731離散型隨機變量的均值（分層作業(yè)）2022-2023學年高二數(shù)學（人教A版2019選修第三冊）

7.3.1離散型隨機變量的均值（分層作業(yè)）（夯實基礎+能力提升）【夯實基礎】一、單選題1．（2022春·江蘇常州·高二?？计谀┫铝姓f法正確的是（

）A．離散型隨機變量的均值是上的一個數(shù)B．離散型隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平C．若離散型隨機變量的均值，則D．離散型隨機變量的均值【答案】B【分析】利用離散型隨機變量的均值的定義即可判斷選項AB；結合離散型隨機變量的均值線性公式即可判斷選項C；由離散型隨機變量的均值為即可得D選項.【詳解】對于，離散型隨機變量的均值是一個常數(shù)，不一定在上，故錯誤，對于B，散型隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，故B正確，對于C，離散型隨機變量的均值，則，故C錯誤，對于D，離散型隨機變量的均值，故D錯誤．故選：B．2．（2022春·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學校考期中）某項上機考試的規(guī)則是：每位學員最多可上機考試3次，一旦通過，則停止考試；否則一直到3次上機考試結束為止.某學員一次上機考試通過的概率為，考試次數(shù)為X，若X的數(shù)學期望，則p的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)獨立重復實驗的概率計算方法求出隨機變量X的分布列，根據(jù)數(shù)學期望的公式即可計算p的范圍.【詳解】考試次數(shù)的所有可能取值為1，2，3，，，，∴，即，解得或，又，故．故選：B.3．（2022春·河南南陽·高二鄧州市第一高級中學校?？计谀┮慌_機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺機器生產(chǎn)出甲等、乙等和次品的概率分別為0.6、0.3和0.1，則這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預期可獲利（

）A．36元 B．37元 C．38元 D．39元【答案】B【分析】根據(jù)離散型隨機變量的分布列，即可根據(jù)期望的公式進行求解.【詳解】由題意可得：設這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利X，則X可能取的數(shù)值為50，30，，所以X的分布列為：，，，所以這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預期可獲利為：（元）故選：B4．（2022春·北京順義·高二統(tǒng)考期末）已知離散型隨機變量X的分布列如下表，則X的數(shù)學期望等于（

）X012P0.2a0.5A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3【答案】D【分析】根據(jù)分布列的性質求出，再根據(jù)期望公式計算可得；【詳解】解：依題意可得，解得，所以；故選：D5．（2023秋·遼寧·高二遼河油田第二高級中學校考期末）在采用五局三勝制（先取得三局勝利的一方，獲得最終勝利）的籃球總決賽中，當甲隊先勝2場時，因疫情暴發(fā)不得不中止比賽.已知甲?乙兩隊水平相當，每場甲?乙勝的概率都為，總決賽的獎金為80萬元，總決賽的勝者獲得全部獎金.根據(jù)我們所學的概率知識，甲隊應分得的獎金為（

）萬元.A．80 B．70 C．50 D．40【答案】B【分析】獎金額的值為0和80，計算出概率后由期望公式計算出期望即得．【詳解】設甲隊應分得的獎金為萬元，則，80，.故選：B．二、多選題6．（2022春·河北承德·高二校聯(lián)考階段練習）已知隨機變量X的分布列如下表所示．若，則（

）X01PmnA． B． C． D．【答案】AC【分析】利用概率性質即可列方程組求得m、n，則可利用定義求得期望【詳解】依題意得，解得，，，故選：AC．7．（2022春·廣東·高二校聯(lián)考階段練習）若隨機變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)隨機變量服從兩點分布推出，根據(jù)公式先計算出、，由此分別計算四個選項得出結果．【詳解】隨機變量服從兩點分布，其中，，，，在A中，，故A正確；在B中，，故B正確；在C中，，故C錯誤；在D中，，故D正確．故選：ABD．三、填空題8．（2023秋·遼寧營口·高二統(tǒng)考期末）擲一枚質地均勻的骰子，若將擲出的點數(shù)記為得分，則得分的均值為______.【答案】【分析】根據(jù)離散形隨機變量的均值直接求出.【詳解】設得分為，則可能的取值為1,2,3,4,5,6，且，其中，則得分的均值為，故答案為：9．（2022春·山西呂梁·高二?？计谥校┮阎x散型隨機變量X的分布列如下表，則_________.X01P【答案】【分析】根據(jù)分布列利用期望的公式求解即可.【詳解】解：由分布列可知，故答案為：.10．（2022·高二課時練習）若某一隨機變量X的分布為，且，則實數(shù)______．【答案】6【分析】根據(jù)概率和為1可得，根據(jù)期望的公式即可求解.【詳解】由分布列可知：，又故答案為：611．（2022春·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）某棉紡廠為檢測生產(chǎn)的棉花質量，從一批棉花中隨機抽取了根棉花纖維測量它們的長度棉花纖維的長度是棉花質量的一個重要指標，所測得數(shù)據(jù)都在區(qū)間單位：中，其頻率分布直方圖如圖所示，現(xiàn)從這一批棉花中任取根棉花纖維，其中長度超過的棉花纖維數(shù)量為，則的均值為______．【答案】##【分析】，計算出樣本中長度超過的棉花纖維的數(shù)量，求出從這一批棉花中任取根棉花纖維，其中長度超過的棉花纖維的概率，再根據(jù)的可能取值為，，，，求期望即可．【詳解】解：長度超過的棉花纖維共有：根，現(xiàn)從這一批棉花中任取根棉花纖維，其中長度超過的棉花纖維的概率為，從這一批棉花中任取根棉花纖維，其中長度超過的棉花纖維數(shù)量為，則的可能取值為，，，，因為,故故答案為：．12．（2022春·山西呂梁·高二校聯(lián)考期中）將一個各面都涂了油漆的正方體切割為27個同樣大小的小正方體，經(jīng)過充分攪拌后，從中隨機取1個小正方體，記它的油漆面數(shù)為，則__________.【答案】2【分析】根據(jù)題意得出的所有可能取值為，根據(jù)涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的小正方體的個數(shù)，計算取每個值時的概率，從而求出的值．【詳解】的所有可能取值為，涂3面油漆的小正方體有8個；涂2面油漆的小正方體有12個；涂1面油漆的小正方體有6個；涂0面油漆的小正方體有1個；則，，，，所以．故答案為：2．13．（2023·高二課時練習）已知隨機變量的分布為，則______．【答案】13【分析】根據(jù)分布列求出數(shù)學期望，再用公式即可求得的值.【詳解】解：由隨機變量的分布為，可得，所以.故答案為：13.14．（2023·高二單元測試）在擲一枚圖釘?shù)碾S機試驗中，令，若隨機變量的分布為，則___________.【答案】##【分析】根據(jù)分布列的性質可求得，根據(jù)數(shù)學期望公式可求得結果.【詳解】，，.故答案為：.四、解答題15．（2023秋·遼寧營口·高二統(tǒng)考期末）某一部件由4個電子元件按如圖方式連接而成，4個元件同時正常工作時，該部件正常工作，若有元件損壞則部件不能正常工作，每個元件損壞的概率為，且各個元件能否正常工作相互獨立.(1)當時，求該部件正常工作的概率；(2)使用該部件之前需要對其進行檢測，有以下2種檢測方案：方案甲：將每個元件拆下來，逐個檢測其是否損壞，即需要檢測4次；方案乙：先將該部件進行一次檢測，如果正常工作則檢測停止，若該部件不能正常工作則需逐個檢測每個元件；進行一次檢測需要花費a元.①求方案乙的平均檢測費用；②若選方案乙檢測更劃算，求p的取值范圍.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)題意利用獨立事件的概率乘法公式運算求解；（2）①根據(jù)題意求方案乙的分布列和期望；②以期望的大小為依據(jù)，列式運算求解.【詳解】（1）各個元件能正常工作的概率均為，且4個元件正常工作相互獨立，4個元件同時正常工作的概率為即該部件正常工作的概率為（2）①設X為檢測費用，則有：當部件正常工作時，只需檢測一次，則，，當部件正不能常工作時，需檢測5次，則，，所以X的分布列為Xa5aP故方案乙的平均檢測費用為；②方案甲的平均檢測費用為4a，若選方案乙檢測更劃算，則，因為，且，解得，故p的取值范圍是.16．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第九中學?？计谀┈F(xiàn)有甲、乙兩個靶．某射手向甲靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊一次，命中的概率為，命中得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結果相互獨立．假設該射手完成以上三次射擊．(1)求該射手恰好命中兩次的概率；(2)求該射手的總得分的分布列及數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】(1)由題意可得恰好命中兩次包含甲靶擊中兩次且乙靶不中和甲靶擊中一次和乙靶擊中即可求得答案；(2)依據(jù)題意可知的所有可能取值為，求出對應的概率，再根據(jù)期望公式計算即可.【詳解】（1）設“該射手恰好命中兩次”為事件，．（2）由題意可得：；；；；，所以的分布列為：01234所以．17．（2022春·云南·高二統(tǒng)考期末）甲?乙兩個同學進行答題比賽，比賽共設三個題目，每個題目勝方得1分，負方得0分，沒有平局.比賽結束后，總得分高的同學獲得冠軍.已知甲在三個題目中獲勝的概率分別為，各題目的比賽結果相互獨立.(1)求乙同學獲得冠軍的概率；(2)用表示甲同學的總得分，求的分布列與期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】(1)根據(jù)乙同學獲得冠軍，則乙至少2個題目中獲勝，分類討論求概率即可；(2)根據(jù)甲獲勝題目數(shù)對應得分，求出概率，列出分布列求解.【詳解】（1）設乙在三個題目中獲勝的事件依次記為，所以乙同學獲得冠軍的概率為.（2）依題可知，的可能取值為，所以，，，.即的分布列為0123期望.【能力提升】一、單選題1．（2022春·河南三門峽·高二校考階段練習）體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學生最多可發(fā)球3次，一次發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設學生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學期望，則P的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算學生每次發(fā)球的概率，求出期望的表達式，求解，可解出值.【詳解】根據(jù)題意，學生一次發(fā)球成功的概率為p，即，發(fā)球次數(shù)為2即二次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為3的概率為，則期望，依題意有，即，解得或，結合p的實際意義，可得.故選：C．2．（2022秋·河南南陽·高二南陽市第五中學校?？茧A段練習）某實驗測試的規(guī)則是：每位學生最多可做實驗3次，一旦實驗成功，則停止實驗，否則一直做到3次為止.設某學生一次實驗成功的概率為，實驗次數(shù)為隨機變量，若的數(shù)學期望，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得到X的所有可能取值為1,2,3，再求出相應概率，計算得到X的數(shù)學期望，得到不等式后求解即可.【詳解】X的所有可能取值為1,2,3，，，，由，解得或，又因為，所以.故選：A.3．（2022春·安徽·高二校聯(lián)考期末）數(shù)軸的原點處有一個質點，每隔一秒向左或向右移動一個單位，向左移動的概率為，向右移動的概率為，設三秒后質點的坐標為隨機變量（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可能的取值為，分別求出其概率，由期望的公式可得答案.【詳解】可能的取值為，，即質點向左平移3次，則，，即質點向左平移2次，向右平移1次，則，，即質點向左平移1次，向右平移2次，則，即質點向右平移3次，則所以.故選：A4．（2022春·湖北襄陽·高二統(tǒng)考期末）已知一個盒子里裝有大小相同的個紅球和個白球，從中依次不放回地取出個球，則取出的這個球中所包含白球個數(shù)的數(shù)學期望是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設取出的個球中白球個數(shù)為，計算出隨機變量在不同取值下的概率，即可計算得出的值.【詳解】設取出的個球中白球個數(shù)為，則的可能取值有、、、，則，，，，因此，.故選：D.二、多選題5．（2023·全國·高二專題練習）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為，恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為，則下列結論正確的是（

）A．，B．數(shù)列是等比數(shù)列C．數(shù)列是等比數(shù)列D．的數(shù)學期望【答案】ACD【分析】利用已知條件求出，，推出即可判斷選項A；推出，得到說明數(shù)列是等比數(shù)列，再利用期望的公式求解即可判斷.【詳解】由題知，，，且，；則，；故A正確；由上可得，故，則數(shù)列是等比數(shù)列，故B錯誤，C正確；且；則，故D正確.故選:ACD.6．（2022春·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）一種疾病需要通過核酸檢測來確定是否患病，檢測結果呈陰性即沒患病，呈陽性即為患病，已知7人中有1人患有這種疾病，先任取4人，將他們的核酸采樣混在一起檢測.若結果呈陽性，則表明患病者為這4人中的1人，然后再逐個檢測，直到能確定患病者為止；若結果呈陰性，則在另外3人中逐個檢測，直到能確定患病者為止.則（

）A．最多需要檢測4次可確定患病者B．第2次檢測后就可確定患病者的概率為C．第3次檢測后就可確定患病者的概率為D．檢測次數(shù)的期望為【答案】AB【分析】根據(jù)題意，利用相互獨立事件的概念及概率乘法公式，結合隨機變量分布列的期望公式，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，當患病者在混檢的4人中時，第2次和第3次都未檢測出患病者，則需要進行第4次檢測，第4次可能檢測到患者，若第4次還是陰性，則剩下未測者為患者，所以最多要檢測4次可確定患病者，若患病者不在混檢的4人中時，最多再檢測2次就可確定患者，所以A正確；對于B中，第2次檢測后就可確定患病者有兩種情況：（1）患者在混檢中并在逐個檢測時第1次抽到他；（2）患者不在混檢中并在逐個檢測時第1次抽到他，其概率為，所以B正確；對于C中，第3次檢測后可確定患病者有兩種情況：1.患者在混檢中并在逐個檢測時第2次抽到他；2.患者不在混檢中并在逐個檢測時第1次末抽到他，其概率為，所以錯誤；對于D中，設檢測次數(shù)為隨機變量，則其分布列為234所以，故D錯誤.故選：AB.三、填空題7．（2023·高二課時練習）一位射手向靶射擊，直到命中為止，每次命中的概率均為0.6，現(xiàn)有4發(fā)子彈，則命中后剩余子彈的數(shù)目的期望______．【答案】【分析】由題意可知：X=0，1，2，3，計算出對應的概率，再由期望的計算公式即可得答案.【詳解】解：由題意可知：X=0，1，2，3，當X=0時，表示前三次都沒有射中，第四次還要射擊，但結果不計，所以；當X=1時，表示前兩次都沒有射中，第三次射中，所以；當X=2時，表示第一次沒有擊中，第二次擊中，所以；P(X=0)=0.43；當X=3時，表示第一次擊中，所以；所以.故答案為：8．（2022春·吉林·高二校聯(lián)考期末）一個袋中共有5個大小形狀完全相同的紅球、黃球和綠球，其中黃球有1個．每次從袋中拿一個小球，不放回，拿出黃球即停．記拿出的綠球個數(shù)為，且，則隨機變量的數(shù)學期望______．【答案】####1.5【分析】討論綠球的個數(shù)n，結合可得，進而知可能值為，求出對應的概率，即可求期望.【詳解】設綠球共有n個，當，紅球有3個，則，不符合；當，紅球有2個，則，不符合；當，紅球有1個，則，符合；所以紅球有1個，黃球有1個，綠球有3個，故可能值為，且，，，，所以.故答案為：9．（2022春·北京·高二首都師范大學附屬中學?？计谥校?臺甲型彩電和2臺乙型彩電中不放回地抽3次，每次抽取1臺，設抽取的乙型彩電臺數(shù)為，則________．【答案】##1.2【分析】確定的取值，計算每個取值的概率，可得分布列，求得期望.【詳解】設抽取的乙型彩電臺數(shù)為，取值可能為：0,1,2，則則，，；所以的分布列為：012；故答案為四、解答題10．（2023秋·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）本次數(shù)學考試中共有12個選擇題，每小題5分，共60分，在每小題給出的A，B，C，D四個選項中，只有一項是符合題目要求的．本次考試的12個選擇題中，甲同學會其中的10個，另外2個題只能隨意猜；乙同學會其中的9個，其它3個題中有2個題各能排除2個錯誤選項，另外1個題能排除1個錯誤選項．(1)設甲同學在本次考試中選擇題得分為，求的分布列及均值；(2)設乙同學在本次考試中選擇題得分為，求的分布列及均值；(3)求甲同學和乙同學在本次考試中選擇題得分相同的概率．【答案】(1)分布列見解析，；(2)分布列見解析，；(3).【分析】(1)由條件求隨機變量的所有可能取值，確定取各值的概率，即可確定其分布列和均值；(2)由條件求隨機變量的所有可能取值，確定取各值的概率，即可確定其分布列和均值；(3)利用概率乘法公式和加法公式求概率.【詳解】（1）由已知隨機變量的可能取值為50,55,60，，，，所以隨機變量的分布列為505560；（2）由已知隨機變量的可能取值為45,50,55,60，，，，，所以隨機變量的分布列為45505560；（3）因為，，，所以甲同學和乙同學在本次考試中選擇題得分相同的概率.11．（2023秋·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）伴隨經(jīng)濟的飛速發(fā)展，中國全民健身賽事活動日益豐富，公共服務體系日趨完善．據(jù)相關統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%，城鄉(xiāng)居民達到《國民體質測定標準》合格以上的人數(shù)比例達到90%以上．健身之于個人是一種自然而然的習慣，之于國家與民族，則是全民健康的基礎柱石之一．小王每天17∶00—18∶00都會參加一項自己喜歡的體育運動，運動項目有籃球、羽毛球兩種．已知小王當天參加的運動項目只與前一天參加的運動項目有關，在前一天參加某類運動項目的情況下，當天參加各類運動項目的概率如下表所示：前一天當天籃球羽毛球籃球0.40.6羽毛球0.60.4(1)已知小王第一天打籃球，則他第三天做哪項運動的可能性較大？(2)已知小王參加這兩種體育運動一小時的能量消耗如下表所示：運動項目籃球羽毛球能量消耗（卡）500400問：要讓小王前三天參加體育運動能量消耗總數(shù)的期望較大，小王第一天該參加哪項體育運動？（請用數(shù)據(jù)說明）【答案】(1)打籃球(2)打籃球【分析】（1）根據(jù)小王第一天打籃球，先求出第二天分別參加運動項目的概率，再由此分別計算第三天分別參加運動項目的概率，再通過比較大小，即可求解；（2）分兩種情況討論，小王第一天打籃球或打羽毛球，確定前三天的運動項目安排方法，寫出運動能量消耗總數(shù)的所有可能取值，分別求出對應的概率，再結合期望公式，通過比較大小，即可求解．【詳解】（1）設分別表示打籃球，打羽毛球運動項目，分別表示第天進行運動項目的概率，小王第一天打籃球，小王第二天所做運動項目的概率分別為：，小王第三天所做運動項目的概率分別為：，，，故小王第三天打籃球的可能性較大．（2）若小王第一天打籃球，前三天的運動項目安排有：共4種，運動能量消耗總數(shù)用表示，所有可能取值為1500，1400，1300，，，，故(卡)；若小王第一天打羽毛球，前三天的運動項目安排有：共4種，運動能量消耗總數(shù)用表示，所有可能取值為1400，1300，1200，，，，故(卡)，，故小王第一天應該參加打籃球體育運動．12．（2023秋·遼寧葫蘆島·高二葫蘆島第一高級中學?？计谀┠彻居媱澷徺I2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．(1)求X的分布列；(2)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應選用哪個？【答案】(1)答案見解析(2)應選【分析】（1）由柱狀圖，易得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，分別求得其相應概率，列出分布列；（2）購買零件所需費用含兩部分：一部分為購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用，結合（1）分別求出、時費用的期望即可下結論.【詳解】（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為，從而所以的分布列為16171819202122（2）記表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)，當時，當時，可知當時所需費用的期望值小于時所需費用的期望值，故應選．13．（2023春·江蘇南京·高二?？奸_學考試）甲、乙兩隊同學利用課余時間進行籃球比賽，規(guī)定每一局比賽中獲勝方記為2分，失敗方記為0分，沒有平局.誰先獲得8分就獲勝，比賽結束.假設每局比賽甲隊獲勝的概率為.(1)求比賽結束時恰好打了6局的概率；(2)若現(xiàn)在是甲隊以的比分領先，記表示結束比賽所需打的局數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學期望為【分析】（1）分類討論打完六局后甲勝與乙勝兩種情況，利用獨立事件的概率乘法公式即可得解；（2）根據(jù)題意，分析接下去的對局數(shù)量，從而得到的可能取值，再利用獨立事件的概率乘法公式求得各取值的概率，由此求得的分布列和數(shù)學期望.【詳解】（1