2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章變化率與導(dǎo)數(shù)1變化的快慢與變化率課時(shí)作業(yè)含解析北師大版選修1-1_第1頁
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PAGE1變更的快慢與變更率[A組基礎(chǔ)鞏固]1.對(duì)于函數(shù)y=eq\f(1,x),當(dāng)Δx=1時(shí),Δy的值是()A.1 B.-1C.0.1 D.不能確定解析:函數(shù)值的變更量是指函數(shù)在某一點(diǎn)旁邊的變更量,因而要求Δy,必需指明在某點(diǎn)旁邊的函數(shù)變更量.答案:D2.函數(shù)y=f(x)=3x+1在點(diǎn)x=2處的瞬時(shí)變更率估計(jì)是()A.2 B.3C.4 D.5解析:Δy=f(2+Δx)-f(2)=3(2+Δx)+1-(3×2+1)=3Δx,則eq\f(Δy,Δx)=eq\f(3Δx,Δx)=3,∴當(dāng)Δx趨于0時(shí),eq\f(Δy,Δx)趨于3.故選B.答案:B3.函數(shù)y=f(x)=x2在區(qū)間[x0,x0+Δx]上的平均變更率為k1,在區(qū)間[x0-Δx,x0]上的平均變更率為k2,則k1與k2的大小關(guān)系為()A.k1>k2 B.k1<k2C.k1=k2 D.不能確定解析:k1=eq\f(fx0+Δx-fx0,Δx)=eq\f(x0+Δx2-x\o\al(2,0),Δx)=2x0+Δx,k2=eq\f(fx0-fx0-Δx,Δx)=eq\f(x\o\al(2,0)-x0-Δx2,Δx)=2x0-Δx.由題意知Δx>0,所以k1>k2,選A.答案:A4.一塊木頭沿某一斜面自由下滑,測(cè)得下滑的水平距離s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s=eq\f(1,8)t2,則t=2時(shí),此木頭在水平方向的瞬間速度為()A.2 B.1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析:因?yàn)棣=eq\f(1,8)(2+Δt)2-eq\f(1,8)×22=eq\f(1,2)Δt+eq\f(1,8)(Δt)2,所以eq\f(Δs,Δt)=eq\f(1,2)+eq\f(1,8)Δt,當(dāng)Δt趨于0時(shí),eq\f(1,2)+eq\f(1,8)Δt趨于eq\f(1,2),因此t=2時(shí),木塊在水平方向瞬時(shí)速度為eq\f(1,2).答案:C5.物體運(yùn)動(dòng)時(shí)位移s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是s=-4t2+16t,此物體在某一時(shí)刻的速度為零,則相應(yīng)的時(shí)刻為()A.t=1 B.t=2C.t=3 D.t=4解析:Δs=-4(t+Δt)2+16(t+Δt)-(-4t2+16t)=16Δt-8t·Δt-4(Δt)2.又因?yàn)樵谀硶r(shí)刻的瞬時(shí)速度為零.當(dāng)Δt→0時(shí),eq\f(Δs,Δt)=16-8t-4Δt=0.即16-8t=0,解得t=2.答案:B6.函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,則函數(shù)f(x)在[-2,1]上的平均變更率為__________;函數(shù)f(x)在[-2,3]上的平均變更率為__________.解析:從題圖中可以看出f(-2)=-1,f(1)=1,f(3)=3,所以函數(shù)f(x)在[-2,1]上的平均變更率為eq\f(f1-f-2,1--2)=eq\f(1--1,3)=eq\f(2,3),函數(shù)f(x)在[-2,3]上的平均變更率為eq\f(f3-f-2,3--2)=eq\f(3--1,5)=eq\f(4,5).答案:eq\f(2,3)eq\f(4,5)7.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s(t)=at2+1做直線運(yùn)動(dòng)(s單位:cm,t單位:s),若質(zhì)點(diǎn)M在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8cm/s,則常數(shù)a=________.解析:由eq\f(Δs,Δt)=eq\f(s2+Δt-s2,Δt)=eq\f(a2+Δt2+1-4a-1,Δt)=4a+aΔt知質(zhì)點(diǎn)M在t=2s時(shí)瞬時(shí)速度為4a,即4a=8,∴a=2.答案:28.以初速度v0(v0>0)豎直上拋的物體,ts時(shí)的高度s與t的函數(shù)關(guān)系為s=v0t-eq\f(1,2)gt2,求物體在時(shí)刻t0處的瞬時(shí)速度.解析:∵Δs=v0(t0+Δt)-eq\f(1,2)g(t0+Δt)2-(v0t0-eq\f(1,2)gteq\o\al(2,0))=(v0-gt0)Δt-eq\f(1,2)g(Δt)2,∴eq\f(Δs,Δt)=v0-gt0-eq\f(1,2)gΔt.當(dāng)Δt趨于0時(shí),eq\f(Δs,Δt)趨于v0-gt0,故物體在時(shí)刻t0處的瞬時(shí)速度為v0-gt0.9.一做直線運(yùn)動(dòng)的物體,其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s=3t-t2.(1)求此物體從t=0到t=2時(shí)的平均速度;(2)求此物體的初速度;(3)求此物體在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度.解析:(1)eq\o(v,\s\up6(-))=eq\f(s2-s0,2-0)=eq\f(6-4-0,2)=1.(2)該物體從t=0到t=0+Δt時(shí)的平均速度為eq\f(s0+Δt-s0,Δt)=eq\f(3Δt-Δt2,Δt)=3-Δt,由Δt→0得t=0時(shí)的瞬時(shí)速度為3.即此物體的初速度為3.(3)該物體從t=2到t=2+Δt時(shí)的平均速度為eq\f(s2+Δt-s2,Δt)=-1-Δt.由Δt→0得t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為-1.[B組實(shí)力提升]1.某物體做直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s(t)=t2+eq\f(3,t)(時(shí)間t的單位:s,位移s的單位:m),則它在4s末的瞬時(shí)速度為()A.eq\f(123,16)m/s B.eq\f(125,16)m/sC.8m/s D.eq\f(67,4)m/s解析:∵eq\f(Δs,Δt)=eq\f(4+Δt2+\f(3,4+Δt)-16-\f(3,4),Δt)=eq\f(Δt2+8Δt+\f(-3Δt,44+Δt),Δt)=Δt+8-eq\f(3,16+4Δt),∴l(xiāng)ieq\o(m,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)=8-eq\f(3,16)=eq\f(125,16),故選B.答案:B2.若函數(shù)f(x)=eq\r(x)在點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變更率是eq\f(\r(3),3),則x0的值是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,2)C.1 D.3解析:eq\f(Δy,Δx)=eq\f(\r(x0+Δx)-\r(x0),Δx)=eq\f(\r(x0+Δx)-\r(x0)\r(x0+Δx)+\r(x0),Δx\r(x0+Δx)+\r(x0))=eq\f(1,\r(x0+Δx)+\r(x0)),當(dāng)Δx→0時(shí),eq\f(Δy,Δx)→eq\f(1,2\r(x0)),∴eq\f(1,2\r(x0))=eq\f(\r(3),3),∴x0=eq\f(3,4).答案:A3.函數(shù)f(x)=lnx+1從e到e2的平均變更率為________.解析:Δy=f(e2)-f(e)=(lne2+1)-(lne+1)=1,Δx=e2-e,∴eq\f(Δy,Δx)=eq\f(1,e2-e).答案:eq\f(1,e2-e)4.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s(t)=eq\f(1,t2),則質(zhì)點(diǎn)在t=2時(shí)的速度為________.解析:eq\f(Δs,Δt)=eq\f(s2+Δt-s2,Δt)=eq\f(\f(1,2+Δt2)-\f(1,4),Δt)=-eq\f(4+Δt,42+Δt2),當(dāng)Δt趨于0時(shí),eq\f(Δs,Δt)=-eq\f(1,4).答案:-eq\f(1,4)5.若一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程如下(位移s的單位:m,時(shí)間t的單位:s):s(t)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2+2,t≥3,29+3t-32,0≤t<3)).求:(1)物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度;(2)物體的初始速度v0;(3)物體在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度.解析:(1)∵物體在t∈[3,5]內(nèi)的時(shí)間變更量為Δt=5-3=2,物體在t∈[3,5]內(nèi)的位移變更量為Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,∴物體在t∈[3,5]內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)=eq\f(48,2)=24(m/s).(2)物體的初始速度v0即物體在t=0時(shí)的瞬時(shí)速度.∵物體在t=0旁邊的平均速度為eq\f(Δs,Δt)=eq\f(s0+Δt-s0,Δt)=eq\f(29+3[0+Δt-3]2-29-3×0-32,Δt)=3Δt-18,∴當(dāng)Δt趨于0時(shí),eq\f(Δs,Δt)趨于-18,∴物體在t=0時(shí)的瞬時(shí)速度為-18m/s,即物體的初始速度為-18m/s.(3)∵物體在t=1旁邊的平均速度為eq\f(Δs,Δt)=eq\f(s1+Δt-s1,Δt)=eq\f(29+3[1+Δt-3]2-29-3×1-32,Δt)

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