同步優(yōu)化設(shè)計(jì)2024年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課后篇鞏固提升含解析北師大版選擇性必修第一冊(cè)

其次章圓錐曲線§2雙曲線2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.雙曲線方程為x2-2y2=1,則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.22,0 B.62,0 C.52,0 D.(3,0)答案B解析將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y21∴a2=1,b2=12,∴c2=a2+b2=32,∴c=故右焦點(diǎn)坐標(biāo)為62,0.2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,A.x24-y2=1 B.xC.x2-y24=1 D.x答案C解析由題意得|解得a則該雙曲線的方程為x2-y24=3.已知雙曲線x2λ-3+y22-λ=1,焦點(diǎn)在yA.32 B.5 C.7 D.答案D解析依據(jù)題意可知,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22-由其焦距為4,得c=2,則有c2=2-λ+3-λ=4,解得λ=124.已知雙曲線x24-y25=1上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離為10,則PF1的中點(diǎn)NA.3或7 B.6或14 C.3 D.7答案A解析連接ON,ON是△PF1F2的中位線,∴|ON|=12|PF2|∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或|PF2|=6,∴|ON|=7或|ON|=3.5.如圖,已知雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),點(diǎn)A,B均在雙曲線的右支上,線段AB經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2,|AB|=m,F1為雙曲線的左焦點(diǎn),A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m答案B解析由雙曲線的定義,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周長(zhǎng)為|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.6.與圓x2+y2=1及圓x2+y2-8x+12=0都外切的圓P的圓心在()A.一個(gè)橢圓上 B.一個(gè)圓上C.一條拋物線上 D.雙曲線的一支上答案D解析由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,畫出圓x2+y2=1與(x-4)2+y2=4的圖象如圖,設(shè)圓P的半徑為r,∵圓P與圓O和圓M都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,則|PM|-|PO|=1<4,∴點(diǎn)P在以O(shè),M為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上.7.以橢圓x23+y24=1答案y2-x23解析由題意知,雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1,則a=1,c=2,所以b2=3,8.已知點(diǎn)F1,F2分別是雙曲線x29-y216=1的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)P是雙曲線左支上的點(diǎn),且|PF1|·|PF2|=32,則△F1答案16解析因?yàn)镻是雙曲線左支上的點(diǎn),所以|PF2|-|PF1|=6,兩邊平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=|PF所以∠F1PF2=90°,所以S△F1PF2=12|PF1|·9.已知與雙曲線x216-y29=1共焦點(diǎn)的雙曲線過(guò)點(diǎn)P-52,解已知雙曲線x216則c2=16+9=25,∴c=5.設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b依題意知b2=25-a2,故所求雙曲線方程可寫為x2a2∵點(diǎn)P-52,-6在所求雙曲線上,∴代入有(-5化簡(jiǎn)得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=1254當(dāng)a2=1254時(shí),b2=25-a2=25-1254=-25不合題意,舍去,∴a2=1,b2=24,∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y224=等級(jí)考提升練10.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示雙曲線”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析因?yàn)閙n<0,所以m,n均不為0且異號(hào),方程mx2+ny2=1,可化為x21m+y21n=1,因?yàn)?m與1n異號(hào),所以方程x21m+y21n=1表示雙曲線,故“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示雙曲線”的充分條件;反之,若mx2+ny2=1表示雙曲線,則其方程可化為x21m+y21n=1,可知1m與1n異號(hào),則必有mn<0,故“mn<011.已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(-5,0),B(5,0),動(dòng)點(diǎn)M滿意|MA|-|MB|=6,則點(diǎn)M的軌跡方程是()A.x216-y29=1 B.C.x29-y216=1 D.答案D解析由|MA|-|MB|=6,且6<|AB|=10,得a=3,c=5,b2=c2-a2=16.故其軌跡為以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.所以點(diǎn)M的軌跡方程為x29-y21612.動(dòng)圓與圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,則動(dòng)圓圓心的軌跡是()A.雙曲線的一支 B.圓C.橢圓 D.雙曲線答案A解析設(shè)動(dòng)圓的圓心為M,半徑為r,圓x2+y2=1與x2+y2-8x+12=0的圓心分別為O1和O2,半徑分別為1和2,由兩圓外切的充要條件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一支(靠近O1).13.若雙曲線x2n-y2=1(n>1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線上,且滿意|PF1|+|PF2|=2n+2,則△PF1F2的面積為A.1 B.12 C.2 D.答案A解析設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,則|PF1|-|PF2|=2n,已知|PF1|+|PF2|=2n+2解得|PF1|=n+2+n,|PF2|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2n+1則|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2為直角三角形,∠F1PF2=90°,∴S△PF1F2=12|PF1|·14.已知左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2的雙曲線C:x2a2-y2=1(a>0)過(guò)點(diǎn)15,-63,點(diǎn)P在雙曲線C上,若|PF1|=3,則|PF2|=(A.3 B.6 C.9 D.12答案C解析由左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2的雙曲線C:x2a2-y2=1(a>0)過(guò)點(diǎn)15,-63,可得15解得a=3,b=1,c=10,a+c>3,點(diǎn)P在雙曲線C上,若|PF1|=3,可得P在雙曲線的左支上,則|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故選C.15.若曲線C:mx2+(2-m)y2=1是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,則m的取值范圍為.

答案(2,+∞)解析由曲線C:mx2+(2-m)y2=1是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,可得x21即有m>0,且m-2>0,解得m>2.16.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(42,-3),且Q(0,5)與兩焦點(diǎn)的連線相互垂直,則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案x216解析設(shè)焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),則由QF1⊥QF2,得kQF∴5c·5-c設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(42,-3),∴32a2-又c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216-17.已知雙曲線E:x216-y24=1的左、右焦點(diǎn)分別為(1)若點(diǎn)M在雙曲線上,且MF1·MF2=0,(2)若雙曲線C與雙曲線E有相同的焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)(32,2),求雙曲線C的方程.解(1)如圖所示,不妨設(shè)點(diǎn)M在雙曲線E的右支上,點(diǎn)M到x軸的距離為h,MF1則MF1⊥MF2,設(shè)|MF1|=m,|MF2|=n,由雙曲線定義,知m-n=2a=8,①又m2+n2=(2c)2=80,②由①②得mn=8,∴12mn=4=12|F1F2|·∴h=25(2)設(shè)所求雙曲線C的方程為x216-λ-y24+由于雙曲線C過(guò)點(diǎn)(32,2),∴1816-解得λ=4或λ=-14(舍去),∴所求雙曲線C的方程為x212-新情境創(chuàng)新練18.已知△OFQ的面積為26,且OF·FQ=m,其中O(1)設(shè)6<m<46,求OF與FQ的夾角θ(2)設(shè)以O(shè)為中心,F為其中一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,如圖所示,|OF|=c,m=64-1c2,當(dāng)|OQ|取得最小值時(shí),求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解(1)因?yàn)?所以tanθ=46又6<m<46,所以1<tanθ<4,即tanθ的取值范圍為(1,4).(2)