專題06導數(shù)的應用（原卷版）

專題06導數(shù)的應用真題特點分析：1.【2022年中科大3】已知，（1）求滿足什么條件恒成立。（2）若存在,使得則滿足什么條件。2【2021年清華4】恰有一個實數(shù)使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（）．A． B． C． D．3.【2020年清華17．】已知函數(shù)，則的最大值與最小值的和是（）．A．2 B． C．3 D．4二、知識要點拓展一．導數(shù)的定義：設函數(shù)在點的某個鄰域內有定義，若極限（*）存在，則稱函數(shù)在點可導，并稱其極限值為函數(shù)在的導數(shù)，記作。若令，則（*）式可改寫為。二．導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點的導數(shù)是曲線在點處切線的斜率。若表示這個切線與軸正向的夾角，則。三．基本求導法則：①；②，（為常數(shù)）；③；④反函數(shù)導數(shù)；⑤復合函數(shù)導數(shù)。四．基本初等函數(shù)導數(shù)公式①（為常數(shù)）；②（為任何實數(shù)）；③，，，，，；④，；⑤；⑥。五.原函數(shù)：設是定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在函數(shù)，對任意都有，則稱是的一個原函數(shù)。一個函數(shù)若存在原函數(shù)，它必定有無窮多個原函數(shù)，若是的一個原函數(shù)，則表示的全體原函數(shù).六．不定積分：設是的一個原函數(shù)，則稱的全體原函數(shù)為的不定積分。記為，即。七.不定積分的性質：①；②，③，④。八．常見積分公式，，，，，，，，。九．函數(shù)的單調性：若函數(shù)在內可導，則在內遞增（遞減）的充要條件是（），。三、典例精講類型一：導數(shù)的定義例1．已知在處可導，且，求下列極限：（1）；（2）練習1：若函數(shù)在區(qū)間內可導，且則的值為（）A．B．C．D．練習2：（2000上海交大）已知在處可導，則。類型二：基本初等函數(shù)的導數(shù)例2．求函數(shù)的導數(shù)。練習3.,若,則的值等于（）例3．函數(shù)的導數(shù)為_________________；例4．求函數(shù)的導數(shù)。例5．觀察，，，是否可判斷，可導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。類型三：導數(shù)證明不等式例6．求證下列不等式（1）（相減）（2）（相除）（3）例7．已知函數(shù)，，（1）證明：當時，恒有（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍;。類型四：利用導數(shù)求和例8．利用導數(shù)求和：（1）；（2）。類型五：導數(shù)與數(shù)列的綜合應用例9．已知函數(shù)，是方程的兩個根，是的導數(shù)；設，（n=1,2,……）（1）求的值；（2）證明：對任意的正整數(shù)，都有；（3）記（），求數(shù)列的前項和。四、強基真題訓練1.若，則（）A．B．C．D．2.（上海交大）設，則（）2（B）2（C）4（D）43.與是定義在R上的兩個可導函數(shù)，若,滿足,則與滿足（）A．B．為常數(shù)函數(shù)C． D．為常數(shù)函數(shù)4.若,則等于（）A． B．C． D．5.若函數(shù)的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)的圖象是（）6.于上可導的任意函數(shù)，若滿足，則必有（）A．B.C.D.7.函數(shù)在點處的導數(shù)是()A．B．C．D．8.設(是兩兩不等的常數(shù)),則的值是______________.9.證明下面不等式：（1）已知：，求證；（2）已知：，求證：。10.已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的最大值；（Ⅱ）當時，求證:11.設的定義域為,的導函數(shù)為,且對任意正數(shù)均有，(Ⅰ)判斷函數(shù)在上的單調性；(Ⅱ)設，，比較與的大小，并證明你的結論；（Ⅲ）設，，，若，比較與的大小，并證明你的結論.12.設函數(shù).(Ⅰ)當x=6時,求的展開式中二項式系數(shù)最大的項;(Ⅱ)對任意的實數(shù)x,證明＞(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,試證明你的結論并求出a的值;若不存在,請說明理由.五、強化訓練A組1.函數(shù)的極小值、極大值分別為（）A.極小值0，極大值4B.極小值16，極大值4C.極小值1，極大值4D.極小值0，極大值12.設，則（）A.B.C.D.3.函數(shù)的單調遞減區(qū)間為____________4.若四次函數(shù)有四個根，則它的導函數(shù)有多少個根？5.若方程有3個不同實根，求實數(shù)的取值范圍6.已知三次方程只有一個實根是正的，求的取值范圍7.已知函數(shù)（1）判斷函數(shù)的奇偶性（2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍8.已知三次曲線的圖象關于點中心對稱（1）求常數(shù)（2）若曲線與直線相切，求曲線的方程B組1.一元三次函數(shù)的三次項系數(shù)為，的解集為（1）若有兩個相等實根，求的解析式（2）若在上單調遞減，求的取值范圍2.設三次函數(shù)，在處取得極值，其圖象在處的切線的斜率為（1）求證：（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求的取值范圍3.已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中，設兩曲線，有公共點，且在公共點處的切線相同（1）若，求的值（2）用表示，并求的最大值4.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在其定義域內為單調函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)的圖像在處的切線的斜率為0，且，已知，求證：；六、高考真題訓練1．(2022高考北京卷·第20題)已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調性；(3)證明：對任意，有．2．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(理)·第21題)已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則環(huán)．3．(2022年浙江省高考數(shù)學試題·第22題)設函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經過點．證明：(ⅰ)若，則；(ⅱ)若，則．(注：是自然對數(shù)的底數(shù))4．(2022新高考全國II卷·第22題)已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．5．(2022新高考全國I卷·第22題)已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．6．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(理)·第21題)已知函數(shù)(1)當時，求曲線在點處切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．7．(2021年高考浙江卷·第22題)設a，b為實數(shù)，且，函數(shù)(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；(3)當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足．(注：是自然對數(shù)的底數(shù))8．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第22題)已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)從下面兩個條件中選一個，證明：有一個零點①；②．9．(2021年新高考Ⅰ卷·第22題)已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．10．(2021年高考全國乙卷理科·第20題)設函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．(1)求a；(2)設函數(shù)．證明:．11．(2021年高考全國甲卷理科·第21題)已知且，函數(shù)．(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．12．(2021高考北京·第19題)已知函數(shù)．(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若在處取得極值，求的單調區(qū)間，以及其最大值與最小值．13．(2020年高考課標Ⅰ卷理科·第21題)已知函數(shù)．(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；(2)當x≥0時，f(x)≥x3+1，求a的取值范圍．14．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第21題)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x．(1)討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調性；(2)證明：；(3)設n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤15．(2020年高考課標Ⅲ卷理科·第21題)設函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．(1)求b．(2)若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．16．(2020年新高考全國Ⅰ卷(山東)·第21題)已知函數(shù)．(1)當時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a取值范圍．17．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學(海南)·第22題)已知函數(shù)．(1)當時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．18．(2020天津高考·第20題)已知函數(shù)，為的導函數(shù)．(Ⅰ)當時，(i)求曲線在點處的切線方程；(ii)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；(Ⅱ)當時，求證：對任意的，且，有．19．(2020北京高考·第19題)已知函數(shù)．(Ⅰ)求曲線的斜率等于的切線方程；(Ⅱ)設曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．20．(2019年高考浙江·第22題)已知實數(shù)，設函數(shù)，．(Ⅰ)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；(Ⅱ)對任意均有，求的取值范圍．注：為自然對數(shù)的底數(shù)．21．(2019年高考天津理·第20題)設函數(shù)為的導函數(shù)．(Ⅰ)求的單調區(qū)間；(Ⅱ)當時，證明；(Ⅲ)設為函數(shù)在區(qū)間內的零點，其中，證明．22．(2019年高考全國Ⅲ理·第20題)已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)是否存在，使得在區(qū)間最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由．23．(2019年高考全國Ⅱ理·第20題)已知函數(shù)．討論的單調性，并證明有且僅有兩個零點；設是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線．24．(2019年高考全國Ⅰ理·第20題)已知函數(shù)，為的導數(shù)．證明：(1)在區(qū)間存在唯一極大值點；(2)有且僅有2個零點．25．(2019年高考江蘇·第19題)設函數(shù)、為的導函數(shù)．(1)若，，求的值；(2)若，且和的零點均在集合中，求的極小值；(3)若，且的極大值為，求證:．26．(2019年高考北京理·第19題)已知函數(shù)．(Ⅰ)求曲線的斜率為1的切線方程；(Ⅱ)當時，求證：；(Ⅲ)設，記在區(qū)間上的最大值為，當最小時，求a的值．27．(2018年高考數(shù)學江蘇卷·第19題)(本小題滿分16分)記分別為函數(shù)的導函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“S點”．(1)證明：函數(shù)與不存在“S點”；(2)若函數(shù)與存在“S點”，求實數(shù)a的值；(3)已知函數(shù)，．對任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內存在“S點”，并說明理由．28．(2018年高考數(shù)學浙江卷·第22題)(本題滿分15分)已知函數(shù)．(1)若在處導數(shù)相等，證明：；(2)若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點．29．(2018年高考數(shù)學天津(理)·第20題)(本小題滿分14分)已知函數(shù)，，其中．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，證明；(3)證明當時，存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線．30．(2018年高考數(shù)