

16227794394954435482173793237887352096438426349164

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695556719981050717512867358074439523879

(2)現(xiàn)有一批零件,其編號為600,601,602,999.利用原有的編號從中

抽取一個容量為10的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢查，若用信息技術(shù)生成隨機數(shù)法，怎樣設(shè)

計方案？

［解析］(1)從隨機數(shù)表第3行第6列的數(shù)2開始向右讀，第一個小于850

的數(shù)字是227,第二個數(shù)字是665,第三個數(shù)字是650,第四個數(shù)字是267,符合

題意.

(2)用計算器生成隨機數(shù)，第一步，進(jìn)入計算器的計算模式，調(diào)出生成隨機

數(shù)的函數(shù)并設(shè)置參數(shù)；

第二步，按“=”鍵生成一個符合條件的隨機數(shù)，繼續(xù)重復(fù)按鍵，生

成多個隨機數(shù)，如果生成的隨機數(shù)重復(fù)，則跳過去不讀，直到產(chǎn)生10個沒有重

復(fù)的隨機數(shù)為止；

第三步，以上10個號碼對應(yīng)的10個零件就是要抽取的對象.(答案不唯一)

［答案］(1)227,665,650,267(2)見解析

【解題技巧】利用隨機數(shù)表法抽樣時應(yīng)注意的問題

(1)編號要求位數(shù)相同，若不相同需先調(diào)整到一致后再進(jìn)行抽樣，如當(dāng)總體

中有100個個體時，為了操作簡便可以選擇從00開始編號，那么所有個體的號

碼都用兩位數(shù)字表示即可，從00?99號.如果選擇從001開始編號那么所有個

體的號碼都必須用三位數(shù)字表示，即從001?100.很明顯每次讀兩個數(shù)字要比讀

三個數(shù)字節(jié)省時間.

(2)第一個數(shù)字的抽取是隨機的.

(3)當(dāng)隨機數(shù)選定，開始讀數(shù)時，讀數(shù)的方向可左、可右、可上、可下，但

應(yīng)是事先定好的.

(4)讀數(shù)不在總體編號內(nèi)的和已取出的不算，依次下去，直至得到容量為〃

的樣本.

【跟蹤訓(xùn)練】

⑴總體由編號為01,02,…，19,20的20個個體組成.利用下面的隨機數(shù)

表選取5個個體，選取方法：從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左

到右一次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為()

78166572080263140702436997280198

3.2.0.4...9..2.3.4...4..9.3.5....8.2..0.0...3..6..23....4.8..69....6.9.3.8...7.4.8..1...”

A.08B.07

C.02D.01

(2)某合資企業(yè)有3000名職工，要從中隨機抽出200人去參觀學(xué)習(xí).請用信

息技術(shù)生成隨機數(shù)法進(jìn)行抽取，并寫出過程.

答案(DD(2)見解析

解析(1)從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取

兩個數(shù)字開始向右讀，第一個數(shù)為65,不符合條件，第二個數(shù)為72,不符合條

件，第三個數(shù)為08,符合條件，以下符合條件的數(shù)依次為02,14,07,01,故第5

個數(shù)為01.故選D.

(2)第一步,將3000名職工依次編號為1,2,3,…，3000；

第二步，用電子表格軟件生成隨機數(shù)，在電子表格軟件的任一單元格中，輸

入“=RANDBETWEEN(1,3000)”，則生成一個1?3000范圍內(nèi)的整數(shù)隨機數(shù)；

第三步，利用電子表格軟件的自動填充功能得到200個沒有重復(fù)的隨機數(shù)；

第四步，這200個號碼應(yīng)應(yīng)的200名職工就是要抽取的職工.

題型四用樣本均值估計總體均值

例4某燈泡廠為測量一批燈泡的使用壽命，從中隨機抽查了20只燈泡，

它們的使用壽命變量值(單位：h)如下所示：

624847120569818452457618132519082426

20182248246525769877371628199825432007

則由這些樣本觀測數(shù)據(jù)，估計這批燈泡的平均使用壽命是多少？

［解］抽出的20只燈泡的使用壽命組成一個樣本，可以用樣本的平均使用

壽命來估計這批燈泡的平均使用壽命.

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可得樣本的均值為1658h.

因此，可以估計這批燈泡的平均使用壽命大約是1658h.

【解題技巧】

(1)計算數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)，需理解組中值的意義和數(shù)據(jù)“權(quán)數(shù)”的意義.

(2)用樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)，體現(xiàn)了重要的統(tǒng)計思想.

【跟蹤訓(xùn)練】

為了解一批輪胎的性能，汽車制造廠從這批輪胎中隨機抽取了8個進(jìn)行測試,

每個輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程數(shù)(單位：1000km)為:96,112,97,108,100,103,86,98.

則估計這批輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程數(shù)的平均數(shù)為()

A.100B.99

C.98D.97

答案A

解析用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)，得這批輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程數(shù)的平均

數(shù)約為

96+112+97+108+1004-103+86+98

---------------------------------------------------=100.

8

【課堂達(dá)訓(xùn)練】

1.為了檢查一批光盤的質(zhì)量，從中抽取了500張進(jìn)行檢測，則這個問題中

樣本量是（）

A.500張光盤B.500

C.500張光盤的質(zhì)量D.這批光盤

答案B

解析樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本量，故這個問題中洋本量是500.故選

B.

2.下列抽樣方法是簡單隨機抽樣的是（）

A.從100個學(xué)生家長中一次性隨機抽取10人做家訪

B.從38本教輔參考資粒中選取內(nèi)容講解較好的3本作為教學(xué)參考

C.從自然數(shù)集中一次性抽取20個進(jìn)行奇偶性分析

D.某參會人員從最后一排20個座位中隨機選擇一個坐下

答案D

解析A不是簡單隨機抽樣，因為是“一次性”抽取;B不是簡單隨機抽樣，

因為每個個體被抽到的概率不相等；C不是簡單隨機抽樣，因為是“一次性”抽

取，且“總體容量無限”.D是簡單隨機抽樣.

3.從52名學(xué)生中選取5名學(xué)生參加“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽，若采用簡

單隨機抽樣抽取，則每人入選的可能性（）

A.都相等，且為看B.都相等，且為J

1U

5

C.都相等，且為GD.都不相等

答案C

解析對于簡單隨機抽樣，在抽樣過程中每一個個體被抽取的機會都相等

（隨機抽樣的等可能性）.若樣本容量為〃，總體的個體數(shù)為M則用簡單隨機抽

樣時，每一個個體被抽到的可能性都是￡體現(xiàn)了這種抽樣方法的客觀性和公平

性.因此每人入選的可能性都相等，且為與.

4.從某批零件中抽取50個，然后再從50個中抽出40個進(jìn)行合格檢查，發(fā)

現(xiàn)合格品有36個，則該產(chǎn)品的合格率約為()

A.36%B.72%

C.90%D.25%

答案C

36

解析—X100%=90%.

5.為了調(diào)查某班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)所需的時間，在該班隨機抽查了8

名學(xué)生，他們每天完成家庭作業(yè)所需時間(單位：分鐘)分別為

60,55,75,55,55,43,65,40.

(1)求這組樣本觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

(2)估計該班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)的平均時間，按照學(xué)校要求，學(xué)生每天

完成家庭作業(yè)所需的平均時間不能超過G0分鐘，該班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)的

平均時間是否符合學(xué)校的要求？

解(1)這組樣本觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為)x(60+55+75+55+55+43+65+

O

40)=56.

(2)由樣本平均數(shù)，估計該班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)的平均時間為56分鐘.

???56<60,???該班學(xué)生每天完成家庭作業(yè)的平均時間符合學(xué)校的要求.

9.1.2分層隨機抽樣

9.1.3獲取數(shù)據(jù)的途徑

【基礎(chǔ)知識拓展】

1.分層隨機抽樣的特點

由于層與層之間有明顯的區(qū)別，而層內(nèi)個體間的差異不明顯，在抽取樣本時,

一般在每層抽樣時隨機抽樣，以保證公平、公正，在實際操作時，應(yīng)先計算抽樣

比仁需嚷T然后再計算每層需要抽取的個數(shù)：抽樣比x該層個體數(shù)目=

部樣本最量x該層個體數(shù)目.

2.分層隨機抽樣的適用條件

分層隨機抽樣盡量利用事先所掌握的各種信息，并充分考慮保持樣本結(jié)構(gòu)與

總體結(jié)構(gòu)的一致性，這對提高樣本的代表性非常重要.當(dāng)總體是由差異明顯的幾

個部分組成時，往往選用分層隨機抽樣的方法.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)在分層隨機抽樣中，每層被抽到的個體數(shù)是一樣的.()

(2)分層隨機抽樣中每個個體被抽到的可能性不一樣.()

(3)樣本平均數(shù)一定大于總體平均數(shù).()

答案⑴X(2)X(3)X

2.做一做

(1)為調(diào)查某班學(xué)生的平均身高，從50名學(xué)生中抽取5名，因為男生的身

高和女生的身高有顯著不同，所以獲取樣本時宜采用________抽樣.

(2)一個班共有54人，其中男女人數(shù)比為5：4,若抽取9人參加教改調(diào)查

會，則應(yīng)抽取男同學(xué)人.

(3)已知數(shù)據(jù)心如四，豆的平均數(shù)為2,則數(shù)據(jù)3即3&3感3否的平均數(shù)是

答案(1)分層隨機⑵5(3)6

【核心素養(yǎng)形成】

題型一分層隨機抽樣的概念

例1(1)某政府機關(guān)在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般

干部70人，工人20人，上級部門為了了解該機關(guān)對政府機構(gòu)改革的意見，要從

中抽取20人，用下列哪種方法最合適()

A.抽簽法B.簡單隨機抽樣法

C.分層隨機抽樣法D.隨機數(shù)法

(2)分層隨機抽樣又稱類型隨機抽樣，即將相似的個體歸入一類(層)，然后

每類抽取若干個個體構(gòu)成樣本，若分層隨機抽樣要保證每個人體等可能抽樣，必

須進(jìn)行()

A.每層等可能抽樣

B.每層可以不等可能抽樣

C.所有層按同一抽樣比等可能抽樣

D.所有層抽取個體數(shù)量相同

［解析］(1)總體由差異明顯的三部分構(gòu)成，應(yīng)選用分層隨機抽樣法.

(2)保證每個個體等可能的被抽取是簡單隨機抽樣和比例分配的分層隨機抽

樣的共同特征，為了保證這一點，分層隨機抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比

等可能抽取.

［答案］(DC(2)C

【解題技巧】使用分層隨機抽樣的原則

(1)將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，

即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則.

(2)比例分配的分層隨機油樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中

進(jìn)行簡單隨機抽樣，使每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比.

【跟蹤訓(xùn)練】

下列問題中，最適合用分層隨機抽樣方法抽樣的是()

A.某電影院有32排座位，每排有40個座位，座位號是1?40.有一次報告

會坐滿了聽眾，報告會結(jié)束以后為聽取意見，要留下32名聽眾進(jìn)行座談

B.從10臺冰箱中抽出3臺進(jìn)行質(zhì)量檢查

C.某鄉(xiāng)農(nóng)田有山地8000畝，丘陵12000畝，平地24000畝，洼地4000畝，

現(xiàn)抽取農(nóng)田480畝估計全鄉(xiāng)農(nóng)田平均產(chǎn)量

D.從50個零件中抽取5個做質(zhì)量檢驗

答案C

解析A的個體沒有呈現(xiàn)出較大差異，不適合用分層隨機抽樣法；B的總體

容量較小，用簡單隨機抽樣法比較方便；C總體容量較大，巨各類田地的產(chǎn)量差

別很大，宜采用分層隨機抽樣方法；D與B類似.

題型二分層隨機抽樣的應(yīng)用

例2一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的

有280人，50歲及50歲以上的有95人，為了了解這個單位職工與身體狀態(tài)有

關(guān)的某項指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本，若職工年齡與這項指標(biāo)有關(guān),

應(yīng)該怎樣抽取?

［解］用比例分配的分層隨機抽樣來抽取樣本，步驟如下：

(1)分層.按年齡將500名職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲

的職工；50歲及50歲以上的職工.

(2)確定每層抽取個體的個數(shù).抽樣比為例=:，則在不到35歲的職工中抽

5005

取125X2=25(人)；

5

在35歲至49歲的職工中抽取280Xg=56(人)；

在50歲及50歲以上的職工中抽取95x1=19(人).

□

(3)在各層分別按隨機數(shù)法抽取樣本.

(4)匯總每層抽樣，組成樣本.

【解題技巧】利用比例分配的分層隨機抽樣抽取樣本的操作步驟

【跟蹤訓(xùn)練】

某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對某一節(jié)目的喜愛程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的總

人數(shù)為12000人，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下表所示：

很喜愛喜愛一般不喜愛

2435456739261072

電視臺為了進(jìn)一步了解觀眾的具體想法和意見，打算從中再抽取60人進(jìn)行

更為詳細(xì)的調(diào)查，應(yīng)怎樣進(jìn)行抽樣?

解采用比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽樣比為赤而;=訴.

JL乙UUU乙UU

“很喜愛”的有2435人，應(yīng)抽取2435X熹七12（人）；

乙UU

“喜愛”的有4567人，應(yīng)抽取4567X焉A23（人）；

“一般”的有3926人，應(yīng)抽取3926X焉-20（人）；

“不喜愛”的有1072人，應(yīng)抽取1072X熹比5（人）.

乙UU

因此，采用分層隨機抽樣的方法在“很喜愛”“喜愛”“一般”“不喜愛”

的人中應(yīng)分別抽取12人、23人、20人、5人.

題型三分層隨機抽樣的綜合應(yīng)用

例3某校高一年級有24個班，共1000名學(xué)生，他們參加了一次數(shù)學(xué)測

試.學(xué)校統(tǒng)計了所有學(xué)生的成績，得到下列統(tǒng)計圖.

某校離?年級男女生某校高?年級數(shù)學(xué)泅試男

的人數(shù)分布扇形圖女生成績的平均數(shù)條形圖

（1）求該校高一年級學(xué)生本次測試成績的平均數(shù).

（2）假設(shè)要抽取300名學(xué)生，按照比例分配的分層隨機抽樣的方法，應(yīng)抽取

男生多少名？女生多少名？

［解］（1）由題意并結(jié)合扇形統(tǒng)計圖，可知男生共有1000X60%=600（名），

女生共有1000X40%=400（名）.由成績的平均數(shù)條形圖可得，該校高一年級學(xué)

生本次測試成績的平均數(shù)三=（80X600+82.5X400）?1000=81（分）.

（2）抽取300名學(xué)生，采用比例分配的分層隨機抽樣的方法，則男生應(yīng)抽取

600X儒=180（名），女生應(yīng)抽取400X湍=120（名）.

【解題技巧】

(1)解決統(tǒng)計問題要做好數(shù)據(jù)的處理和數(shù)據(jù)的分析.

(2)條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)，扇形統(tǒng)計圖直接反映部分

在總體的百分比大小.

■跟蹤訓(xùn)練3

有4萬個不小于70的兩位數(shù)，從中隨機抽取了3000個數(shù)，統(tǒng)計如下表：

數(shù)據(jù)X70<K7980<X8990〈水99

個數(shù)8001300900

平均數(shù)78.18591.9

請根據(jù)表格中的信息，估計這4萬個數(shù)的平均數(shù)約為()

A.92.16B.85.23

C.84.73D.77.97

答案B

解析這3000個數(shù)的平均數(shù)為：

78.1X800+85X1300+91.9X900”“

標(biāo)5=85.23,

于是用樣本的平均數(shù)去估計總體的平均數(shù)，則這4萬個數(shù)的平均數(shù)約為

85.23.

題型四獲取數(shù)據(jù)的途徑

例4簡單設(shè)計一份問卷，調(diào)查學(xué)生對高一各學(xué)科的態(tài)度.

［解］請按自己的感受把下面這些學(xué)科的序號填在空格里.

①語文②數(shù)學(xué)③外語④物理⑤化學(xué)⑥生物⑦歷史⑧地理

⑨政治⑩體育?藝術(shù)(音樂、美術(shù))?技術(shù)

我喜歡的學(xué)科

我感覺壓力最大的學(xué)科

我不喜歡的學(xué)科

我覺得有用的學(xué)科

我覺得內(nèi)容多的學(xué)科

我覺得內(nèi)容少的學(xué)科

【解題技巧】調(diào)查問卷中問題設(shè)計的要求

(1)問卷中的問題必須設(shè)計詳細(xì)，以便被調(diào)查者順利回答.

(2)把比較容易的，不涉及個人的問題排在比較靠前的位置，較難的、涉及

個人的問題放在后面.

【跟蹤訓(xùn)練】

為調(diào)查小區(qū)平均每戶居民的月用水量，下面是三名同學(xué)設(shè)計的方案：

學(xué)生甲：我把這個用水量調(diào)查表放在互聯(lián)網(wǎng)上，只要登陸網(wǎng)站的人就可以看

到這張表，他們填的表可以很快地反饋到我的電腦中，這樣就可以很快估算出小

區(qū)平均每戶居民的月用水量；

學(xué)生乙：我給我們居民小區(qū)的每一個住戶發(fā)一張用水調(diào)查表，只要一兩天就

可以統(tǒng)計出小區(qū)平均每戶居民的月用水量；

學(xué)生丙：我在小區(qū)的電話號碼本上隨機地選出一定數(shù)量的電話號碼，然后逐

個給這些住戶打電話，問一下他們的月用水量，然后就可以估算出小區(qū)平均每戶

居民的月用水量.

請問：這三位同學(xué)設(shè)計的方案中哪一個較合理？你有何建議？

解學(xué)生甲的方法得到的樣本只能夠反映上網(wǎng)居民的用水情況，它是一種方

便樣本，所得到的樣本代表性差，不能很準(zhǔn)確地獲得平均每戶居民的月用水量.

學(xué)生乙的方法實際上是普查，花費的人力、物力更多一些，但是如果統(tǒng)計過

程不出錯，就可以準(zhǔn)確地得到平均每戶居民的月用水量.

學(xué)生丙的方法是一種隨機抽樣的方法，所在小區(qū)的每戶居民都裝有電話的情

況下，建議用隨機抽樣方法獲得數(shù)據(jù)，用學(xué)生丙的方法，既節(jié)省人力、物力，又

可以得到比較精確的結(jié)果.

【課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】

1.某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康狀

況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查.這種抽樣方法

是()

A.簡單隨機抽樣B.抽簽法

C.隨機數(shù)法D.分層隨機抽樣

答案D

解析從男生500人中抽取25人，從女生400人中抽取20人，抽取的比例

相同，因此用的是分層隨機抽樣，且樣本量的分配方式為比例分配.

2.對一個容量為/V的總體抽取容量為〃的樣本，當(dāng)選取簡單隨機抽樣和比

例分配的分層隨機抽樣兩種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率

分別為4,斗貝4（）

A.P）P2B.PKP?

C.P\=P?D.無法確定

答案C

解析簡單隨機抽樣和比例分配的分層隨機抽樣都是等可能抽樣，每個個體

被抽中的概率均談

3.甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計

三校學(xué)生某方面的情況，計劃采用比例分配的分層隨機抽樣法抽取一個容量為

90的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生（)

A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人

C.20人，30人，10人D.30人，50人，10人

答案B

901

解析先求抽樣比彳=3600+5400+180。―120,再各層按抽樣比分別抽取,

則甲校抽取3600義念=301人），乙校抽取5400X焉=45（人），丙校抽取

1800X焉=15（人），故選B.

JL乙U

4.某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用比例

分配的分層隨機抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300

的樣本進(jìn)行調(diào)查，己知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比

為4：5：5：6,則應(yīng)從一年級本科生中抽取名學(xué)生.

答案60

4

解析根據(jù)題意，應(yīng)從一年級本科生中抽取的人數(shù)為而即X300=60.

5.某校500名學(xué)生中，0型血有200人，A型血有125人，B型血有125人,

AB型血有50人，為了研究血型與色弱的關(guān)系，需從中抽取一個容量為20的樣

本.按照比例分配的分層隨機抽樣方法抽取樣本，各種血型的人分別抽多少？

解用比例分配的分層隨機抽樣方法抽樣.

201111

V^0=^??200X-=8,125X-=5,50X-=2.

故0型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人.

9.2用樣本估計總體

9.2.1總體取值規(guī)律的估計

【基礎(chǔ)知識拓展】

1.頻率分布直方圖能夠直觀、形象地反映樣本的分布規(guī)律，可以大致估計

出總體的分布，但是從頻率分布直方圖中得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)繪制成

頻率分布直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.在頻率分布直方圖中，由

頻率

于長方形的面積5=組距乂就=頻率，所以各個小長方形的面積表示相應(yīng)各組

的頻率，這樣頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)在各個小組的頻率的大

小，各個小長方形的面積總和等于1.

2.一般地，樣本量越大，這種估計就越精確,總體估計要掌握：（1）“表”（頻

率分布表）；（2）“圖”（頻率分布直方圖）.

提醒：直方圖的縱軸（小長方形的高）一般是頻率除以組距的商，橫軸一般是

數(shù)據(jù)的大小，小長方形的面積表示頻率.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.判一判（正確的打7：錯誤的打“X”）

（1）頻率分布直方圖的縱軸表示頻率.（）

（2）數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小亙組蒜頻看數(shù)趙來表示.（）

（3）頻率分布直方圖把樣本數(shù)據(jù)落在各小組的比例大小直觀化，更有利于我

們從整體上把握數(shù)據(jù)分布的特點.（）

答案⑴X（2）V（3）V

2.做一做

⑴將容量為100的樣本數(shù)據(jù)分為8個組，如下表:

組號12345678

頻數(shù)1013X141513129

則第3組的頻率為()

A.0.03B.0.07

C.0.14D.0.21

(2)一個容量為〃的樣本，分成若干組，已知某組的頻率和頻數(shù)分別為0.125

和40,則〃的值為()

A.640B.320

C.240D.160

(3)一個容量為20的樣本，分組后，組距與頻數(shù)如下：[10,20),2；[20,30),

3；[30,40),4；[40,50),5；[50,60),4；[60,70],2,則樣本在[10,50)上的

頻率為()

(4)為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長

(單位：cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在

抽測的60株樹木中，有株樹木的底部周長小于100cm.

順率/組距

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

8090100110120130

答案(1)C(2)B(3)D(4)24

【核心素養(yǎng)形成】

題型一頻率分布直方圖的畫法

例1從某校高一年級1002名新生中隨機抽取一個容量為100的身高樣本,

數(shù)據(jù)如下(單位：cm),試作出該樣本的頻率分布表和頻率分布直方圖.

168165171167170165170152175174

165170168169171166164155164158

170155166158155160160164156162

160170168164174171165179163172

180174168164174171165179163169

151168158168176155165165169162

177158175165169151163166163167

178165158170169159155163153155

167163164158168167161162167168

161165174156167166162161164166

［解］(1)在全部數(shù)據(jù)中發(fā)出最大值180,最小值151,計算極差=180—151

=29.

9Q

(2)取組距為3,則組數(shù)為w■能10.

(3)從第一組［150.5,153.5)開始，統(tǒng)計出各組的頻數(shù)，再計算各組的頻率,

并將結(jié)果填入下表：

分組頻數(shù)統(tǒng)計頻數(shù)頻率

[150.5,153.5)iF40.04

[153.5,156.5)正下80.08

[156.5,159.5)正T70.07

口59.5,162.5)正正100.10

[162.5,165.5)正正正正下230.23

[165.5,168.5)正正正正190.19

[168.5,171.5)正正正150.15

[171.5,174.5)正一60.06

[174.5,177.5)iF40.04

[177.5,180.5]iF40.04

合計1001

頻率分布直方圖如圖.

()(6.)7

06

605

S()4

S()3

S02

0|

6。

身商/cm

【解題技巧】繪制頻率分布直方圖的注意事項

(1)計算極差，需要找出這組數(shù)的最大值和最小值，當(dāng)數(shù)據(jù)很多時，可選一

個數(shù)當(dāng)參照.

(2)將一批數(shù)據(jù)分組，目的是要描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律，要根據(jù)數(shù)據(jù)多少來確定

分組數(shù)目，一般來說，數(shù)據(jù)越多，分組越多.

(3)將數(shù)據(jù)分組，決定分點時，一般使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第一

組的起點稍微減小一點.

(4)列頻率分布表時，可通過逐一判斷各個數(shù)據(jù)落在哪個小組內(nèi)，以“正”

字確定各個小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù).

(5)畫頻率分布直方圖時，縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值，一定不能標(biāo)成頻

率.

【跟蹤訓(xùn)練】

美國歷屆總統(tǒng)中，就任時年齡最小的是羅斯福，他于1901年就任，當(dāng)時年

僅42歲；就任時年齡最大的是特朗普，他于2016年就任，當(dāng)時70歲.下面按

時間順序(從1789年的華盛頓到2016年的特朗普，共45佳)給出了歷屈美國總

統(tǒng)就任時的年齡：

57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,

52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,

54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,47,70.

(D將數(shù)據(jù)分為7組，列出頻率分布表，并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖；

(2)用自己的語言描述一下歷屆美國總統(tǒng)就任時年齡的分布情況.

解(1)以4為組距，列頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

[42,46)20.0444

[46,50)70.1555

[50,54)80.1778

[54,58)160.3556

[58,62)50.1111

[62,66)40.0889

[66,70]30.0667

合計451.0000

畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖，如圖所示.

(2)從頻率分布表中可以看出，將近60%的美國總統(tǒng)就任時的年齡在50歲至

60歲之間，45歲及45歲以下和65歲以上就任的總統(tǒng)所占的比例相對較小.

題型二頻率分布直方圖的應(yīng)用

例2為了迎接某市作為全國文明城市的復(fù)查，愛衛(wèi)會隨機抽取了60位路

人進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查項目是自己對該市各方面衛(wèi)生情況的滿意度(假設(shè)被問卷

的路人回答是客觀的)，以分?jǐn)?shù)表示問卷結(jié)果，并統(tǒng)計他們的問卷分?jǐn)?shù)，把其中

不低于50分的分成五段：［50,60),［60,70),…，［90,100］后畫出如圖所示的

部分頻率分布直方圖，觀察圖形信息，回答下列問題：

(1)求出問卷調(diào)查分?jǐn)?shù)低于50分的被問卷人數(shù);

(2)估計全市市民滿意度在60分及以上的百分比.

［解］(1)因為各組的頻率之和等于1,

故低于50分的頻率為

f=l-(0.015X2+0.030+0.025+0.005)X10=0.1,故低于50分的人數(shù)

為60X0.1=6.

(2)依題意，60分及以上的頻率和為

(0.015+0.030+0.025-F0.005)X10=0.75,

所以抽樣滿意度在60分及以上的百分比為75%.

于是，可以估計全市市民滿意度在60分及以上的百分比為75%.

【解題技巧】頻率分布直方圖的應(yīng)用

頻率分布指的是一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小，一般用頻率

分布直方圖反映樣本的頻率分布，其中：

(D頻率分布直方圖中縱地表示頻畚率點；

(2)頻率分布直方圖中，各個小長方形的面積等于頻率，各個小長方形的面

積之和為1;

(3)長方形的高的比也就是頻率之比.

【跟蹤訓(xùn)練】

從某小學(xué)隨機抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率

分布直方圖(如圖所示)，由圖中數(shù)據(jù)可知a=.若要從身高在［120,130),

［130,140),［140,150］三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項

活動，則從身高在［140,150］內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為.

答案0.0303

解析因為頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1,所以10X(0.005

+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.由圖可知身高在［120,150］內(nèi)

的學(xué)生人數(shù)為100X10X(0.030+0.020+0.010)=60,其中身高在［140,150］內(nèi)

的學(xué)生人數(shù)為10,所以從身高在［140,150］內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為三;X10=3.

題型三統(tǒng)計圖表的應(yīng)用

例3某省有關(guān)部門要求各中小學(xué)要把“每天鍛煉一小時”寫入課程表，為

了響應(yīng)這一號召，某校圍繞著“你最喜歡的體育活動項目是什么？(只寫一項)”

的問題，對在校學(xué)生進(jìn)行了隨機抽樣調(diào)查，從而得到一組數(shù)據(jù).圖1是根據(jù)這組

數(shù)據(jù)繪制的柱形圖.請結(jié)合柱形圖回答下列問題：

(1)該校對多少名學(xué)生進(jìn)號了抽樣調(diào)查？

(2)本次抽樣調(diào)查中，最喜歡籃球活動的有多少人？占被調(diào)查人數(shù)的百分比

是多少？

圖2

(3)若該校九年級共有200名學(xué)生，圖2是根據(jù)各年級學(xué)生人數(shù)占全校學(xué)生

總?cè)藬?shù)的百分比繪制的扇形圖，請你估計全校學(xué)生中最喜歡跳繩活動的人數(shù)約為

多少？

［解］(1)由圖1知4+8+10+18+10=50(名)，所以該校對50名學(xué)生進(jìn)

行了抽樣調(diào)查.

1O

(2)本次調(diào)查中，最喜