六年級數學上冊 第3講：等積變形（教師版）（人教版）

第三講等積變形1.等積模型①等底等高的兩個三角形面積相等；②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如圖③夾在一組平行線之間的等積變形，如圖；反之，如果，則可知直線平行于．④等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比．2.鳥頭定理兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形．共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比．如圖在中，分別是上的點如圖=1\*GB2⑴(或在的延長線上，在上)，則3.蝶形定理任意四邊形中的比例關系(“蝶形定理”)：①或者②蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑．通過構造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關系與四邊形內的三角形相聯系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關系．梯形中比例關系(“梯形蝶形定理”)：①②；③的對應份數為．4.相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型①；②．所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關的常用的性質及定理如下：⑴相似三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；⑶連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半．相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關系相互轉化的工具．在小學奧數里，出現最多的情況是因為兩條平行線而出現的相似三角形．5.共邊定理（燕尾模型和風箏模型）共邊定理：若直線AO和BC相交于D（有四種情形），則有在三角形中，，，相交于同一點，那么．上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段，因為和的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理．該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應底邊之間提供互相聯系的途徑.1.了解三角形的底、高與面積的關系，會通過分析以上關系解題。2.能在解題中發(fā)現題目中所涉及的幾何模型。例1：如圖，正方形ABCD的邊長為6，1.5，2．長方形EFGH的面積為．分析：連接DE，DF，則長方形EFGH的面積是三角形DEF面積的二倍．三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三個三角形的面積，,所以長方形EFGH面積為33．例2：長方形的面積為36，、、為各邊中點，為邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？分析：解法一：尋找可利用的條件，連接、，如下圖：可得：、、，而即；而， ．所以陰影部分的面積是：解法二：特殊點法．找的特殊點，把點與點重合，那么圖形就可變成右圖：這樣陰影部分的面積就是的面積，根據鳥頭定理，則有：例3：如圖所示，長方形內的陰影部分的面積之和為70，，，四邊形的面積為．分析：利用圖形中的包含關系可以先求出三角形、和四邊形的面積之和，以及三角形和的面積之和，進而求出四邊形的面積．由于長方形的面積為，所以三角形的面積為，所以三角形和的面積之和為；又三角形、和四邊形的面積之和為，所以四邊形的面積為．另解：從整體上來看，四邊形的面積三角形面積三角形面積白色部分的面積，而三角形面積三角形面積為長方形面積的一半，即60，白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即，所以四邊形的面積為．例4：已知為等邊三角形，面積為400，、、分別為三邊的中點，已知甲、乙、丙面積和為143，求陰影五邊形的面積．(丙是三角形)分析：因為、、分別為三邊的中點，所以、、是三角形的中位線，也就與對應的邊平行，根據面積比例模型，三角形和三角形的面積都等于三角形的一半，即為200．根據圖形的容斥關系，有，即，所以．又，所以．例5：如圖，已知，，，，線段將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65，那么三角形的面積是．分析：連接，．根據題意可知，；；所以，，，，，于是：；；可得．故三角形的面積是40．例6：如圖在中，分別是上的點，且，，平方厘米，求的面積．分析：連接，，，所以，設份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米．由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比．例7：如圖在中，在的延長線上，在上，且，，平方厘米，求的面積．分析：連接，，所以，設份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米．由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比例8：如圖，平行四邊形，，，，，平行四邊形的面積是，求平行四邊形與四邊形的面積比．分析：連接、．根據共角定理∵在和中，與互補，∴．又，所以．同理可得，，．所以．所以．例9：如圖所示的四邊形的面積等于多少？分析：題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運用公式直接求面積.我們可以利用旋轉的方法對圖形實施變換：把三角形繞頂點逆時針旋轉，使長為的兩條邊重合，此時三角形將旋轉到三角形的位置.這樣，通過旋轉后所得到的新圖形是一個邊長為的正方形，且這個正方形的面積就是原來四邊形的面積.因此，原來四邊形的面積為.(也可以用勾股定理)例10：如圖所示，中，，，，以為一邊向外作正方形，中心為，求的面積．分析：如圖，將沿著點順時針旋轉，到達的位置．由于，，所以．而，所以，那么、、三點在一條直線上．由于，，所以是等腰直角三角形，且斜邊為，所以它的面積為．根據面積比例模型，的面積為．A1.如_A__A_B_G_C_E_F_D_A_B_G_C_E_F_D答案；本題主要是讓學生會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)．三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半．證明：連接．(我們通過把這兩個長方形和正方形聯系在一起)．∵在正方形中，邊上的高，∴(三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半)同理，．∴正方形與長方形面積相等．長方形的寬(厘米)．2.在邊長為6厘米的正方形內任取一點，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與點連接,求陰影部分面積．答案；（法1）特殊點法．由于是正方形內部任意一點，可采用特殊點法，假設點與點重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個陰影三角形的面積分別占正方形面積的和，所以陰影部分的面積為平方厘米．（法2）連接、．由于與的面積之和等于正方形面積的一半，所以上、下兩個陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，同理可知左、右兩個陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，所以陰影部分的面積為平方厘米．3.如圖，長方形的面積是36，是的三等分點，，則陰影部分的面積為．答案；如圖，連接．根據蝶形定理，，所以；，所以．又，，所以陰影部分面積為：．4.如圖，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面積等于1，那么三角形的面積是多少？答案；連接．∵∴又∵∴，∴．5.如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，，，，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？答案；連接．∵，∴，又∵，∴，∴，．B6.如圖，以正方形的邊為斜邊在正方形內作直角三角形，，、交于．已知、的長分別為、，求三角形的面積．答案；如圖，連接，以點為中心，將順時針旋轉到的位置．那么，而也是，所以四邊形是直角梯形，且，所以梯形的面積為：()．又因為是直角三角形，根據勾股定理，，所以()．那么()，所以()．7.如下圖，六邊形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，對角線垂直于，已知厘米，厘米，請問六邊形的面積是多少平方厘米？答案；如圖，我們將平移使得與重合，將平移使得與重合，這樣、都重合到圖中的了．這樣就組成了一個長方形，它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長方形的面積為平方厘米，所以六邊形的面積為平方厘米．8.如圖，三角形的面積是，是的中點，點在上，且，與交于點．則四邊形的面積等于．答案；方法一：連接，根據燕尾定理，，,設份，則份，份，份，如圖所標所以方法二：連接，由題目條件可得到，，所以，，而．所以則四邊形的面積等于．9.如圖，長方形的面積是平方厘米，，是的中點．陰影部分的面積是多少平方厘米?答案；設份，則根據燕尾定理其他面積如圖所示平方厘米.10.四邊形的對角線與交于點(如圖所示)．如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，，那么的長度是的長度的_________倍．答案；在本題中，四邊形為任意四邊形，對于這種”不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：⑴利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；⑵通過畫輔助線來改造不良四邊形．看到題目中給出條件，這可以向模型一蝶形定理靠攏，于是得出一種解法．又觀察題目中給出的已知條件是面積的關系，轉化為邊的關系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改造這個”不良四邊形”，于是可以作垂直于，垂直于，面積比轉化為高之比．再應用結論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結果．請老師注意比較兩種解法，使學生體會到蝶形定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝶形定理解決問題．解法一：∵，∴，∴．解法二：作于，于．∵，∴，∴，∴，∴，∴．C11.如圖，平行四邊形的對角線交于點，、、、的面積依次是2、4、4和6．求：⑴求的面積；⑵求的面積．答案；⑴根據題意可知，的面積為，那么和的面積都是，所以的面積為；⑵由于的面積為8，的面積為6，所以的面積為，根據蝶形定理，，所以，那么．12.如圖，長方形中，，，三角形的面積為平方厘米，求長方形的面積．答案；連接，．因為，，所以．因為，，所以平方厘米，所以平方厘米．因為，所以長方形的面積是平方厘米．13.如圖，正方形面積為平方厘米，是邊上的中點．求圖中陰影部分的面積．答案；因為是邊上的中點，所以，根據梯形蝶形定理可以知道，設份，則份，所以正方形的面積為份，份，所以，所以平方厘米．14.在下圖的正方形中，是邊的中點，與相交于點，三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是平方厘米．答案；連接，根據題意可知，根據蝶形定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．15.已知是平行四邊形，，三角形的面積為6平方厘米．則陰影部分的面積是平方厘米．答案；連接．由于是平行四邊形，，所以，根據梯形蝶形定理，所以(平方厘米)，(平方厘米)，(平方厘米)，陰影部分面積為(平方厘米)．1.右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是平方厘米．答案：連接．由于與是平行的，所以也是梯形，那么．根據蝶形定理，，故，所以(平方厘米)．2.右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是平方厘米．答案：連接．由于與是平行的，所以也是梯形，那么．根據蝶形定理，，故，所以(平方厘米)．另解：在平行四邊形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根據蝶形定理，陰影部分的面積為(平方厘米)．3.如圖，長方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為___________平方厘米．答案：連接、．四邊形為梯形，所以，又根據蝶形定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么長方形的面積為平方厘米，四邊形的面積為(平方厘米)．4.如圖，是等腰直角三角形，是正方形，線段與相交于點．已知正方形的面積48，，則的面積是多少？答案：由于是正方形，所以與平行，那么四邊形是梯形．在梯形中，和的面積是相等的．而，所以的面積是面積的，那么的面積也是面積的．由于是等腰直角三角形，如果過作的垂線，為垂足，那么是的中點，而且，可見和的面積都等于正方形面積的一半，所以的面積與正方形的面積相等，為48．那么的面積為．5.下圖中，四邊形都是邊長為1的正方形，、、、分別是，，，的中點，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分數，那么，的值等于．答案：左、右兩個圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀察發(fā)現兩個圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積．如下圖所示，在左圖中連接．設與的交點為．左圖中為長方形，可知的面積為長方形面積的，所以三角形的面積為．又左圖中四個空白三角形的面積是相等的，所以左圖中陰影部分的面積為．如上圖所示，在右圖中連接、．設、的交點為．可知∥且．那么三角形的面積為三角形面積的，所以三角形的面積為，梯形的面積為．在梯形中，由于，根據梯形蝶形定理，其四部分的面積比為：，所以三角形的面積為，那么四邊形的面積為．而右圖中四個空白四邊形的面積是相等的，所以右圖中陰影部分的面積為．那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為，即，那么．1.用三種不同的方法，把任意一個三角形分成四個面積相等的三角形．答案：方法1：如圖，將BC邊四等分（BD=DE=EF=FC=BC）,連結AD、AE、AF，則△ABD、△ADE、△AEF、△AFC等積。方法2：如圖，先將BC二等分，分點D、連結AD，得到兩個等積三角形，即△ABD與△ADC等積．然后取AC、AB中點E、F，并連結DE、DF．以而得到四個等積三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等積．方法3：如圖，先將BC四等分，即BD=BC，連結AD，再將AD三等分，即AE=EF=FD=AD，連結CE、CF，從而得到四個等級的三角形，即△ABD、△CDF、△CEF、△ACE等積。

2.用三種不同的方法將任意一個三角形分成三個小三角形，使它們的面積比為及1∶3∶4．答案：方法1：如圖，將BC邊八等分，取1∶3∶4的分點D、E，連結AD、AE，從而得到△ABD、△ADE、△AEC的面積比為1∶3∶4．方法2：如圖，先取BC的中點D，再取AB的四等分點E，連結AD、DE，從而得到三個三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面積比為1∶3∶4．方法3：如圖，先取AB的中點D，連結CD，再取CD的四等分點E，連結AE，從而得到三個三角形：△ACE、△ADE、△BCD．其面積比為1∶3∶4．

3.如右圖，在梯形ABCD中，AC與BD是對角線，其交點O，求證：△AOB與△COD面積相等．答案：證明：∵△ABC與△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．4.如右圖，把四邊形ABCD改成一個等積的三角形．答案：本題有兩點要求，一是把四邊形改成一個三角形，二是改成的三角形與原四邊形面積相等．我們可以利用三角形等積變形的方法，如右圖，把頂點A移到CB的延長線上的A′處，△A′BD與△ABD面積相等，從而△A′DC面積與原四邊形ABCD面積也相等．這樣就把四邊形ABCD等積地改成了三角形△A′DC．問題是A′位置的選擇是依據三角形等積變形原則．過A作一條和DB平行的直線與CB的延長線交于A′點．解：①連結BD；②過A作BD的平行線，與CB的延長線交于A′．③連結A′D，則△A′CD與四邊形ABCD等積．5.如右圖，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面積為1平方厘米．求三角形ABC的面積．答案：解法1：連結BD，在△ABD中∵BE=3