專題26空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)與綜合提升題-寒假作業(yè)26（解析版）-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)（理）寒假?gòu)?fù)習(xí)鞏固練習(xí)（人教A版）

專題26人教(A)版空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)與綜合提升題

一寒假作業(yè)26(解析版)

1、直線的方向向量和平面的法向量

⑴.直線的方向向量：若A、B是直線/上的任意兩點(diǎn)，則AB為直線/的一個(gè)方向向

量；與A5平行的任意非零向量也是直線/的方向向量.

⑵.平面的法向量：若向量〃所在直線垂直于平面則稱這個(gè)向量垂直于平面

記作〃如果〃那么向量〃叫做平面a的法向量.

⑶.平面的法向量的求法'待定系數(shù)法)：

①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.

②設(shè)平面a的法向量為九=(x,y,z).

③求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)々=(4,4,6),Z?=(4，Z?2,4).

④根據(jù)法向量定義建立方程組《

〃?/?=()

⑤解方程組，取其中一組解，即得平面a的法向量.

2、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系

⑴線線平行、設(shè)直線4,4的方向向量分別是a、〃，則要證明4〃4,只需證明?！ㄈ?

即a=kb{keR).

⑵線面平行，設(shè)直線/的方向向量是a,平面a的法向量是〃，則要證明/〃a,只需

證明a_L〃，即a-M=O.

⑶面面平行,若平面a的法向量為〃，平面￡的法向量為v,要證a〃夕，只需證〃〃

v,即證〃=

3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系

⑴線線垂直。設(shè)直線4的方向向量分別是。、匕，則要證明4，4，只需證明。，匕，

即a?b=0.

⑵線面垂直

①(法一)設(shè)直線/的方向向量是a,平面a的法向量是“，則要證明只需

證明?！ā?，即。二4〃.

②（法二）設(shè)直線/的方向向量是。，平面a內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為加、〃，若

a-m=0…

，則/1a.

〃?〃=0

⑶面面垂宜。若平面a的法向量為〃，平面夕的法向量為u,要證。，尸，只需證

H±V,即證43=0.

4、利用向量求空間角

⑴求異面直線所成的角

已知a”為兩異面直線，A,C與B,D分別是出人上的任意兩點(diǎn)，所成的角為

ACBD

貝|Jcos0=-----------

ACn\\BD

⑵求直線和平面所成的角

求法：設(shè)直線/的方向向量為。，平面a的法向量為〃，直線與平面所成的角為。，a

與“的夾角為0，則。為0的余角或。的補(bǔ)角

的余角.即有：sin6=|cos（f\

⑶求二面角

二面角的平面角是指在二面角。-/-6的棱上任取一點(diǎn)0,分別在兩個(gè)半平面內(nèi)

求法：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為〃八〃，再設(shè)加、〃的夾角為

中,二面角。一/一萬(wàn)的平面角為。，則二面角。為加、〃的夾角。或其補(bǔ)角4一

根據(jù)具體圖形確定。是銳角或是鈍角：

試卷第2頁(yè)，總25頁(yè)

m?nm-n

如果。是銳角，則cos，=|cose|=—jj—,即6=arccos—廠；

mnnv\n

(

m?nm-n

如果。是鈍角，則cose=-|cos*|=---n—即。=arccos---n—

irn\nm\\n

5、利用法向量求空間距離

點(diǎn)Q到直線/距離

若Q為直線/外的一點(diǎn)，P在直線/上，〃為直線/的方向向量，b=PQ,則點(diǎn)Q到直

=^/\a\\b\y-(a-b)2

線/距離為h

⑵點(diǎn)A到平面a的距離

若點(diǎn)P為平面a外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面a內(nèi)任一點(diǎn)，平面a的法向量為〃，則P到平

面a的距離就等于MP在法向量〃方向上的投影的絕對(duì)值.

即d=|MPj|cos^n,MP^=|

⑷兩平行平面名，之間的距離

利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離。即

，,陽(yáng)

⑸異面直線間的距離

設(shè)向量〃與兩異面直線a,b都垂直，M&a,P^b,則兩異面直線a,b間的距離d就是

\n-MP\

MP在向量〃方向上投影的絕對(duì)值。即d=l??L

\n\

一、單選題

1.已知向量。=（一3,2,5）,A=（l,x,—1）且則x的值為（）

A.4B.1C.3D.2

【答案】A

【分析】

代入空間向量垂直的坐標(biāo)表示，直接求》的值.

【詳解】

a±b>a-A>=(-3)xl+2x+5x(-l)=2x-8=0,解得：x=4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，意在考查基本公式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題型.

UUU

2.如圖，直三棱柱ABC-AB|G中，若C4=a，CB=b，CC\=c.則等于

()

A.a+b-cB.q-b+cC.b-a-cD.b-a+c

【答案】C

【分析】

根據(jù)向量的加減法運(yùn)算，計(jì)算結(jié)果.

【詳解】

AtB=AB-AA]=(CB-CA^-AAi,

A4]=CC)=c,??A^B—b—a—c.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間向量的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題型.

3.已知向量4=(1,-3,2),&=(-2,1,1),則|2a+b|=()

A.50B.14C.572D.V14

【答案】C

【分析】

根據(jù)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式、空間向量模的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

因?yàn)橄蛄俊?(1,-3,2),〃

試卷第4頁(yè)，總25頁(yè)

所以2a+6=(0,—5,5);.Ja+〃卜7o2+(-5)2+52=5&

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間向量數(shù)乘運(yùn)算、加法運(yùn)算、模的坐標(biāo)表示公式，考查/數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

4.在四面體045。中，空間的一點(diǎn)M滿足OM=LQ4+」OB+；IOC,若

46

共面，則4=()

1157

A.-B.-C.—D.—

231212

【答案】D

【分析】

根據(jù)四點(diǎn)(M,AB,C)共面的向量表示OM=xOA+yOB+zOC{x+y+z=1),可得

結(jié)果.

【詳解】

由共面知，

11一「

4612

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間中四點(diǎn)共面的向量表示，屬基礎(chǔ)題.

5.已知向量”=(0,2,1)"=(-1』,〃。，若凡6分別是平面a,4的法向量，且a_L￡,

貝!I"?=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意可得再利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，使數(shù)量積等于零即可求解.

【詳解】

由題可知，a_Lb，則。2=2+，〃=0，即加=一2.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量垂直數(shù)量積等于零，屬于基礎(chǔ)題.

6.設(shè)直線/的方向向量為〃z=(2,平面a的一個(gè)法向量為〃=(4,-2,-2),若

直線/〃平面a,則實(shí)數(shù)z的值為()

A.-5B.5C.-1D.1

【答案】B

【分析】

根據(jù)線面平行的向量關(guān)系，可得加,〃，根據(jù)〃?〃=0,可得結(jié)果.

【詳解】

由直線///平面a，知向量〃?與〃垂直,

則有2x4+(—1)x(—2)-2z=0,

解得z=5.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面平行的向量表示，屬基礎(chǔ)題.

7.在空間直角坐標(biāo)系O-xzy中，已知點(diǎn)A(3,-1,0),向量A8=(4,10,—6),則線段

A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(1,-6,3)B.(—1,6,—3)C.(5,4,—3)D.(2,5,—3)

【答案】C

【分析】

先根據(jù)已知條件求解出8點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解出AB的中點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

因?yàn)锳(3,—l,0),AB=(4,10,-6),所以B(7,9,-6),

(3+7—1+9—6+0、z\

所以AB的中點(diǎn)為(一，-y-，一J，即(5,4,—3),

故選：C.

8.在三棱柱ABC—44a中，側(cè)棱垂直于底面，ABLBC,AB=BC,AC=2也，

叢=亞，點(diǎn)E為AG的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在的延長(zhǎng)線上且則異面直線

4

8E與所成的角為()

試卷第6頁(yè)，總25頁(yè)

E

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】B

【分析】

以BC,BA,54分別為x,Xz軸建立空間直角坐標(biāo)系，再寫(xiě)出向量BE=（1,1,、歷），

CF=r05,由向量法可求出答案.

【詳解】

在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)棱垂直于底面，AB1BC

故以BC,BA,BB1分別為羽y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由AB=BC，AC=2A/2>A4,=y/2.則AB=BC=2

所以A（O,2,0），G（2,O,啦）￡（1,1,^）

由CE=，BC,則

4

CF=-（2,0,0）5，。,。

C,F=C,C+CF=（0,0,-V2）+^,0,0

,0,

_3

-2_1

所以cos（BE,CF）,___

32

叫時(shí)"x

所以向量BE,C尸夾角為120°

由異面直線BE與。尸所成的角的范圍是［O，5

所以異面直線BE與6尸所成的角為60°

故選：B

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：向量法求解空間幾何問(wèn)題的步驟：建、設(shè)、求、算、取

1、建：建立空間直角坐標(biāo)系，以三條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，沒(méi)有三條垂線時(shí)

需做輔助線；建立右手直角坐標(biāo)系，盡可能的使得較多的關(guān)鍵點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面

內(nèi).

2,設(shè)：設(shè)出所需的點(diǎn)的坐標(biāo)，得出所需的向量坐標(biāo).

3、求：求出所需平面的法向量

4、算：運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算，驗(yàn)證平行、垂直，利用線面角公式求線面角，或求出

兩個(gè)平面的法向量的夾角的余弦值

5、?。焊鶕?jù)題意，或二面角的范圍，得出答案.

9.已知向量a=(1,1,()),/?=(-1,(),2),且ka+b與2a—b互相平行,則k的值是()

457

A.—2B.—C.—D.一

335

【答案】A

【分析】

求得履+人與2。-。的坐標(biāo)，根據(jù)向量平行，得到方程組，即可求得A的值.

【詳解】

解：67=(1,1,0),"=(_1,0,2),

ka+b=k(y,1,0)4-(-1,0,2)=(k-l,k，2),

2a-b=2(\,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,—2),

又ka+b與2a—b互相平行,

試卷第8頁(yè)，總25頁(yè)

%—1=34

所以存在；I,使得姐+b=2（2a—6）,即（攵一1,￡2）=4022），所以卜=24,

2=-22

A=-1

解得匕C

k=-2

故選：A.

10.如圖，平行六面體ABC。-4片GA，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1,且兩

兩夾角為60°,則AG的長(zhǎng)為（）

A.1B.6C.V6D.3

【答案】C

【分析】

利用空間向量加法的幾何意義，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義，直接求解即可.

【詳解】

ACX=AB+BC+CCI>

222

ACt=(AB+3C+CG)2=AB+BC~+CC}~+2ABBC+2BCCQ+2ABCC,>

因此有：

AC,2=1+1+1+2|Afi|■|BC|-cos60°+8cHec11-cos60°+2kBi.|CGI.cos60°=6,所以

AG的長(zhǎng)指.

故選：c.

11.在四棱錐P—ABCD中，P￡>_L平面A8C。，四邊形A8C。為正方形，AB=2,

E為P8的中點(diǎn)，若cos〈DP,AE）=^,則（）

p

匕

AB

3

A.1B.-C.3D.2

2

【答案】D

【分析】

由已知以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(O,O,a),求得。P,AE的坐標(biāo)，由數(shù)量積

公式可得答案.

【詳解】

由已知。尸、DA.0c兩兩垂直，所以以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

設(shè)PD=a(a>0),則2(0,0,〃)，4(2,0,0),

連接8。取中點(diǎn)尸，連接EE，所以EF7/PD，EE_L平面ABCD，

auma

所以41,1，5),所以0P=(O,O,a),A￡=(-l,l,-),

9

CT

DPAEy_V3

由COS(DP,AE)=3,得cos(OP,AE)

一必?網(wǎng):扃彳一3’

解得a=2.

故選：D.

X/AB

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵點(diǎn)是建立空間直角坐標(biāo)系，由數(shù)量積公

式求得。，考查了學(xué)生的空間想象力.

12.如圖，在正方體ABCZ)-AB|C|D1中,,點(diǎn)民F分別是棱aA，A。上的動(dòng)點(diǎn).給

試卷第io頁(yè)，總25頁(yè)

出下面四個(gè)命題

①直線族與直線AC平行；

②若直線AF與直線CE共面，則直線AE與直線CE相交;

③直線EF到平面ABCD的距離為定值；

TT

④直線AF與直線CE所成角的最大值是y.

其中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

利用特殊位置可判斷①②的正誤，可證明呼〃平面ABCD,據(jù)此可判斷③的正誤，利

用向量的數(shù)量積可求4ECE夾角的余弦值，從而可求其最大值.

【詳解】

如圖1,當(dāng)尸與A重合時(shí)，E與。重合時(shí)，"線所與直線AC是異面直線，故①錯(cuò)

誤.

/曲/?1（￡）

如圖2,當(dāng)F4A重合時(shí)，E厲C,重合時(shí)，四邊形ACEF為矩形,

因?yàn)槠矫鍭8C￡>〃平面44GA，而防U平面A4G。，故E尸〃平面ABC。，

所以直線EF到平面ABC。的距離為定值（正方體的棱長(zhǎng)），故③正確.

建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則尸（0,。的）,E僅,1,1）,其中OWaWLOVTWl,

而C（l,l,0）,故4尸=（0,a,l）,CE=（匕一1,0,1）,

設(shè)直線AF與直線CE所成角為0,

milcos0—Icos（A.F,CE）|=~~—1----------2-7=x―-=——

則?'八百LgfTI夜夜2，

若直線與直線CE不平行，則,故，

故直線AP與直線CE所成角的最大值是，所以④正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：空間中與直線與直線的位置關(guān)系有關(guān)的判斷，應(yīng)該讓幾何對(duì)象動(dòng)態(tài)變化，在

變化過(guò)程中確定位置關(guān)系，而角的最值判斷，則需構(gòu)建平面角，也可以通過(guò)直線的方向

試卷第12頁(yè)，總25頁(yè)

向量的夾角來(lái)處理.

二、填空題

13.已知向量a=(l,1,1),%=(-1,0,2),且版+。與2a-互相垂直，則々=.

3

【答案】-

【分析】

利用向量垂宜數(shù)量積等于零即可求解.

【詳解】

由向量a=(l/,l)，力=(—1,0,2),,

則ka+b=[k—l,k,k+2),2a—Z?=(3,2,0)

因?yàn)閔/+b與2。一人互.相垂直,

所以+(2a-/?)=0,即3(左一1)+2攵+(%+2)x0=0,

3

解得女=--

5

3

故答案為：—

14.在空間直角坐標(biāo)系中，A(l,l,l)、8(2,3,4),平面BCD的一個(gè)法向量是(-1,2,1),

則點(diǎn)4到平面BCD的距離為.

【答案】V6

【分析】

\n-AB\

利用點(diǎn)到平面的距離公式d=(〃為平面38的一個(gè)法向量)可求得點(diǎn)A到平

H

面BCD的距離.

【詳解】

由己知條件可得A3=(1,2,3),平面BCO的一個(gè)法向量為n=(—1,2,1),

\n-AB\|-lxl+22+3xl|

所以，點(diǎn)A到平面BCD的距離為d=L-L=I,?=V6.

rHrJi)+22+F

因此，點(diǎn)A到平面5co的距離為".

故答案為：＞/6.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)A到平面SCO的距離，方法如下：

（1）等體積法：先計(jì)算出四面體A3CD的體積，然后計(jì)算出△BCD的面積，利用錐

體的體積公式可計(jì)算出點(diǎn)A到平面的距離：

（2）空間向量法：先計(jì)算出平面BCD的一個(gè)法向量〃的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)A到平

\AB-rA

面BCD的距離為d=.

15.四棱錐。一ABC。中，底面A5CD,底面A6C。是正方形，且。。=1,4?=3,

G是ABC的重心，則PG與面R18所成角。的正弦值為.

【答案】叵

30

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面以8的一個(gè)法向量加及PG，由

??\m-PG\

sin0=1cos<m,PG>1=Ip4-r-Mi——y即可得解.

【詳解】

因?yàn)镻￡>J_底面A8CD,底面A8CO是正方形，

所以P￡>,D4,DC兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

試卷第14頁(yè)，總25頁(yè)

則D（0,0,0）,P（O,O,1）,A（3,0,0）,3（3,3,0）,C（0,3,0）,則重心G（2,2,0）,

因而PG=（2,2,—1）,^4=（3,0,-1）,PS=（3,3,-1）,

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)，

m-PA=3x-z=Q

則〈令X=1則772=（1,0,3）,

m?PB=3x+3y-z=0

II"PG|ITio

則sin0=cos<m,PG>=T-T-I——T=-7=——=---.

1|硝PG]V10X330

故答案為：叵.

30

16.如圖所示，正方體A3CO-A4GA的棱長(zhǎng)為4,MN是它內(nèi)切球的一條弦(我們把

球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度

最大時(shí)，的PM-PN取值圍是.

【答案】[0,8]

【分析】

首先確定弦MV過(guò)球心。，再通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法得到

PM-PN=(2—x『+(2-一z(4-z),再通過(guò)構(gòu)造幾何意義求PM-PN的最大值

和最小值.

【詳解】

當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，弦過(guò)球心。，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)是上下底面的中心,

則M(2,2,4),N(2,2,0),

尸(x,y,z),PM^(2-x,2-y,4~z),PN^(2-x,2-y,-z),

則PM.PN=(2_xy+(2_y)2_z(4_z)

=(X-2)2+(J-2)2+(z-2)2-4,

而(》—2)2+(丁—2)2+(2—2)2表示點(diǎn)2(％乂2)和定點(diǎn)(2,2,2)距離的平方，很顯然

正方體的頂點(diǎn)到定點(diǎn)(2,2,2)距離的平方最大，最大值是+42+4?)=12正方

體面的中心到定點(diǎn)的距離的平方最小，最小值是4,所以PAZ.PN的最小值是

4—4=0,最大值是12—4=8.

故答案為：[0,8]

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第?個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是確定過(guò)球心。，利用對(duì)稱性設(shè)"(2,2,4),

N(2,2,0),第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造兩點(diǎn)間距離的幾何意義

PM-PN=(無(wú)一2『+(y—2『+(z—2)2—4求最大值和最小值.

三、解答題

17.如圖，直四棱柱的底面是菱形，AAi=4,AB=2,ZBAD=M)°,

E,M,N分別是BC,BBi,40的中點(diǎn).

(1)證明：A/N〃平面GOE；

試卷第16頁(yè)，總25頁(yè)

(2)求AM與平面AMD所成角的正弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)叵

5

【分析】

要證線面平行，先證線線平行

建系，利用法向量求解。

【詳解】

(1)連接ME,BC

VM,E分別為&B,8c的中點(diǎn)

：.ME=-B.C

21

又,：AB/AB=CD

???4QC物是平行四邊形

A}D=B,C

"ND=ME

.?.NC￡M是平行四邊形

.'.NM//DE

又MWZ平面CQE

〃平面C\DE

(2)由題意得DE與BC垂直，所以DE與AD垂直：以。為原點(diǎn)，DA,DE,三邊分別

為羽y,z軸，建立空間坐標(biāo)系O-xyz

則A(2,0,0),4(2,0,4),M(1,6，2)

設(shè)平面4M。的法向量為〃=(x,y,z)

(nD\=0

則彳1

n-DM-0

2x+4z=0

x+6y+2z=0

解得〃=(2,0,—1)

又AM=(一1,百,2)

V10

.'.AM與平面所成角的正弦值

丁

【點(diǎn)睛】

要證線面平行，可證線線平行或面面平行。

求線面所成角得正弦值，可用幾何法做出線面角，再求正弦值；或者建立空間直角坐標(biāo)

系，利用法向量求解。

18.三棱柱ABC-A向G中，M,N分別是48,86上的點(diǎn)，且8M=24M,CiN=

28iN.設(shè)AB=a,AC-b,AA^=c.

(1)試用a,A,c表示向量MN；

(2)若NR4C=90。，ZBAAi=ZCAAi=60°,AB=AC=AAi=l,求MN的長(zhǎng).

【答案】(1)—ad—bH—c；(2).

3333

【分析】

(1)根據(jù)向量線性運(yùn)算的幾何含義，由幾何圖形知MN=M4,+A4+4N,確定

MA^,Bt,BfN與AB,AC,AAt的關(guān)系，即可用a,b,c表示向量MN；

(2)由(I)知A/N=；a+gb+；c,結(jié)合已知可求|a+Z?+c|,進(jìn)而得到|MN|即

為MN的長(zhǎng).

【詳解】

(1)由題圖知MN—MA^+44+BtN——BA^+AB+—B^C^,而B(niǎo)A^=—Afi,

B?=AG-44，AG—AC,44=AB,

MN=—(c-a)-^-a+—(b-a)=—a+—b+—c,

、222

(2)由題設(shè)條件知，(Q+0+C)2=Q+b+。+2ab+2ac+2b-c=5,

JIa+。+c|=逐，

試卷第18頁(yè)，總25頁(yè)

由(1)知|MN|=；|a+/?+c|=『，

19.已知A(0,2,3),B(-2,l,6),C(l,-1,5).

(1)求平面ABC的一個(gè)法向量；

(2)證明:向量a=(3,T,l)與平面ABC平行.

【答案】(1)平面ABC的一個(gè)法向量為〃=(1』,1)(答案不唯一)：(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】

(1)先由題中條件，求出AB與AC的坐標(biāo)，設(shè)「=(x,y,z)為平面A8C的一個(gè)法向

量，根據(jù)向量的垂直關(guān)系，列出方程求解，利用賦值法，即可得出結(jié)果；

(2)設(shè)存在實(shí)數(shù)加，"，使a=〃2AB旬4C，由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，求出山，

n,即可證明結(jié)論成立.

【詳解】

⑴因?yàn)锳(0,2,3),5(-2,1,6),C(l,-1,5),

所以AB=(—2,—1,3),AC=(1,-3,2),

設(shè)n=(x,y,z)為平面ABC的一個(gè)法向量，

n-AB=-2x-y+3z=0

則有〈,所以x=y=z,不妨令x=i,

n-AC=x-3y+2z=0

則〃=(1,1,1),

所以平面4BC的一個(gè)法向量為

(2)若存在實(shí)數(shù)”,〃,使a=加仔B+nAC>

即(3,-4,1)=制一2,-1,3)+n(l,-3,2),

-2m+n=3=__

m7

則《一加一3〃二-4,解得'u,

3m+2〃=1^=—

所以a=—+即向量a=(3,T,l)與平面ABC平行.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：

求平面法向量的步驟:

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的?個(gè)法向量為E=(x,y,z)：

(2)找出(求出)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)a=(44,q),b=(a2,b2,c2)；

(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于％)'，z的方程組；

(4)解方程組，取其中的一組解，即可得出平面的一個(gè)法向量.

7T

20.如圖，四棱錐P—A8CD中，24，底面4??！?,AD//BC,ZABC=~,

2

AB=BC=-AD=2,且PA=a,E,F分別為PC,的中點(diǎn).

2

(1)若a=2,求證：依，平面ADE尸；

(2)若四棱錐P—A3C。的體積為2,求二面角A—P?！狢的余弦值.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)旦,

6

【分析】

(1)依據(jù)線面垂直的判定定理，可證明總上”和依，A￡＞：(2)首先求刑的長(zhǎng)

度，再建立空間直角坐標(biāo)系，求平面PAD和平面PCD的法向量，再求二面角的余弦

值

【詳解】

(1)當(dāng)。=2R寸，AP=A8，點(diǎn)F是BP的中點(diǎn)，

.-.AFA.BP，

又轉(zhuǎn)，平面川。。，..?!/)，/1/5，ftAD±AB.APAB=A,

..AD，平面Q4B，6Pu平面/VLB，..ADLBP，

又A/7AD=A,

.?.BP_L平面AD砂；

(2)VfBen=§XSABCDXAP=§X/X(2+4)x2xAP=2,

解得：AP=1，

試卷第20頁(yè)，總25頁(yè)

如圖，以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP,為x，Kz軸的正方向，建立空間宜角坐標(biāo)系,

A(0,0,0),P(O,O,1),C(2,2,0),￡>(0,4,0),PC=(2,2,-1),PD=(0,4,-l),

設(shè)平面PCD的法向量加=(x,y,z),

,\m-PC=012x+2y-z=0,

則〈，即4,八，令y=1,則x=1,z=4,

m-PD=0[4y-z=0

.,.m=(1,1,4),

顯然AB，平面尸AD，設(shè)平面PAD的法向量n=(1,0,0),

m-n1<2

cos<m,n>=：~~|7—r=；■==-----,

|列|〃|Vl+l+426

二面角A-尸。一。是銳二面角，

二面角A-PD-C的余弦值是走.

6

21.在四棱錐P—ABC。中，24_L平面ABCO,底面四邊形A8CQ為直角梯形，

AD//BC,ADYAB,PA=AD=2,AB=BC=\,Q為PD中點(diǎn).

(1)求證：PD±BQ.

（2）求異面直線PC與BQ所成角的余弦值.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析：（2）也.

3

【分析】

（1）以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，A尸為無(wú)軸，V軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，計(jì)算得刊＞30=0,即可證明結(jié)論；

（2）先求出產(chǎn)。，再利用向量夾角公式即可得出.

【詳解】

（1）由題意在四棱錐P—ABCD中，K4_L平面A8CD，底面四邊形45CD為直角

梯形，AD±AB^

以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD-AP為x軸，y軸，z軸，建立空