2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)-第五章-三角函數(shù)-5.1.1-任意角學(xué)案新人教A版必修第一冊

2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.1.1任意角學(xué)案新人教A版必修第一冊2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.1.1任意角學(xué)案新人教A版必修第一冊2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.1.1任意角學(xué)案新人教A版必修第一冊2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.1.1任意角學(xué)案新人教A版必修第一冊年級：姓名：5．1任意角和弧度制5．1.1任意角內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.結(jié)合具體實(shí)例，了解任意角的概念．?dāng)?shù)學(xué)抽象邏輯推理2.能區(qū)分正角、負(fù)角和零角．3.掌握象限角、終邊相同的角的概念，會(huì)用集合表示這些角.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第76頁[教材提煉]知識(shí)點(diǎn)一角的概念eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)⊙O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向的旋轉(zhuǎn)．如何刻畫點(diǎn)P的位置變化呢？知識(shí)梳理(1)角的概念角描述定義角可以看成是平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形表示其中O為頂點(diǎn)，OA為始邊，OB為終邊記法角α或∠α，或簡記為α(2)角的分類按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：類型定義圖示正角按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)稱它形成了一個(gè)零角(3)相等角與相反角①把角的概念推廣到了任意角(anyangle)，包括正角、負(fù)角和零角．設(shè)角α由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，角β由射線O′A′繞端點(diǎn)O′旋轉(zhuǎn)而成．如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α＝β.②設(shè)α，β是任意兩個(gè)角．我們規(guī)定，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對應(yīng)的角是α＋β.③把射錢OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.知識(shí)點(diǎn)二象限角eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非半軸重合，如何借助象限來定義角？知識(shí)梳理角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角．分別為第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．知識(shí)點(diǎn)三終邊相同的角eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)30°與390°、－330°的終邊有什么關(guān)系？知識(shí)梳理所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．[自主檢測]1．與30°角終邊相同的角的集合是()A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：由終邊相同的角的定義可知與30°角終邊相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．答案：A2．把－1485°轉(zhuǎn)化為α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．45°－4×360° B．－45°－4×360°C．－45°－5×360° D．315°－5×360°答案：D3．若α是銳角，則180°＋α是第________象限角．解析：若α是銳角，則0°<α<90°，所以180°<α＋180°<270°，從而α＋180°是第三象限角．答案：三4．在0°到360°之間與－120°終邊相同的角是________．解析：與－120°終邊相同的角α＝－120°＋k·360°(k∈Z)．由0°≤－120°＋k·360°<360°，k∈Z，得eq\f(1,3)≤k<eq\f(4,3).又k∈Z，所以k＝1，此時(shí)α＝－120°＋360°＝240°.答案：240°授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第77頁探究一任意角的概念[例1](1)下列說法正確的有________．(填序號(hào))①零角的始邊和終邊重合．②始邊和終邊重合的角是零角．③如圖，若射線OA為角的始邊，OB為角的終邊，則∠AOB＝45°；若射線OB為角的始邊，OA為角的終邊，則∠BOA＝－45°.④絕對值最小的角是零角．(2)經(jīng)過5小時(shí)25分鐘，時(shí)鐘的分針和時(shí)針各轉(zhuǎn)多少度？[解析](1)根據(jù)角的概念知①③④正確，②不正確，因?yàn)?60°角的始邊和終邊也重合．(2)時(shí)針走一周用12小時(shí)，即12小時(shí)轉(zhuǎn)－360°，那么時(shí)針每小時(shí)應(yīng)轉(zhuǎn)－30°，而5小時(shí)25分鐘為5eq\f(5,12)小時(shí)，而分針每小時(shí)轉(zhuǎn)－360°，所以，時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為－(5＋eq\f(5,12))×30°＝－162.5°；分針轉(zhuǎn)過的角度為－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(5,12)))×360°＝－1950°.[答案](1)①③④(2)見解析求解任意角問題的步驟(1)定方向：明確該角是由順時(shí)針方向還是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的，由逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為正角，否則為負(fù)角．(2)定大?。焊鶕?jù)旋轉(zhuǎn)角度的絕對量確定角的大?。畬懗鱿铝姓f法所表示的角：(1)順時(shí)針擰螺絲2圈；(2)將時(shí)鐘撥慢2小時(shí)30分鐘，分針轉(zhuǎn)過的角；(3)向右轉(zhuǎn)體3周．解析：(1)順時(shí)針擰螺絲2圈，螺絲順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了2周，因此表示的角為－720°.(2)撥慢時(shí)鐘需將分針按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，因此將時(shí)鐘撥慢2小時(shí)30分鐘，分針轉(zhuǎn)過的角為900°.(3)向右轉(zhuǎn)體即按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，因此向右轉(zhuǎn)體3周，表示的角為－1080°.探究二象限角與終邊相同的角[例2][教材P170例1、例2拓展探究](1)與－2010°終邊相同的最小正角是________．(2)下列各角分別是第幾象限角？請寫出與下列各角終邊相同的角β的集合S，并求出S中適合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.(3)寫出終邊在x軸上的角的集合．[解析](1)因?yàn)椋?010°＝－6×360°＋150°，所以與－2010°終邊相同的最小正角是150°.(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中適合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中適合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.(3)終邊在x軸的非負(fù)半軸的角的集合S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}．終邊在x軸的非正半軸的角的集合S2＝{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}．∴終邊在x軸上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝2k·180°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．[答案](1)150°(2)(3)見解析1.判斷α是第幾象限角的三個(gè)步驟第一步，將α寫成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．第二步，判斷β的終邊所在的象限．第三步，根據(jù)β的終邊所在的象限，即可確定α的終邊所在的象限．象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}2．求解給定范圍內(nèi)終邊相同的角的方法先寫出與角α終邊相同的角β，即：β＝α＋k·360°(k∈Z)，根據(jù)給定的范圍建立關(guān)于k的不等式，解出k的范圍，再根據(jù)k∈Z確定β.3．已知角的終邊所在直線或射線求角的集合方法先寫出0°～360°內(nèi)的射線所在的角的集合，再將各個(gè)集合進(jìn)行合并．探究三區(qū)域角的寫法[例3](1)如圖，已知角α的終邊在圖中陰影部分所表示的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)，用集合表示角α的取值范圍為________．(2)寫出角的終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合(包括邊界)．[解析](1)若角α的終邊落在OA上，則α＝－60°＋360°·k，k∈Z.若角α的終邊落在OB上，則α＝30°＋360°·k，k∈Z.所以角α的終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)時(shí)，－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值范圍為{α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)在0°～360°范圍內(nèi)，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}，＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}，S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．[答案](1){α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)見解析由角的終邊的范圍求角的集合的步驟(1)寫出臨界處終邊所對應(yīng)的角，一般在0°～360°內(nèi)找一個(gè)．(2)按照所給的范圍寫出角的范圍．(3)每個(gè)臨界角都加上360°·k，即得范圍內(nèi)的角的集合．如圖所示，寫出頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角θ的集合(不包含邊界)．解析：(1)如題圖(1)所示，以O(shè)A為終邊的角是75°，以O(shè)B為終邊的角是330°，也可看成－30°，∴以O(shè)A，OB為終邊的角的集合分別是：S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}，∴終邊落在陰影部分(不包含邊界)內(nèi)的角的集合為{θ|k·360°－30°<θ<k·360°＋75°，k∈Z}．(2)如題圖(2)所示，以O(shè)A為終邊的角是135°，以O(shè)B為終邊的角是225°，也可看成－135°，∴終邊落在陰影部分(不包含邊界)內(nèi)的角的集合為{θ|－135°＋k·360°<θ<135°＋k·360°，k∈Z}．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第78頁一、“分”角所在象限的判定方法——“分封制”已知角α所在象限，要確定角eq\f(α,n)所在象限，有兩種方法：(1)用不等式表示出角eq\f(α,n)的范圍，然后對n的取值分情況討論：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，從而得出結(jié)論．(2)作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個(gè)區(qū)域．從x軸非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針方向把這4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4.標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域，就是根據(jù)角α終邊所在的象限確定角eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域．如此，角eq\f(α,n)所在的象限就可以由標(biāo)號(hào)區(qū)域所在的象限直觀地看出．[典例]若α是第一象限角，eq\f(α,3)是第幾象限角？[解析]∵k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴k·120°＜eq\f(α,3)＜k·120°＋30°(k∈Z)．法一(分類討論)：當(dāng)k＝3n(n∈Z)時(shí)，n·360°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋30°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第一象限角；當(dāng)k＝3n＋1(n∈Z)時(shí)，n·360°＋120°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋150°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第二象限角；當(dāng)k＝3n＋2(n∈Z)時(shí)，n·360°＋240°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋270°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第三象限角．綜上可知：eq\f(α,3)是第一、二或第三象限角．法二(幾何法)：如圖，先將各象限分成3等份，再從x軸的非負(fù)半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上1,2,3,4，則標(biāo)有1的區(qū)域即為eq\f(α,3)終邊所落在區(qū)域，故e