湖南省郴州市2025屆高三上學期第一次模擬考試數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省郴州市2025屆高三上學期第一次模擬考試數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A=x∈N∣2x2?x?15≤0,B=A.{x∣?1≤x≤1} B.{0,1}

C.{?1,0,1} D.{1}2.已知集合A={z|z=in+1inA.1 B.2 C.3 D.43.已知向量a=1,2，向量b滿足b=2，若a⊥b，則向量a?A.255 B.54 4.已知a，b均為正實數(shù)，且滿足1a+3b=2，則A.2 B.22 C.25.設a，b為正實數(shù)，則“a>b”是“2a>log2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.函數(shù)fx=sin2xA.?π2,?π3 B.?π7.已知過點Pa+1,b+1的直線l與圓M:(x?a)2+(y?b)2=4交于A.23 B.3 C.8.某學生家長為繳納該學生上大學時的教育費，于2018年8月20號從銀行貸款a元，為還清這筆貸款，該家長從2019年起每年的8月20號便去銀行償還相同的金額，計劃恰好在貸款的m年后還清，若銀行按年利率為p的復利計息(復利：即將一年后的貸款利息也納入本金計算新的利息)，則該學生家長每年的償還金額是(

)A.

am B.ap(1+p)m+1(1+p)m+1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在流行病學中，基本傳染數(shù)R0是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù).初始感染者傳染R0個人為第一輪傳染，第一輪被傳染的R0個人每人再傳染R0個人為第二輪傳染，….假設某種傳染病的基本傳染數(shù)R0=4，平均感染周期為7A.第三輪被傳染人數(shù)為16人

B.前三輪被傳染人數(shù)累計為80人

C.每一輪被傳染的人數(shù)組成一個等比數(shù)列

D.被傳染人數(shù)累計達到1000人大約需要35天10.已知雙曲線C：x2a2?y2=1a>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C右支上的動點，過P作兩漸近線的垂線，垂足分別為AA.雙曲線C的離心率e=233

B.PA?PB為定值

C.|AB|的最小值為3

D.若直線y=k1x+m與雙曲線C的漸近線交于M、N兩點，點D為11.已知f(x)=2sin(ωx+φ)(其中ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是(

)A.f(x)=2sin4x+π3

B.|f(x)|的

最小正周期為π2

C.不等式f(x)≥1的解集為x|?π24+kπ2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)fx滿足fx=fx+4，當x∈?1,3時，fx=2x+a，且13.某公園有一座摩天輪，其旋轉(zhuǎn)半徑30米，最高點距離地面70米，勻速運行一周大約18分鐘.某人在最低點的位置坐上摩天輪，則第3分鐘時，他距地面大約為

米.

14.如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且NM=xAB+yAD+zAP，PM=2MC，PN=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sinBsinA+sinAsinB?4cosC=0．

(1)證明：a2+b2=216.(本小題15分)已知數(shù)列an滿足a(1)求an(2)求數(shù)列an2n+2的前n項和T17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，其中AD//BC，AD=3，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，且PA=3，點M在棱PD上，點N為BC中點．

(1)證明：若DM=2MP，直線MN//平面PAB;

(2)求二面角C?PD?N的正弦值;

(3)是否存在點M，使NM與平面PCD所成角的正弦值為26?若存在，求出PMPD的值;若不存在，說明理由．18.(本小題17分)

如圖，已知橢圓C1:x22+y2=1，雙曲線C2:x22?y2=1(x>0).P是C1的右頂點，過P作直線l1分別交C1和C2于點A，C，過(Ⅰ)若直線AB過橢圓C1的右焦點，求k1(Ⅱ)若k1?k219.(本小題17分)已知函數(shù)fx=ae(1)當a=1時，判斷函數(shù)fx在區(qū)間?(2)令gx=f′x，若函數(shù)gx在區(qū)間(3)求證：當a≥1時，fx≥0．參考答案1.B

2.C

3.C

4.B

5.A

6.B

7.D

8.D

9.CD

10.ABD

11.ACD

12.?7,?5∪13.25

14.2315.(1)證明：由正弦定理及條件可得ba+ab?4cosC=0，

由余弦定理可得b2+a2ab?4?a2+b2?c22ab=0，

整理得：a2+b2=2c2，得證；

(2)解：由余弦定理得

cosB=a16.解：(1)當n=1時，a1當n≥2時，由a1+a則ann=n?因為a1也符合上式，所以a(2)由(1)可知，an則Tn則2T兩式相減得?T則Tn

17.解：(1)證明：如圖所示，在線段AD上取一點Q，使AQ=13AD，連接MQ，NQ，

∵DM=2MP，∴QM//AP，

又AD=3，AB=BC=2，AD/?/BC，點N為BC的中點，

∴AQ//BN且AQ=BN，四邊形ABNQ為平行四邊形，

∴NQ//AB，又NQ∩MQ=Q，AB∩AP=A，

∴平面MNQ/?/平面PAB，

∵MN?平面MNQ，

∴MN/?/平面PAB;

(2)如圖所示，以點A為坐標原點，以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系，

則B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)，P(0,0,3)，

又N是BC中點，則N(2,1,0)，

所以PD=(0,3,?3)，CD=(?2,1,0)，DN=(2,?2,0)，

設平面PCD的法向量n1=(x1,y1,z1)，則PD?n1=3y1?3z1=0,CD?n1=?2x1+y1=0,

令x1=1，則n1=(1,2,2)，

設平面PND的法向量n2=(x2,y2,z2)，

則PD?n2=3y2?3z2=0,DN?n2=2x2?2y2=0,令x2=1，則n218.解：(Ⅰ)依題意AB斜率不為0，P點坐標為P2,0，橢圓C1的右焦點為(1,0)

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB方程為x=my+1，

聯(lián)立直線AB與橢圓方程x=my+1x22+y2=1，

消去x得(m2+2)y2+2my?1=0，

Δ=4m2+4(m2+2)=8m2+8>0恒成立，

y1+y2=?2mm2+2，y1y2=?1m2+2，

x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，

x1x2=(my1+1)(my2+1)=?2m2+2m2+2，

所以k1?k2=y1x1?2·y2x2?2=y1y2x1x2?2(x1+x2)+2=?3+219.解：(1)a=1時，fx顯然，f′x在區(qū)間?所以f′x<f′0所以fx在區(qū)間?(2)gx=f′x即g′x=ae令aex+2記?x=?2cosxex?′x易知?′x>0在0,π2