專題10立體幾何平行歸類（原卷版）

專題10立體幾何平行歸類目錄TOC\o"11"\h\u【題型一】線線平行：中位線法 2【題型二】線線平行：平行四邊形法 3【題型三】“等分線法”證明線面平行 4【題型四】平行四邊形法證線面平行 5【題型五】無交線證明平行 6【題型六】存在型：線面平行 7【題型七】存在型：面面平行 7【題型八】翻折中的平行 8【題型九】平行應(yīng)用：異面直線所成的角 9培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 10培優(yōu)第二階——能力提升練 11培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 12結(jié)束 13綜述：一、平行關(guān)系的判定及性質(zhì)定理：(1)線∥面的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．(簡記為“線線平行?線面平行”)∵l∥a，a?α，l?α∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行．(簡記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b∴l(xiāng)∥b(2)面∥面的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．(簡記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α∴α∥β性質(zhì)定理兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行(簡記為“面面平行?線線平行”)∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b∴a∥b注意：面面平行性質(zhì)公理：兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意直線與另一個平面平行，(簡記為“面面平行?線面平行”)二、平行構(gòu)造的常用方法： ①三角形中位線法； ②平行四邊形線法； ③比例線段法.注意：平行構(gòu)造主要用于：①異面直線求夾角； ②平行關(guān)系的判定.三、異面直線平行線法求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．【題型一】線線平行：中位線法【典例分析】如圖，空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、CD的中點，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點，且，求證：直線EH與直線FG平行．【變式訓(xùn)練】1.如圖1所示，在梯形中，，，分別為，的中點，將平面沿翻折起來，使到達(dá)的位置（如圖2），，分別為，的中點，求證:四邊形為平行四邊形.圖1

圖22.如圖，P是△ABC所在平面外一點，D、E分別是△PAB和△PBC的重心．求證：DE//AC，.【題型二】線線平行：平行四邊形法【典例分析】如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）求證：．【變式訓(xùn)練】1.如圖，面ABEF⊥面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，，，G、H分別是FA、FD的中點．（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；（2）C、D、E、F四點是否共面？為什么？2.在如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中點，求證：(1)；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.【題型三】“等分線法”證明線面平行【典例分析】如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點．(1)證明：平面(2)過三點的一個平面，截三棱柱得到一個截面，畫出截面圖，說明理由并求截面面積．【變式訓(xùn)練】如圖，四棱臺的上底面和下底面分別是邊長為2和4的正方形，側(cè)棱上的一點E滿足．(1)證明：平面；(2)若，且在平面ABCD的正投影落在線段CD上，求四棱臺的體積．【題型四】平行四邊形法證線面平行【典例分析】如圖所示，三棱柱，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱底面，點分別是棱上的點，點是線段上的動點，．(1)當(dāng)點M在何位置時，平面?(2)若平面，求與所成的角的余弦值．【變式訓(xùn)練】1.如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中點．(1)求證：BC∥AD；(2)求證：CE∥平面PAB．2.如圖，分別是圓臺上、下底的圓心，為圓O的直徑，以O(shè)B為直徑在底面內(nèi)作圓E，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，連接BC交圓E于點為圓臺的母線，．(1)證明：//平面；(2)若，求C到平面的距離．【題型五】無交線證明平行【典例分析】如圖，為圓錐的頂點，為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，是的中點，四邊形為正方形．設(shè)平面平面，證明：；【變式訓(xùn)練】1.如圖，在三棱錐中，是正三角形，平面分別為，上的點，且．已知．(1)設(shè)平面平面，證明：平面；(2)求五面體的體積．2.如圖，四棱錐中，，，點為上一點，為，且平面.(1)若平面與平面的交線為，求證：平面；(2)求證：.【題型六】存在型：線面平行【典例分析】如圖，在四棱錐中，平面底面，底面為平行四邊形，.(1)求證：；(2)在棱上是否存在點，使得平面？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.【變式訓(xùn)練】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為棱的中點，平面與棱交于點F．(1)求證：平面；(2)求證：F為的中點；(3)在棱上是否存在點N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【題型七】存在型：面面平行【典例分析】如圖，四棱錐中，，，為的中點．(1)求證：平面.(2)在線段上是否存在一點，使得平面平面？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練】在長方體中，，P為的中點．已知過點的平面與平面平行，平面與直線分別相交于點M，N，請確定點M，N的位置；【題型八】翻折中的平行【典例分析】如圖甲，在四邊形中，，．現(xiàn)將沿折起得圖乙，點是的中點，點是的中點．(1)求證：平面；(2)在圖乙中，過直線作一平面，與平面平行，且分別交、于點、，注明、的位置，并證明．【變式訓(xùn)練】如圖（1），點E是直角梯形ABCD底邊CD上的一點，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，將沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，連接CD和BD，如圖（2）．(1)求證：平面平面BCD；(2)在線段BD上確定一點F，使得平面ADE.【題型九】平行應(yīng)用：異面直線所成的角【典例分析】如圖，在正方體中，，，分別是棱，，的中點，又為的中點．(1)求證：平面平面；(2)求直線與所成角的余弦值；【變式訓(xùn)練】已知三棱錐中，△ABC，△ACD都是等邊三角形，，E，F(xiàn)分別為棱AB，棱BD的中點，G是△BCE的重心．(1)求異面直線CE與BD所成角的余弦值；(2)求證：FG平面ADC．分階培優(yōu)分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點．(1)求證：平面MNQ∥平面PAD；(2)求證：BC∥l．2．如圖，在正方體中，為中點，與平面交于點．(1)求證：面；(2)求證：為的中點．3．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點．(1)求證：QN∥平面PAD；(2)記平面CMN與底面ABCD的交線為l，試判斷直線l與平面PBD的位置關(guān)系，并證明．培優(yōu)第二階——能力提升練1．如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，平面，，，G在上，且．(1)求證：平面；(2)若與所成的角為，求多面體的體積．2．（1）如圖，在三棱柱中，是的中點．求證：平面；（2）如圖，在三棱錐中，為的中點，為的中點，點在上，且．求證：平面．3．如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別是棱，AC的中點．(1)判斷多面體是否為棱柱并說明理由；(2)求多面體的體積；(3)求證：平面平面AB1D．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．如圖所求，四棱錐，底面為平行四邊形