2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步13.2基本圖形位置關(guān)系13.2.4.2兩平面垂直課時素養(yǎng)評價含解析蘇教版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)評價三十二兩平面垂直(20分鐘35分)1.若l為一條直線,α,β,γ為三個互不重合的平面,則下列說法錯誤的是 ()A.α⊥γ,β⊥γ?α⊥β B.α⊥γ,β∥γ?α⊥βC.l∥α,l⊥β?α⊥β D.l⊥β,l⊥α,則α∥β【解析】選A.α⊥γ,β⊥γ?α⊥β,A不正確,α,β可能平行;α⊥γ,β∥γ?α⊥β,B正確;l∥α,l⊥β?α⊥β,C正確;因為垂直于同始終線的兩平面平行,所以D正確.2.將銳角A為60°,邊長為a的菱形沿BD折成60°的二面角,則折疊后A與C之間的距離為 ()A.a B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】選C.設(shè)折疊后點A到A1的位置,取BD的中點E,連接A1E,CE.則BD⊥CE,BD⊥A1E.于是∠A1EC為二面角A1-BD-C的平面角.故∠A1EC=60°.因為A1E=CE,所以△A1EC是等邊三角形.所以A1E=CE=A1C=QUOTEa.3.設(shè)α-l-β是直二面角,直線a?α,直線b?β,a,b與l都不垂直,那么說法中正確的是 ()A.a與b可能垂直,但不行能平行B.a與b可能垂直,也可能平行C.a與b不行能垂直,但可能平行D.a與b不行能垂直,也不行能平行【解析】選C.當(dāng)a,b都與l平行時,則a∥b,所以A,D錯.如圖,若a⊥b,過a上一點P在α內(nèi)作a′⊥l,因為α⊥β,所以a′⊥β.又b?β,所以a′⊥b,所以b⊥α,與題干要求沖突,即a與b不行能垂直.4.已知l,m是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,有下列四個結(jié)論:①若l?β,且α⊥β,則l⊥α;②若l⊥β,且α∥β,則l⊥α;③若l⊥β,且α⊥β,則l∥α;④若α∩β=m,且l∥m,則l∥α.則全部正確結(jié)論的序號是________.

【解析】若l?β,α⊥β,則l,α可以平行或相交,l也可能在平面α內(nèi),故①錯誤;由面面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定方法,得②正確;若l⊥β,α⊥β則l∥α或l?α,故③錯誤;若α∩β=m,l∥m,則l∥α或l?α,故④錯誤.所以正確結(jié)論的序號是②.答案:②5.若P是△ABC所在平面外一點,而△PBC和△ABC都是邊長為2的正三角形,PA=QUOTE,那么二面角P-BC-A的大小為________.

【解析】取BC的中點O,連接OA,OP(圖略),則∠POA為二面角P-BC-A的平面角,OP=OA=QUOTE,PA=QUOTE,所以△POA為直角三角形,∠POA=90°.答案:90°6.如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形,直線SC⊥平面ABCD,E是SA的中點,求證:平面EDB⊥平面ABCD.【證明】連接AC,交BD于點F,連接EF,所以EF是△SAC的中位線,所以EF∥SC.因為SC⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.又EF?平面EDB,所以平面EDB⊥平面ABCD.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面.下列命題中正確的序號是 ()A.若m⊥n,n∥α,則m⊥αB.若m∥β,β⊥α,則m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,則m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α【解析】選C.A中,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m⊥α或m?α,錯誤;B中,由m∥β,β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α,錯誤;C中,由m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,正確;D中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α,錯誤.2.如圖所示,三棱錐P-ABC的底面在平面α內(nèi),且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,點P,A,B是定點,則動點C的軌跡是 ()A.一條線段B.一條直線C.一個圓D.一個圓,但要去掉兩個點【解析】選D.因為平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC?平面PAC,所以AC⊥平面PBC.又因為BC?平面PBC,所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以動點C的軌跡是以AB為直徑的圓,除去A和B兩點.3.如圖所示,將等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角,此時∠B′AC=60°,那么這個二面角大小是 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選D.連接B′C,則△AB′C為等邊三角形,設(shè)AD=a,則B′C=AC=QUOTEa,B′D=DC=a,所以B′C2=B′D2+DC2,所以∠B′DC=90°.4.四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,則這個四棱錐的五個面中兩兩垂直的對數(shù)為 ()A.5 B.4 C.3 D.2【解析】選A.因為AD⊥AB,AD⊥PA且PA∩AB=A,可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB,AB⊥平面PAD,CD⊥平面PAD,由面面垂直的判定定理可得,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PAD,平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,共有5對.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.下列四個命題其中真命題的是 ()A.過平面外一點有且只有一條直線與該平面垂直B.過平面外一點有且只有一條直線與該平面平行C.假如兩個平行平面和第三個平面相交,那么所得的兩條交線平行D.假如兩個平面相互垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點且垂直于其次個平面的直線必在第一個平面內(nèi)【解析】選ACD.依據(jù)空間點、線、面間的位置關(guān)系,過平面外一點有且只有一條直線與該平面垂直,故A正確;過平面外一點有多數(shù)條直線與該平面平行,故B不正確;依據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理:假如兩個平行平面和第三個平面相交,那么所得的兩條交線平行,故C正確;依據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì):假如兩個平面相互垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點且垂直于其次個平面的直線必在第一個平面內(nèi),故D正確.6.設(shè)l,m是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,則下列命題錯誤的是 ()A.若l⊥m,m?α,則l⊥αB.若l⊥α,l∥m,則m⊥αC.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,則l⊥βD.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β【解析】選ACD.對于A,直線l需垂直于平面α內(nèi)兩條相交直線才能判定線面垂直,故A錯誤;對于B,可用線面垂直的判定定理證明,如在平面α內(nèi)作兩條相交直線,由l∥m與l⊥α可證明m也垂直于這兩條相交直線,即m⊥α,故B正確;對于C,也有可能是l∥β或l與β相交或l?β,故C錯誤;對于D,也有可能是α與β相交,故D錯誤.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖,把邊長為a的正三角形ABC沿高線AD折成60°的二面角,這時頂點A到BC的距離是________.

【解析】在翻折后的圖形中,∠BDC為二面角B-AD-C的平面角,即∠BDC=60°,AD⊥平面BDC.過D作DE⊥BC于E,連接AE,則E為BC的中點,且AE⊥BC,所以AE即為點A到BC的距離.易知,AD=QUOTEa,△BCD是邊長為QUOTE的等邊三角形,所以DE=QUOTEa,AE=QUOTE=QUOTEa.答案:QUOTEa8.如圖所示,檢查工件的相鄰兩個面是否垂直時,只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上,另一邊在工件的另一個面上轉(zhuǎn)動,視察尺邊是否和這個面密合就可以了,其原理是________.

【解析】如圖:因為OA⊥OB,OA⊥OC,OB?β,OC?β且OB∩OC=O,依據(jù)線面垂直的判定定理,可得OA⊥β,又OA?α,依據(jù)兩平面垂直的判定定理,可得α⊥β.答案:兩平面垂直的判定定理四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求證:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.【解題指南】(1)依據(jù)AB⊥AD,EF⊥AD,可得EF∥AB,從而得EF∥平面ABC.(2)證明BC⊥AD,再由AB⊥AD,從而可得AD⊥平面ABC,即得AD⊥AC.【證明】(1)在平面ABD內(nèi),因為AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因為EF?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因為平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC?平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因為AD?平面ABD,所以BC⊥AD.又因為AB⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,所以AD⊥平面ABC,又因為AC?平面ABC,所以AD⊥AC.10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分別是A1B1,BC,C1D1和B1C(1)求證:平面MNF⊥平面NEF;(2)求二面角M-EF-N的平面角的正切值.【解析】(1)因為N,F均為所在棱的中點,所以NF⊥平面A1B1C1D1而MN?平面A1B1C1D1,所以NF⊥又因為M,E均為所在棱的中點,所以△C1MN和△B1NE均為等腰直角三角形,所以∠MNC1=∠B1NE=45°,所以∠MNE=90°,所以MN⊥NE.又NF∩NE=N,所以MN⊥平面NEF.而MN?平面MNF,所以平面MNF⊥平面NEF.(2)在平面NEF中,過點N作NG⊥EF于點G,連接MG.由(1)知MN⊥平面NEF,又EF?平面NEF,所以MN⊥EF.NG?平面NEF,所以MN⊥NG.又MN∩NG=N,所以EF⊥平面MNG,所以EF⊥MG.所以∠MGN為二面角M-EF-N的平面角.設(shè)該正方體的棱長為2.在Rt△NEF中,NG=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以在Rt△MNG中,tan∠MGN=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以二面角M-EF-N的平面角的正切值為QUOTE.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為a的菱形,∠DAB=60°,側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證:AD⊥PB;(2)若E為BC邊的中點,能否在棱上找到一點F,使平面DEF⊥平面ABCD?并證明你的結(jié)論.【解析】(1)如圖所示,設(shè)G為AD的中點,連接PG,BG,因為△PAD為正三角形,所以PG⊥AD.在菱形ABCD中,因為∠