4.2 角（12大題型提分練）2024-2025學年七年級數(shù)學上冊同步課堂（北師大版2024）

第第頁（北師大版）七年級上冊數(shù)學《第4章基本平面圖形》4.2角知識點一知識點一角的概念、表示方法◆1、角的概念：靜態(tài)定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形，叫做角.動態(tài)定義：如圖（1）角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.①如圖（2），當射線旋轉(zhuǎn)到起始位置OA與終止位置OB在一條直線上時，形成平角；②如圖（3），繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB與OA重合時，又形成周角；◆2、角的表示方法：角的幾何符號為“∠”，角的表示方法有以下四種：∠AOB∠O）∠1∠α表示方法溫馨提示用三個大寫表示頂點的在中間.用一個大寫一個.用一個阿拉伯弧線，用一個小寫希臘弧線，知識點二知識點二角的度量單位及換算方法◆1、角的度量單位是：度、分、秒.我們常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量單位.把一個周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，記作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1″.◆2、角度制：以度、分、秒為單位的角的度量制.◆3、平角與周角的概念平角：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn),當終邊與始邊成一條直線時,所成的角叫作平角；周角：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn),當終邊與始邊重合時,所成的角叫作周角.1周角＝360°1平角＝180°◆4、度、分、秒是角的基本度量單位，它們的換算關系如下：160′1′＝60″1″＝知識點三知識點三角的比較與運算◆1、角的比較有兩種方法：方法一：度量法，測量度數(shù)大的那個角就大，反之，度數(shù)小的那個角就小.方法二：疊合法：利用尺規(guī)作圖把其中的一條邊重合，通過觀察另一條邊的位置作比較①若邊OB在內(nèi)部，則∠AOB＜∠A'O'B'②若邊OB與重合，則∠AOB＝∠A'O'B'③若邊OB在外部，則∠AOB＞∠A'O'B'◆2、角的平分線：一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.因為OC是∠AOB的平分線，所以∠AOC＝∠BOC＝12◆3、角的和、差∠AOC是∠AOB與∠BOC的和，記作∠AOC=∠AOB+∠BOC；∠AOB是∠AOC與∠BOC的差，記作∠AOB=∠AOC－∠BOC；類似地，∠AOC－∠AOB=∠AOC知識點四知識點四用尺規(guī)作一個角等于已知角◆作一個角等于已知角.已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.題型一角的定義及角的表示方法解題技巧提煉（1）角的定義：有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．（2）角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．角還可以用一個希臘字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯數(shù)字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當始邊與終邊成一條直線時形成平角，當始邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時，形成周角．1．（2023春?肥城市期中）如圖所示，下列說法錯誤的是（）A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示 C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示【分析】根據(jù)角的表示方法進行判斷．【解答】解：A、∠DAO可用∠DAC表示，本選項說法正確；B、∠COB不能用∠O表示，本選項說法錯誤；C、∠2也可用∠OBC表示，本選項說法正確；D、∠CDB也可用∠1表示，本選項說法正確；故選：B．【點評】本題考查的是角的概念，角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．2．（2024春?聊城月考）下列說法中正確的是（）A．直線是平角 B．角的大小與角的兩邊長有關 C．角的兩邊是兩條射線 D．用放大鏡看一個角，角的度數(shù)變大了【分析】分析題意，根據(jù)“有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角”即可判斷A、C選項的正誤；放大鏡是將物體整體放大，但不改變角的大??；角的大小只與它的兩邊張開的大小有關據(jù)此解答．【解答】解：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故A錯誤，不符合題意，C正確，符合題意；角的大小與邊的長短無關，只與它的兩邊張開的大小有關，故B錯誤，不符合題意；放大鏡是將物體整體放大，所以不改變角的大小，故D錯誤，不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了角的概念，關鍵是角的概念的熟練應用．3．下列關于角的說法中，正確的個數(shù)為（）①兩條有公共點的射線組成的圖形叫做角；②角是由一個端點引出的兩條射線所組成的圖形；③兩條射線，它們的端點重合時，可以形成角；④角的大小與邊的長短有關．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】首先正確理解角的概念：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，注意不要忽略“公共端點”，還應注意角的大小與邊的長短無關，與度數(shù)的大小一致；然后結合角的定義的理解，對選項進行一一分析，排除錯誤答案即可．【解答】解：角是由有公共端點的兩條射線所構成的圖形，故①③正確，②錯誤；角的大小與邊的長短無關，只與兩條邊張開的角度有關，故④錯誤．故選：C．【點評】本題主要考查的是角的知識，熟練掌握角的定義是解題的關鍵．4．（2023秋?晉江市期末）如圖，下列說法不正確的是（）A．∠BAC和∠DAE是同一個角 B．∠ABC和∠ACB不是同一個角 C．∠ABC可以用∠B表示 D．∠AED可以用∠E表示【分析】根據(jù)角的定義解答即可．【解答】解：A、∠BAC和∠DAE是同一個角，正確，不合題意；B、∠ABC和∠ACB不是同一個角，正確，不合題意；C、∠ABC可以用∠B表示，正確，不合題意；D、∠AED可不以用∠E表示，不正確，符合題意；故選：D．【點評】此題考查的是角的定義，有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．5．（2023秋?唐縣期末）下列四個圖中，能用∠1、∠AOB、∠O三種方法表示同一個角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)角的表示方法和圖形選出即可．【解答】解：A、圖中的∠AOB不能用∠O表示，故本選項錯誤；B、圖中的∠1和∠AOB不是表示同一個角，故本選項錯誤；C、圖中的∠1和∠AOB不是表示同一個角，故本選項錯誤；D、圖中∠1、∠AOB、∠O表示同一個角，故本選項正確；故選：D．【點評】本題考查了角的表示方法的應用，主要考查學生的理解能力和觀察圖形的能力．6．（2024春?淄川區(qū)期末）下列圖中的∠1也可以用∠O表示的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)頂點只有一個角時可用一個大寫字母表示角，所以可判定答案．【解答】解：選項A：∠1的頂點處只有一個角（小于平角），可用∠O表示，符合題意；選項B：∠1頂點處有三個角（小于平角），不能用∠O表示，不符合題意；選項C：∠1頂點處有2個角（小于平角），不能用∠O表示，不符合題意；選項D：∠1頂點處有4個角（小于平角），不能用∠O表示，不符合題意．故選：A．【點評】此題主要考查了角的概念，關鍵是掌握角的表示方法．題型二角的換算解題技巧提煉角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．1．（2024春?張店區(qū)校級月考）把2.36°用度、分、秒表示，正確的是（）A．2°21′36′′ B．2°18′36′′ C．2°30′50′′ D．2°3′6′′【分析】根據(jù)大單位化小單位除以進率，可得答案．【解答】解：2.36°＝2°+0.36×60′＝2°21′+0.6×60″＝2°21′36″，故選：A．【點評】此題主要考查度、分、秒的轉(zhuǎn)化運算，進行度、分、秒的轉(zhuǎn)化運算，注意以60為進制．2．（2023秋?新樂市期末）若∠α＝5.12°，則∠α用度、分、秒表示為（）A．5°12' B．5°7'12'' C．5°7'2'' D．5°10'2''【分析】利用度分秒之間的換算關系進行計算即可求解．【解答】解：∠α＝5.12°＝5°+0.12×60′＝5°+7′+0.2×60″＝5°7′12″．故選：B．【點評】此題主要考查了度分秒的換算，解題的關鍵是掌握1°＝60′，1′＝60″．3．（2023秋?永年區(qū)期中）下列各式中，正確的是（）A．35.5°＝35°50′ B．15°12′36″＝15.48° C．28°18′18″＝28.33° D．65.25°＝65°15′【分析】按照角的度量單位進行轉(zhuǎn)化即可判斷．【解答】解：A．35.5°＝35°30′，不符合題意；B．15°12′36″＝15.21°，不符合題意；C．28°18′18″＝28.305°，不符合題意；D．65.25°＝65°15′，符合題意；故選：D．【點評】本題考查了角的單位轉(zhuǎn)化，解題關鍵是明確1°＝60′，1′＝60″．4．下列式子中錯誤的是（）A．38.78°＝38°46′48″ B．50°42'＝50.7° C．98°45'+2°35'＝101°20' D．108°18'﹣57°23'＝51°55'【分析】根據(jù)“1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″”進行度分秒的換算和度分秒間的加減計算．【解答】解：A、38.78°＝38°46′48''，計算正確，故本選項不符合題意．B、50°42'＝50.7°，計算正確，故本選項不符題意．C、98°45'+2°35'＝（98°+2°）+（45′+35′）＝100°+80′＝101°20'，計算正確，故本選項不符合題意．D、108°18'﹣57°23'＝（107°﹣57°）+（78′﹣23′）＝50°55'，計算錯誤，故本選項符合題意．故選：D．【點評】考查了度分秒的換算，角的度量單位度、分、秒之間是60進制，將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉(zhuǎn)化為高級單位時除以60．同時，在進行度、分、秒的運算時也應注意借位和進位的方法．5．（2024春?張店區(qū)校級月考）1.16°＝°′″；45°57′18″＝°【分析】度、分、秒之間是60進制，將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉(zhuǎn)化為高級單位時除以60．【解答】解：①∵0.16°＝0.16×60′＝9.6′，0.6′＝0.6×60″＝36″，∴1.16°＝1°9′36″；②∵18″＝18÷60＝0.3′，57.3′＝57.3÷60＝0.955°，∴45°57′18″＝45.955°；故答案為：1，9，36；45.955．【點評】本題考查了度、分、秒之間的換算，掌握相關運算是解題的關鍵．6．計算：（1）8.76°＝°′″；（2）540″＝°．【分析】（1）根據(jù)1°＝60'，1'＝60''進行換算即可；（2）根據(jù)1°＝3600''進行換算即可．【解答】解：（1）0.76°×60＝45.6'，0.6'×60＝36''，所以8.76°＝8°45'36''，故答案為：8，45，36；（2）540''÷3600＝0.15°，故答案為：0.15．【點評】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握單位之間的換算關系是解題的關鍵．題型三角度的運算解題技巧提煉1、度、分、秒的加減運算．在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進位，相減時，要借1化60．2、度、分、秒的乘除運算．①乘法：度、分、秒分別相乘，結果逢60要進位．②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數(shù)化作下一級單位進一步去除．1．（2024春?坊子區(qū)校級月考）計算：（1）47°53′43″+53°47′42″；（2）92°56′3″﹣46°57′54″．【分析】（1）先度分秒分別相加，再根據(jù)滿60進1的原則求出即可；（2）先進行單位的換算，再度分秒分別相減即可．【解答】解：（1）47°53′43″+53°47′42″＝100°100′85″＝101°41′25″；（2）92°56′3″﹣46°57′54″＝91°+115′+63″﹣46°﹣57′﹣54″＝45°+58′+9″＝45°58′9″．【點評】本題考查了度分秒之間的換算，掌握1°＝60′，1′＝60″是解題的關鍵．2．（2023秋?孝南區(qū)期末）計算：（1）48°39'+67°31'；（2）23°53'×2﹣17°43'．【分析】（1）根據(jù)度分秒的進制進行計算，即可解答；（2）根據(jù)度分秒的進制進行計算，即可解答．【解答】解：（1）48°39'+67°31'＝115°70′＝116°10′；（2）23°53'×2﹣17°43'＝46°106′﹣17°43′＝29°63′＝30°3′．【點評】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關鍵．3．（2023春?譙城區(qū)校級期末）計算：（1）89°35'+20°25'（結果用度、分、秒表示）．（2）123°24'﹣60°36'（結果用度表示）．【分析】（1）根據(jù)度分秒的進制進行計算，即可解答；（2）根據(jù)度分秒的進制進行計算，即可解答．【解答】解：（1）89°35'+20°25'＝109°60′＝110°；（2）123°24'﹣60°36'＝123.4°﹣60.6°＝62.8°．【點評】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關鍵．4．如圖，AB是一條直線，如果∠1＝65°15′，∠2＝78°35′，且∠1+∠2+∠3＝180°，求∠3的度數(shù)．【分析】根據(jù)已知條件可得∠3＝180°﹣∠1﹣∠2；接下來將∠1與∠2的度數(shù)，代入計算，即可解答．【解答】解：∵∠1＝65°15′，∠2＝78°35′，且∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣65°15′﹣78°35′＝36°10′．故∠3的度數(shù)是36°10′．【點評】本題側重考查度分秒的換算．掌握度、分、秒之間的進率和計算方法是解題的關鍵．5．（2023秋?羅山縣校級月考）計算：①180°﹣18°15'×6；②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）．【分析】①先計算乘法，再計算減法即可；②先計算除法和括號內(nèi)的減法，再計算減法即可．【解答】解：①180°﹣18°15'×6＝180°﹣109°30'＝70°30'；②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）＝90°﹣（78°36'﹣3°17'30″）＝90°﹣75°18'30″＝14°41'30″．【點評】此類題考查了度、分、秒的換算，是角度計算中的一個難點，注意以60為進制即可．6．計算．（1）56°18'+61°35'（2）19°26'﹣7°33'（3）78°14'+25°46'（4）108°11'5'﹣22°38'26″【分析】利用度分秒的進制，進行計算即可解答．【解答】解：（1）56°18'+61°35'＝117°53'；（2）19°26'﹣7°33'＝18°86'﹣7°33'＝11°53'；（3）78°14'+25°46'＝103°60'＝104°；（4）108°11'5″﹣22°38'26″＝107°70'65″﹣22°38'26″＝85°32'39″．【點評】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關鍵．7．計算：（1）51°37′11″﹣30°30′30″+12°25′40″；（2）13°53′×3﹣32°5′31″．【分析】（1）先進行度、分、秒的除法計算，再算加法．（2）先進行度、分、秒的乘法計算，再算減法．【解答】解：（1）51°37′11″﹣30°30′30″+12°25′40″＝51°37′11″+12°25′40″﹣30°30′30″＝63°62′51″﹣30°30′30″＝33°32′21″；（2）13°53′×3﹣32°5′31″＝39°159′﹣32°5′31″＝7°153′29″．＝9°33′29″．【點評】此類題是進行度、分、秒的混合運算，是角度計算中的一個難點，注意以60為進制即可．計算除法時，度的余數(shù)化為分，分的余數(shù)化為秒再計算．計算乘法時，秒滿60時轉(zhuǎn)化為分，分滿60時轉(zhuǎn)化為度．兩個度數(shù)相加，度與度，分與分對應相加，分的結果若滿60，則轉(zhuǎn)化為度．兩個度數(shù)相減，被減數(shù)可借1°轉(zhuǎn)化為60′，借一分轉(zhuǎn)化為60″，再計算．題型四鐘表中的角度問題解題技巧提煉1、鐘面一周平均分60格，相鄰兩格刻度之間的時間間隔是1分鐘，時針1分鐘走1122、計算鐘面上時針與分針所成角的度數(shù)，一般先從鐘面上找出某一時刻分針與時針所處的位置，確定其夾角，再根據(jù)表面上每一格30°的規(guī)律，計算出分針與時針的夾角的度數(shù)．3、鐘面上的路程問題分針：60分鐘轉(zhuǎn)一圈，每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為：360°÷60＝6°時針：12小時轉(zhuǎn)一圈，每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為：360°÷12÷60＝0.5°．1．（2023秋?梁山縣期末）鐘表8時30分時，時針與分針所成的角的度數(shù)為（）A．110° B．75° C．105° D．90°【分析】根據(jù)時鐘上一大格是30°進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：2×30°+1＝60°+15°＝75°，∴鐘表8時30分時，時針與分針所成的角的度數(shù)為75°．故選：B．【點評】本題考查了鐘面角，熟練掌握時鐘上一大格是30°是解題的關鍵．2．（2023秋?西山區(qū)期末）從下午13：00到當天下午13：30，時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度度數(shù)是（）A．90° B．120° C．180° D．150°【分析】根據(jù)時鐘上一大格是30°進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：6×30°＝180°，∴從下午13：00到當天下午13：30，時鐘的分針轉(zhuǎn)過的角度度數(shù)是180°，故選：C．【點評】本題考查了鐘面角，熟練掌握時鐘上一大格是30°是解題的關鍵．3．（2024春?泰山區(qū)期中）如圖，1時30分的時候，鐘表的時針與分針所組成的小于平角的角的度數(shù)是（）A．120° B．125° C．135° D．150°【分析】根據(jù)時鐘上一大格是30°進行計算，即可解答．【解答】解：由題意得：4.5×30°＝135°，∴1時30分的時候，鐘表的時針與分針所組成的小于平角的角的度數(shù)是135°，故選：C．【點評】本題考查了鐘面角，熟練掌握時鐘上一大格是30°是解題的關鍵．4．（2023秋?烏魯木齊期末）鐘表上的分針和時針經(jīng)過40分鐘，分針和時針旋轉(zhuǎn)的角度分別是（）A．40°和20° B．240°和20° C．240°和40° D．40°和40°【分析】畫出圖形，利用鐘表表盤的特征解答．【解答】解：如圖，從6：50到7：30，鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°，鐘表上的分針經(jīng)過40分鐘旋轉(zhuǎn)的角度是30°×8＝240°，鐘表上的時針經(jīng)過40分鐘旋轉(zhuǎn)的角度是240°×1故選：B．【點評】本題考查鐘表時針與分針的夾角．在鐘表問題中，常利用時針與分針轉(zhuǎn)動的度數(shù)關系：分針每轉(zhuǎn)動1°時針轉(zhuǎn)動（1125．（2023秋?金臺區(qū)校級月考）當時針指向上午10：15時，時針與分針的夾角是°．【分析】根據(jù)時針一分鐘轉(zhuǎn)360°÷12÷60＝0.5°，分鐘一分鐘轉(zhuǎn)360°÷60＝6°，求出從10：00到10：15，時針和分針所走的度數(shù)，進行求解即可．【解答】解：∵時針一分鐘轉(zhuǎn)360°÷12÷60＝0.5°，分鐘一分鐘轉(zhuǎn)360°÷60＝6°，∴從10：00到10：15，時針轉(zhuǎn)過的度數(shù)為：15×0.5°＝7.5°，分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)為15×6°＝90°，∵十點時，時針與分針的夾角為60°，∴時針與分針的夾角是90°+60°﹣7.5°＝142.5°；故答案為：142.5．【點評】本題考查鐘面角，解題的關鍵是理解時針一分鐘轉(zhuǎn)360°÷12÷60＝0.5°，分鐘一分鐘轉(zhuǎn)360°÷60＝6°．6．知識的遷移與應用問題一：甲、乙兩車分別從相距180km的A、B兩地出發(fā)，甲車速度為36km/h，乙車速度為24km/h，兩車同時出發(fā)，同向而行（乙車在前甲車在后），后兩車相距120km？問題二：將線段彎曲后可視作鐘表的一部分，如圖，在一個圓形時鐘的表面上，OA表示時針，OB表示分針（O為兩針的旋轉(zhuǎn)中心）．下午3點時，OA與OB成直角．（1）3：40時，時針與分針所成的角度；（2）分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為，時針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為；（3）在下午3點至4點之間，從下午3點開始，經(jīng)過多少分鐘，時針與分針成60°角？【分析】問題一：分兩種情況解答：①乙車在前甲車在后，②甲車在前乙車在后；列出方程求解即可；問題二：（1）根據(jù)鐘面的特點，平均分成12份，可得每份30°，根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案．（2）鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12等份，每一份是30°，分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角是15分，即1（3）分①當分針在時針上方時②當分針在時針下方時兩種情況列出方程解答即可．【解答】解：問題一：設xh后兩車相距120km，若相遇前，則36x﹣24x＝180﹣120，解得x＝5，若相遇后，則36x﹣24x＝180+120，解得x＝25．故兩車同時出發(fā)，同向而行（乙車在前甲車在后），5或25后兩車相距120km；（1）30°×（5?40故3：40時，時針與分針所成的角度130°；（2）分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為6°，時針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為0.5°；（3）設在下午3點至4點之間，從下午3點開始，經(jīng)過x分鐘，時針與分針成60°角．①當分針在時針上方時，由題意得：（3+x60）×30﹣6解得：x=60②當分針在時針下方時，由題意得：6x﹣（3+x解得：x=300答：在下午3點至4點之間，從下午3點開始，經(jīng)過6011或300故答案是：5或25；130°；6°；0.5°．【點評】問題一：考查了一元一次方程的應用，主要利用了相遇問題等量關系，追及問題等量關系，熟練掌握行程問題的等量關系是解題的關鍵，難點在于分情況討論．問題二：考查了鐘面角，時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)．題型五角的計數(shù)與規(guī)律探究解題技巧提煉數(shù)角的個數(shù)的方法類似于數(shù)線段的方法,當∠AOB內(nèi)部有n條射線時，射線的總數(shù)就有（n+2）條，共有（n+11．（2023秋?青龍縣期中）如圖所示，圖中共有多少個小于平角的角（）A．10個 B．9個 C．8個 D．4個【分析】根據(jù)角的定義即可解決．【解答】解：圖中小于平角的角∠AOD，∠AOC，∠AOE，∠DOC，∠DOE，∠DOB，∠COE，∠COB，∠EOB，∠AOB共10個．故選：A．【點評】本題考查了角的概念，是基礎題，難點在于計算角的個數(shù)時要分單個的角與復合角兩個部分查出．2．（2023秋?興城市期末）如圖①，若在∠AOB的內(nèi)部以O為端點做一條射線OA1，得到3個角；如圖②，若在∠AOB的內(nèi)部以O為端點做兩條射線OA1和OA2，得到6個角……，以此類推，如果在∠AOB的內(nèi)部以O為端點做n條射線，則圖③中角的個數(shù)為（）A．n（n+1） B．(n+1)(n+2)2C．n(n+1)2 D．【分析】根據(jù)角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形，根據(jù)圖①，圖②得出規(guī)律，即可．【解答】解：圖①：有3條射線，組成1+2個角；圖②：有4條射線，組成1+2+3個角；∴當有a條射線，組成1+2+3+?+(a?1)=1∵圖③有n+2條射線，即a＝n+2，∴組成12故選：B．【點評】本題考查角的定義，解題的關鍵是理解角的定義，觀察上述圖形，找出規(guī)律．3．（2023秋?泗縣期末）如圖，已知∠MON，在∠MON內(nèi)逐一畫射線，下面三個圖中分別有3個、6個、10個角（不大于平角的角）．當∠MON內(nèi)有n條射線時，角的個數(shù)為（）A．n22 B．C．n(n?1)2 D．【分析】畫1條、2條、3條射線時可以數(shù)出角的個數(shù)分別有3個、6個、10個角，當畫n條時，由規(guī)律得到角的個數(shù)的表達式．【解答】解：畫n條射線所得的角的個數(shù)為：1+2+3+…+（n+1）=(n+1)(n+2)故選：D．【點評】本題考查了對角的概念的應用，關鍵是能根據(jù)求出結果得出規(guī)律．4．（2023秋?連城縣期末）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角．照此規(guī)律，畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數(shù)為（）A．165 B．186 C．199 D．210【分析】分別找出各圖形中銳角的個數(shù)，找出規(guī)律解題．【解答】解：∵在銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得1+2＝3個銳角；在銳角∠AOB內(nèi)部，畫2條射線，可得1+2+3＝6個銳角；在銳角∠AOB內(nèi)部，畫3條射線，可得1+2+3+4＝10個銳角；…∴從一個角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個數(shù)是1+2+3+…+（n+1）=12×（n∴畫19條不同射線，可得銳角12故選：D．【點評】此題考查了角的概念，解決改題的關鍵是找到規(guī)律，從一個角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個數(shù)是12×（n+1）×（5．觀察如圖，回答下列問題：（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有個不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖中有個不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC，OD，OE，則圖中有個不同的角；（4）在∠AOB內(nèi)部畫10條射線OC，OD，OE…則圖中有個不同的角；（5）在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE…則圖中有個不同的角．【分析】（1）根據(jù)圖形數(shù)出即可；（2）根據(jù)圖形數(shù)出即可；（3）根據(jù)圖形數(shù)出即可；（4）有1+2+3+…+9+10+11＝66個角；（5）求出1+2+3+…+n+（n+1）的值即可．【解答】解：（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有3個不同的角，故答案為：3．（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖中有6個不同的角，故答案為：6．（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC，OD，OE，則圖中有10個不同的角，故答案為：10．（4）在∠AOB內(nèi)部畫10條射線OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+10+11＝66個不同的角，故答案為：66．（5）在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+n+（n+1）=(n+1)(n+2)故答案為：(n+1)(n+2)2【點評】本題考查了角的有關概念的應用，關鍵是能根據(jù)題意得出規(guī)律．題型六角的比較解題技巧提煉角的大小比較（1）比較角的大小有兩種方法：①測量法，即用量角器量角的度數(shù)，角的度數(shù)越大，角越大．②疊合法，即將兩個角疊合在一起比較，使兩個角的頂點及一邊重合，觀察另一邊的位置．1．（2023春?岱岳區(qū)期末）在∠AOB內(nèi)取一點C，作射線OC，則一定成立（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＞∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOB＞∠AOC【分析】由角的大小比較方法，即可判斷．【解答】解：A、只有OC平分∠AOB時，∠AOC＝∠BOC，故A不符合題意；B、∠AOC不一定大于∠BOC，故B不符合題意；C、∠BOC不一定大于∠AOC，故C不符合題意；D、∠AOB＞∠AOC，正確，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查角的大小比較，關鍵是掌握角的大小比較方法．2．（2023秋?呼和浩特期末）如圖所示，正方形網(wǎng)格中有∠α和∠β，如果每個小正方形的邊長都為1，估測∠α與∠β的大小關系為（）A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．無法估測【分析】將∠α平移，讓∠α與∠β兩個角的頂點重合，即可解答．【解答】解：將∠α平移，使∠α與∠β兩個角的頂點重合，可得：∠α在∠β的內(nèi)部，所以∠α＜∠β，故選：A．【點評】本題考查了角的大小比較，利用平移的方法是解題的關鍵．3．（2023秋?渠縣校級期末）如圖，射線OC，OD分別在∠AOB的內(nèi)部、外部，下列結論錯誤的是（）A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC【分析】依據(jù)疊合法，將兩個角疊合在一起比較，使兩個角的頂點及一邊重合，觀察另一邊的位置，即可得出結論．【解答】解：A．由題可得，∠AOB＜∠AOD，故本選項正確；B．由題可得，∠BOC＜∠AOB，故本選項正確；C．由題可得，∠COD＜∠AOD，故本選項錯誤；D．由題可得，∠AOB＞∠AOC，故本選項正確；故選：C．【點評】本題主要考查了角的大小比較，關鍵是掌握疊合法判斷角的大小關系．4．（2023秋?紅橋區(qū)期末）如圖，用同樣大小的三角板比較∠A和∠B的大小，下列判斷正確的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．沒有量角器，無法確定【分析】由圖知/A∠45°，∠B＞45°，故可比較大?。窘獯稹拷猓骸邎D中三角尺為等腰直角三角形，∴∠A＜45°，＜B＞45°，∴∠A＜∠B，故選：B．【點評】本題主要考查角的大小比較，掌握利用中間角比較角的大小是關鍵．5．（2023秋?長安區(qū)期末）∠A＝40.4°，∠B＝40°4'，關于兩個角的大小，下列正確的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．無法確定【分析】先換算單位，再進行比較．【解答】解：∵40.4°＝40°24′，∴40°24′＞40°4'，∴∠A＞∠B．故選：A．【點評】本題主要考查角的大小比較，解決本題的關鍵是熟練掌握度分秒的換算．6．（2024春?莘縣期末）若∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝25.2°，則下面說法正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等【分析】據(jù)觀察題中的角表示方法，只要把∠1轉(zhuǎn)化為度的形式，即可比較三個角的大?。窘獯稹拷猓骸摺?＝251260∴∠1＝∠3．故選：C．【點評】本題主要考查比較的大小，把∠1轉(zhuǎn)化為度的形式是解本題的關鍵．7．（2023春?萊西市期中）如圖所示，由正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D，O是網(wǎng)格線交點，那么∠AOB與∠COD的大小關系是∠AOB∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】連接OE，根據(jù)題意可得：∠COE＝∠AOB，然后進行比較即可解答．【解答】解：如圖：連接OE，由題意得：∠COE＝∠AOB，∵∠COE＞∠COD，∴∠AOB＞∠COD，故答案為：＞．【點評】本題考查了角的大小比較，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．題型七角的和、差、倍、分解題技巧提煉角的和、差、倍、分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠1．（2023秋?駐馬店期末）如圖，下列結論中，不能說明射線OC平分∠AOB的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：A、∵∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，故A正確；B、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BO，C∴∠AOC＝∠BOC，故B正確；C、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，故C正確；D、∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOC不一定等于∠BOC，故D錯誤；故選：D．【點評】本題考查了角平分線的定義，利用了角平分線的性質(zhì)．2．（2023春?陽谷縣期中）如圖∠AOB，以OB為邊作∠BOC，使∠BOC＝2∠AOB，那么下列說法正確的是（）A．∠AOC＝3∠AOB B．∠AOC＝∠AOB C．∠AOC＞∠BOC D．∠AOB＝∠AOC或∠AOC＝3∠AOB【分析】一種可能OA是∠COB的角平分線，另一種可能是OA在∠COB的外邊．【解答】解：如圖：有兩種可能：①；②；∠AOC＝3∠AOB不一定，故A選項錯誤，不符合題意；∠AOC＝∠AOB不一定，故B選項錯誤，不符合題意；∠AOC可能等于∠BOC，故C選項錯誤，不符合題意；D選項正確，符合題意；故選：D．【點評】本題關鍵考慮到兩種可能的情況，再對選項一一判斷．3．（2023秋?雁塔區(qū)校級期中）如圖，OB平分∠AOC，則∠AOD﹣∠BOC等于（）A．∠BOD B．∠DOC C．∠AOB D．∠AOC【分析】根據(jù)角平分線的定義以及圖形中角的和差關系進行解答即可．【解答】解：∵OB平分∠AOC，∴∠AOB＝∠BOC，∴∠AOD﹣∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB＝∠BOD，故選：A．【點評】本題考查角平分線，理解角平分線的定義，掌握圖形中角的和差關系是正確解答的前提．4．（2023秋?肥西縣期末）如圖，OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，那么下列各式中正確的是（）A．∠COD=12∠AOB B．∠AOD=2C．∠BOD=12∠AOD D．∠BOC=【分析】根據(jù)角平分線定義，得出角與角的關系．再根據(jù)選項選取正確答案．【解答】解：∵OC是∠AOB的平分線，OD是∠BOC的平分線，∴∠BOC＝∠AOC=12∠AOB，∠BOD=12∠AOC∴∠BOC=23∠故選：D．【點評】根據(jù)角平分線定義得出所求角與已知角的關系轉(zhuǎn)化求解．5．（2023秋?松桃縣期末）如圖，已知O為直線AB上一點，將直角三角板MON的直角頂點放在點O處，若OC是∠MOB的平分線，則下列結論正確的是（）A．∠AOM＝3∠NOC B．∠AOM＝2∠NOC C．2∠AOM＝3∠NOC D．3∠AOM＝5∠NOC【分析】先求出2∠BON＝180°﹣2∠AOM，利用角平分線的定義再求解，∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2∠BON﹣2∠CON，從而可得答案．【解答】解：∵∠MON＝90°，∴∠AOM＝90°﹣∠BON，∴2∠BON＝180°﹣2∠AOM，∵OC是∠MOB的平分線，∴∠MOC＝∠BOC=12∠∴∠AOM＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2∠BON﹣2∠CON，∴∠AOM＝180°﹣（180°﹣2∠AOM）﹣2∠CON，∴∠AOM＝2∠NOC，故選：B．【點評】本題考查了角的和差運算，角的平分線定義，熟練運用角的和差關系探究角與角之間的關系是解題的關鍵．6．【分析】①根據(jù)OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，得出∠AOD=∠COD=12∠AOC，∠BOE=∠COE=12∠BOC，∠AOF=∠BOF=12∠AOB，求出∠DOE=12∠AOB，即可得出結論；②根據(jù)角度之間的關系得出∠DOF=12∠BOC=∠COE，得出∠AOF﹣∠COF＝∠BOF﹣∠COF＝∠BOC，即可得出結論；③無法證明∠AOD＝∠BOC【解答】解：①∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，∴∠AOD=∠COD=12∠AOC∠AOF=∠BOF=1∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∴∠DOC+∠COE=∠AOD+∠BOE=1即∠DOE=12∠AOB②∵∠DOF＝∠DOE﹣∠EOF，=1=1=1=1=1=1∠AOF﹣∠COF＝∠BOF﹣∠COF＝∠BOC，∴2∠DOF＝∠AOF﹣∠COF，故②正確；③∠AOD與∠BOC不一定相等，故③錯誤；④根據(jù)解析②可知，∠DOF=1∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠COF+∠DOF＝∠COD，∵∠COF+∠BOF＝∠COF+∠AOF＝∠AOC＝2∠COD，∴∠EOF=12(∠COF+∠BOF)綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．【點評】本題主要考查了角平分線的有關計算，根據(jù)角度之間的關系得出∠DOF=1題型八角的平分線的應用解題技巧提煉1.角平分線的定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．2.性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線：則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠1．（2024春?濰城區(qū)期中）如圖，已知OB是∠AOC內(nèi)部的一條射線，下列說法一定正確的是（）A．∠AOC＝2∠BOC B．∠BOC＜∠AOB C．∠AOC可以用∠O表示 D．∠1與∠AOB表示同一個角【分析】根據(jù)角的大小比較及角的概念進行逐一判斷即可．【解答】解：A．∠AOC≠2∠BOC，故本選項不符合題意；B．∠BOC可能大于∠AOB，也可能小于∠AOB，也有可能等于∠AOB，故本選項不符合題意；C．∠AOC不可以用∠O表示，故本選項不符合題意；D．∠1與∠AOB表示同一個角，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查角的大小比較及角的概念，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．2．A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＜∠AOB C．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC【分析】分兩種情況，∠BOC在∠AOB的外部，∠BOC在∠AOB的內(nèi)部．【解答】解：分兩種情況：當∠BOC在∠AOB的外部，如圖：∵∠BOC=12∠∴∠AOC＝3∠BOC，當∠BOC在∠AOB的內(nèi)部，如圖：∵∠BOC=12∠∴∠AOC＝∠BOC，故選：D．【點評】本題考查了角的大小比較，根據(jù)題目的已知條件畫出圖形是解題的關鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學思想．3．（2023?大慶開學）如圖，點O在直線AB上，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分線，OC為∠BOE的平分線，∠BOC＝．【分析】依據(jù)題意，設∠BOC＝x°，結合題意，可得∠BOE＝2x°，∠DOE＝90°﹣x°，再由OE是∠BOD的平分線，即可得解．【解答】解：由題意，設∠BOC＝x°，∵OC為∠BOE的平分線，∴∠COE＝∠BOC＝x°．∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝2x°．又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣x°．又OE是∠BOD的平分線，∴∠BOE＝2x°＝∠DOE＝90°﹣x°．∴x＝30．故答案為：30°．【點評】本題考查了角平分線的定義，解題時要熟練掌握并理解是關鍵．4．（2023秋?南明區(qū)期末）如圖所示，∠AOB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，OE平分∠AOD，則∠BOE的大小為．【分析】先根據(jù)已知的三個角計算∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線求得∠AOE的度數(shù)，最后根據(jù)角的和差關系計算∠BOE的大?。窘獯稹拷猓骸摺螦OB＝30°，∠BOC＝40°，∠COD＝26°，∴∠AOD＝96°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=1∴∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝48°﹣30°＝18°．故答案為：18°．【點評】本題主要考查了角平分線的定義，注意：角平分線把角分成相等的兩個角，這是解題的主要依據(jù)．5．（2023秋?碑林區(qū)校級期末）已知如圖，∠AOB：∠BOC＝5：3，OD是∠BOC的平分線，OE是∠AOC的平分線，且∠BOE＝16°，求∠DOE的度數(shù)．【分析】設∠BOC＝x°，則∠AOB＝5x°，∠AOC＝8x°，再根據(jù)角平分線的定義用x表示出∠COE，通過∠BOE＝∠COE﹣∠COB解出值，再根據(jù)角的和差關系即可求解問題．【解答】解：設∠BOC＝3x°，則∠AOB＝5x°，∠AOC＝8x°，∵OE是∠AOC的平分線，∴∠COE=12∠AOC＝4∵∠BOE＝∠COE﹣∠COB，∴16°＝4x°﹣3x°，解得x＝16．∵OD是∠BOC的平分線，∴∠BOD=12∠BOC＝1.5∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝24°+16°＝40°．【點評】本題主要考查了角平分線的定義，分析出角的和差倍分關系是解題的關鍵．題型九角的尺規(guī)作圖解題技巧提煉角的尺規(guī)作圖是利用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角.1．（2023秋?橋西區(qū)期末）如圖，用尺規(guī)作出了∠NCB＝∠AOC，作圖痕跡中弧FG是（）A．以點C為圓心，OD為半徑的弧 B．以點C為圓心，DM為半徑的弧 C．以點E為圓心，OD為半徑的弧 D．以點E為圓心，DM為半徑的弧【分析】運用作一個角等于已知角的方法可得答案．【解答】解：根據(jù)作一個角等于已知角可得弧FG是以點E為圓心，DM為半徑的弧．故選：D．【點評】本題主要考查了作圖﹣基本作圖，解題的關鍵是熟練掌握作一個角等于已知角的方法．2．（2024春?遼陽期末）如圖，點C在∠AOB的OB邊上，用尺規(guī)作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排亂的作圖過程：則正確的作圖順序是（）①以C為圓心，OE長為半徑畫MN，交OB于點M．②作射線CD，則∠BCD＝∠AOB．③以M為圓心，EF長為半徑畫弧，交MN于點D．④以O為圓心，任意長為半徑畫EF，分別交OA，OB于點E，F(xiàn)．A．①﹣②﹣③﹣④B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣②D．④﹣③﹣①﹣②【分析】根據(jù)作一個角等于已知角的作圖過程即可判斷．【解答】解：根據(jù)作一個角等于已知角的過程可知：④以O為圓心，任意長為半徑畫EF，分別交OA，OB于點E，F(xiàn)．①以C為圓心，OE長為半徑畫MN，交OB于點M．③以M為圓心，EF長為半徑畫弧，交MN于點D．②作射線CD，則∠BCD＝∠AOB．故選：C．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，解決本題的關鍵是掌握作一個角等于已知角的作圖過程．3．（2023秋?裕華區(qū)期末）下面是黑板上出示的尺規(guī)作圖題，需要回答符號代表的內(nèi)容（）如圖，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以●為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點P、Q（2）作射線EG，并以點E為圓心◎長為半徑畫弧交EG于點D（3）以點D為圓心⊙長為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點F（4）作⊕，∠DEF即為所求作的角A．●表示點E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．⊕表示射線EF【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖作一個角等于已知角的方法即可判斷．【解答】解：作法：（1）以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點P、Q；（2）作射線EG，并以點E為圓心，OP長為半徑畫弧交EG于點D；（3）以點D為圓心PQ長為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點F；（4）作射線EF，∠DEF即為所求作的角．所以A，B，C選項都錯誤，D選項正確．故選：D．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一個角等于已知角）是解題的關鍵．4．（2024春?芝罘區(qū)期末）如圖，用尺規(guī)作圖作出∠OBF＝∠AOB，則作圖痕跡弧MN是（）A．以點B為圓心，以OD長為半徑的弧 B．以點B為圓心，以DC長為半徑的弧 C．以點E為圓心，以OD長為半徑的弧 D．以點E為圓心，以DC長為半徑的弧【分析】根據(jù)作一個角等于已知角的步驟判斷即可．【解答】解：作∠OBF＝∠AOB的作法：①以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交射線OA，OB于點C，D；②以點B為圓心，以OC為半徑畫EF，交射線BO于點E；③以點E為圓心，以CD為半徑畫MN，交EF于點N，連接BN即可得出∠OBF，則∠OBF＝∠AOB．故選：D．【點評】本題考查尺規(guī)作圖，熟知作一個角等于已知角的基本步驟是解答本題的關鍵．題型十三角板中角的計算解題技巧提煉三角板中的角的計算主要是利用特殊角30°，45°，60°，90°進行相關的計算.1．（2023秋?廣州期末）如圖，把一副三角板疊合在一起，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．30° D．70°【分析】因為等腰三角板中的銳角為45°，而直角三角板板中較大的銳角為60°，直接相減就可求得結果．【解答】解：由圖形可知，∠AOB＝60°﹣45°＝15°．故選：A．【點評】此題考查了角的計算，關鍵是掌握三角板各角的度數(shù)，每副三角板中，都有一個等腰直角三角板和一個直角三角板，再根據(jù)角的度數(shù)進行計算．2．（）A．24° B．25° C．26° D．27°【分析】先利用角的和差關系求出∠ACD，再利用角的和差關系求出∠2．【解答】解：由直角三角板知∠BCA＝45°，∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠1＝45°﹣9°＝36°．∴∠2＝∠ECD﹣∠ACD＝60°﹣36°＝24°．故選：A．【點評】本題考查了角的計算，掌握三角板各個角的度數(shù)及角的和差關系是解決本題的關鍵．3．（2023春?滕州市校級期末）將一副三角板的直角頂點重合放置于A處（兩塊三角板可以在同一平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動），下列結論一定成立的是（）A．∠CAE+∠DAB＝90° B．∠BAE﹣∠DAC＝45° C．∠BAE+∠DAC＝180° D．∠DAC＝2∠BAD【分析】根據(jù)題意，利用角的和差判斷正誤．【解答】解：根據(jù)題意可知：∠CAE+∠DAC＝90°，∠BAE﹣∠DAB＝90°，∠BAE+∠DAC＝180°，∠DAC+∠BAD＝90°，∴A、B、D選項不成立，只有C選項成立，故選：C．【點評】本題考查了角的計算，解題的關鍵是掌握角的和差計算．4．（2023秋?市北區(qū)期末）如圖，一副三角板中，將一個三角板60°角的頂點與另一個三角板的直角頂點重合，如果∠1＝23°，那么∠2的大小是度．【分析】根據(jù)∠1可以求出∠EAC，從而求出∠2即可．【解答】解：∵∠1+∠CAE＝∠BAC＝60°，∠1＝23°，∴∠CAE＝37°，又∵∠2+∠CAE＝∠DAE＝90°，∴∠2＝53°．故答案為：53．【點評】本題主要考查了角的計算，合理運用圖中各角的數(shù)量關系是本題解題的關鍵．5．（2023秋?江漢區(qū)期末）如圖，將三角板的直角頂點O放在直線AB上，OE平分∠AOC，繞點O轉(zhuǎn)動三角板，若∠BOD＝20°，則∠AOE＝°．【分析】由題意可得∠COD＝90°，由補角的定義可求解∠AOC＝70°，再由角平分線的定義即可求∠AOE的度數(shù)．【解答】解：由題意得：∠COD＝90°，∵∠BOD＝20°，∴∠AOC＝180°﹣∠COD﹣∠BOD＝70°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=12∠故答案為：35．【點評】本題主要考查補角，角平分線的定義，解答的關鍵是明確互補的兩角之和為180°．6．（2023秋?荊門期末）如圖，將一副三角尺的兩個銳角（60°角和45°角）的頂點O疊放在一起，若∠AOD與∠BOC的和為35°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．70° D．75°【分析】根據(jù)題意可得：∠AOB＝60°，∠COD＝45°，從而可得∠AOD＝60°﹣∠DOB，∠BOC＝45°﹣∠DOB，再結合已知可得60°﹣∠DOB+45°﹣∠DOB＝35°，然后求出∠DOB＝35°，從而求出∠BOC＝10°，最后利用角的和差關系求出∠AOC，即可解答．【解答】解：由題意得：∠AOB＝60°，∠COD＝45°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝60°﹣∠DOB，∠BOC＝∠COD﹣∠DOB＝45°﹣∠DOB，∵∠AOD+∠BOC＝35°，∴60°﹣∠DOB+45°﹣∠DOB＝35°，∴∠DOB＝35°，∴∠BOC＝10°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°，故選：C．【點評】本題考查了角的計算，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．題型十一角度計算的解答題解題技巧提煉角度計算的解答題是綜合運算角的和差倍分進行相關的計算，有時要用到角分線的性質(zhì)。1．（2023秋?靈寶市期末）如圖，點A，O，B在同一條直線上，∠AOC＝∠BOD，OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的平分線．（1）若∠COD＝80°，求∠MON的度數(shù)；（2）比較∠DOM和∠CON的大小，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠MOC=12∠AOC，∠NOD=1（2）根據(jù)角的和差關系解答即可．【解答】解：（1）∵OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的平分線，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOD=1∴∠MON=12（∠AOC+∠BOD）+∠COD=12（2）∠DOM＝∠CON，理由如下：∵∠MOC=12∠AOC，∠NOD=12∠BOD，∠∴∠MOC＝∠NOD，∴∠MON﹣∠NOD＝∠MON﹣∠MOC，∴∠DOM＝∠CON．【點評】本題考查的是角的計算，掌握角的和差計算、正確認識圖形是解題的關鍵．2．（2023秋?德惠市期末）如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線．（1）如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度？（2）在（1）的條件下，如果∠COD＝20°31′，那么∠BOE是多少度？【分析】（1）由OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線，可得∠COE=12∠AOB（2）由∠BOE＝∠EOD＝∠EOC﹣COD，然后將∠COD＝20°31′，∠COE的度數(shù)代入即可．【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線，∴∠COD＝∠AOC=12∠AOD，∠DOE＝∠BOE=1∴∠COE＝∠COD+∠DOE=1=1=1=1＝65°；（2）∵∠COD＝20°31′，∠COE＝65°，∠DOE＝∠COE﹣∠COD，∴∠DOE＝65°﹣20°31′＝44°29′，∵∠BOE＝∠DOE，∴∠BOE＝44°29′．【點評】此題考查了角的計算，解題的關鍵是：由角平分線的定義得到∠COE=13．（2023秋?天山區(qū)校級期末）如圖，已知∠AOB＝120°，∠AOD＝2∠BOD．（1）求∠AOD的度數(shù)；（2）自O點引射線OC，若∠AOC：∠COB＝1：3，求∠COD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)∠AOD＝2∠BOD可得∠AOD=23∠AOB，代入∠（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解．【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠BOD，∴∠AOD=23∠∴∠AOD=23∠AOB（2）當OC在∠AOB內(nèi)時，∵∠AOC：∠COB＝1：3，∴∠AOC=14∠∵∠AOB＝120°，∴∠AOC=1∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝80°﹣30°＝50°；當OC在∠AOB外時，∵∠AOC：∠COB＝1：3，∴∠AOC：∠AOB＝1：2，∵∠AOB＝120°，∴∠AOC=1∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝80°+60°＝140°，綜上所述，∠COD的度數(shù)為50°或140°．【點評】本題考查了角的計算及角平分線，掌握角的特點及比例的意義是解決問題的關鍵．4．（2024春?萊州市期末）新定義：若∠α的度數(shù)是∠β的度數(shù)的n倍，則∠α叫做∠β的n倍角．（1）若∠M＝10°21′，請直接寫出∠M的4倍角的度數(shù)；（2）如圖1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，請直接寫出圖中∠COD的2倍角；（3）如圖2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意列式計算即可；（2）根據(jù)題意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可；（3）設∠AOB＝α，則∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根據(jù)∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是結論可得．【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′，∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′；（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD；∴圖中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD；（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，設∠AOB＝α，則∠AOC＝3α，∠COD＝4α，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α，∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α，∵∠BOD＝90°，∴6α＝90°，∴α＝15°，∴∠BOC＝2α＝30°．【點評】此題主要考查了角的計算，度分秒的換算，準確理解并熟練應用題干中的定義是解題的關鍵．5．（2023秋?江源區(qū)期末）如圖甲所示，將一副三角尺的直角頂點重合在點O處．（1）①∠AOD和∠BOC相等嗎？說明理由．②∠AOC和∠BOD在數(shù)量上有何關系？說明理由．（2）若將這副三角尺按左圖乙所示擺放，三角尺的直角頂點重合在點O處．①∠AOD和∠BOC相等嗎？說明理由．②∠AOC和∠BOD的以上關系還成立嗎？說明理由．【分析】（1）①根據(jù)角的和的關系解答，②利用周角的定義解答；（2）①根據(jù)同角的余角相等解答，②根據(jù)圖象，表示出∠AOC整理即可得到原關系仍然成立．【解答】解：（1）①∵∠AOD＝90°+∠BOD∠BOC＝90°+∠BOD，∴∠AOD和∠BOC相等．②∵∠AOC+90°+∠BOD+90°＝360°，∴∠AOC+∠BOD＝180°；（2）①∵∠AOD＝90°﹣∠BOD，∠BOC＝90°﹣∠BOD，∴∠AOD和∠BOC相等．②成立．∵∠AOC＝90°+90°﹣∠BOD，∴∠AOC+∠BOD＝180°．【點評】本題主要考查角的和、差關系，理清和或是差是解題的關鍵．6．（2023秋?斗門區(qū)期末）如圖①，OC是∠AOE內(nèi)部的一條射線，OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝；（2）∠AOE與∠BOD的大小有什么關系，寫出你的結論并說明理由．（3）如圖②，如果OC是∠AOE外部的一條射線，OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE與∠BOD的大小關系還成立嗎？請說明理由．【分析】（1）由角平分線的定義得出∠COD+∠COB=12∠AOE（2）由角平分線的定義得出∠COD+∠COB=12∠AOE，即∠AOE（3）由角平分線的定義得出得出∠AOB=∠BOC=12∠AOC，∠COD=∠EOD=12∠COE，根據(jù)∠AOE＝∠【解答】解：（1）∵OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC，∴∠COD=1∵∠AOE＝140°，∴∠COD+∠COB=1∵∠COD＝30°，∴∠BOC＝40°；故答案為：40°．（2）∵OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．∴∠COD=1∴∠COD+∠COB=12∠AOE即∠AOE＝2∠BOD，（3）∠AOE＝2∠BOD成立，理由如下，∵OB、OD分別平分∠AOC，∠EOC．∴∠AOB=∠BOC=1∴∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，∠BOD=∠COD?∠BOC=1∴∠AOE＝2∠BOD．【點評】本題考查了角平分線，靈活利用角平分線的定義是解題的關鍵．題型十二角度計算的動態(tài)問題解題技巧提煉角度計算的動態(tài)問題是化動為靜，綜合運算角的和差倍分進行相關的計算，有時要用到方程思想和分類討論的思想.1．（2023秋?橋西區(qū)期末）已知直角三角形MON的直角頂點O在直線AB上，射線OC平分∠AON．（1）如圖1，若∠MOC＝34°，求∠AOM的度數(shù)；（2）如圖2，將三角形MON繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，若∠BON＝100°，求∠AOM的度數(shù)；（3）如圖3，將三角形MON繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，試寫出∠BON和∠MOC之間的數(shù)量關系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)角的和差及互余的定義求解即可；（2）根據(jù)角的和差求解即可；（3）根據(jù)角平分線定義及鄰補角定義求解即可．【解答】解：（1）∠MOC＝34°，∠MON＝90°，∴∠NOC＝90°﹣34°＝56°，又∵OC平分∠AON，∴∠NOC＝∠AOC＝56°，∴∠AOM＝∠AOC﹣∠MOC＝56°﹣34°＝22°；（2）∵∠BON＝100°，∴∠AON＝180°﹣∠BON＝180°﹣100°＝80°，∵∠MON＝90°，∴∠AOM＝90°﹣80°＝10°；（3）∠BON＝2∠MOC，理由如下：∵OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC，∠AON＝2∠NOC，∵∠MON＝90°，∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，∴∠BON＝180°﹣∠AON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，即∠BON＝2∠MOC．【點評】本題考查了余角和補角的概念，角度的計算，以及角平分線的定義，準確識圖并熟記概念是解題的關鍵．2．（2023秋?泊頭市期末）已知一副直角三角尺OAB和OCD，∠AOB＝90°，∠B＝45°，∠D＝90°，∠COD＝30°．（1）將兩個直角三角尺按如圖1擺放，點A在邊OC上，則∠BOD＝；（2）將直角三角尺OCD從圖1位置繞點O逆時針方向轉(zhuǎn)到圖2位置，使OB恰好平分∠COD，求∠AOC的度數(shù)；（3）如圖3，當三角尺OCD擺放在∠AOB內(nèi)部時，作射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BOD，若三角尺OCD在∠AOB內(nèi)部繞點O任意轉(zhuǎn)動（OC、OD均在∠AOB內(nèi)部），試判斷∠MON的度數(shù)是否會發(fā)生變化？通過計算說明理由．【分析】（1）根據(jù)∠BOD＝∠AOB﹣∠COD即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)得∠COB＝15°，再根據(jù)∠AOC＝∠AOB﹣∠COB可得出答案；（3）先求出∠AOC+∠BOD＝60°，再根據(jù)角平分線定義得∠MOC+∠NOD＝30°，由此可得∠MON得度數(shù)．【解答】解：（1）依題意得：∠AOB＝90°，∠COD＝30°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝60°，故答案為：60°；（2）∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，OB恰好平分∠COD，∴∠COB=12∠∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣15°＝75°；（3）∠MON的度數(shù)不發(fā)生變化，始終等于60°，理由如下：∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝60°，∵OM平分∠AOC