《4.5.3 函數(shù)模型的應(yīng)用》作業(yè)設(shè)計(jì)方案

《4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用》作業(yè)設(shè)計(jì)方案一、作業(yè)目標(biāo)通過作業(yè)讓同學(xué)們更好地掌握函數(shù)模型在實(shí)際生活中的應(yīng)用，鞏固指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，提高同學(xué)們運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，同時(shí)考慮到不同學(xué)習(xí)能力的同學(xué)，分層布置作業(yè)，激發(fā)大家對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。二、作業(yè)分層設(shè)計(jì)（一）基礎(chǔ)題（適合全體同學(xué)，預(yù)計(jì)完成時(shí)間30分鐘）1、選擇題（1）某種商品進(jìn)貨單價(jià)為40元，若按50元一個(gè)銷售，能賣出50個(gè)；若銷售單價(jià)每漲1元，銷售量就減少1個(gè)。為了獲得最大利潤(rùn)，此商品的最佳銷售單價(jià)應(yīng)定為（）A.70元B.65元C.60元D.55元（2）已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y（單位：萬(wàn)件）與月份x之間滿足關(guān)系y＝a0.5＾x＋b，現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬(wàn)件、1.5萬(wàn)件，則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為（）A.1.75萬(wàn)件B.1.8萬(wàn)件C.1.85萬(wàn)件D.1.9萬(wàn)件2、填空題（1）有一組數(shù)據(jù)如下：｜x|1|2|3|4|｜｜｜｜｜｜y|2|4|8|16|根據(jù)這些數(shù)據(jù)，可以推測(cè)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y＝2＾x。（2）一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的質(zhì)量約是原來(lái)的75%，若使該物質(zhì)的剩留量為原來(lái)的1／3，則大約需要經(jīng)過log＿｛0.75}（1／3)年（結(jié)果保留1位小數(shù)）。3、簡(jiǎn)答題（1）假設(shè)你有1000元錢要存入銀行，銀行的年利率為3%，按照復(fù)利計(jì)算（每年的利息計(jì)入下一年的本金），5年后你能取出多少錢？請(qǐng)寫出計(jì)算過程。答：根據(jù)復(fù)利計(jì)算公式A＝P(1＋r)＾n，其中P＝1000元，r＝3%＝0.03，n＝5。則5年后能取出的錢數(shù)為：A＝1000（1＋0.03)＾5＝10001.159274＝1159.274元（2）某產(chǎn)品的成本C（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：件）之間的函數(shù)關(guān)系為C＝1000＋20x＋0.01x＾2，當(dāng)產(chǎn)量x＝100時(shí)，求成本C的值。答：將x＝100代入函數(shù)關(guān)系中，可得：C＝1000＋20100＋0.01100＾2＝1000＋2000＋100＝3100元（二）提高題（適合中等及以上水平同學(xué)，預(yù)計(jì)完成時(shí)間30分鐘）1、選擇題（1）已知函數(shù)y＝a＾x（a＞0且a≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4)，則函數(shù)y＝log＿｛a}（x＋1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（）A.（0,0)B.（1,0)C.（0,1)D.（1,1)（2）某公司為了激勵(lì)員工，計(jì)劃在未來(lái)5年內(nèi)每年年初發(fā)放獎(jiǎng)金，獎(jiǎng)金發(fā)放金額與上一年年末公司的利潤(rùn)有關(guān)。設(shè)第n年年初發(fā)放的獎(jiǎng)金為a?元，公司第n1年年末的利潤(rùn)為x???元，且a?＝0.1x???＋500（n≥2），已知公司第1年年末的利潤(rùn)為10000元，則第5年年初發(fā)放的獎(jiǎng)金為（）A.1500元B.1600元C.1700元D.1800元2、填空題（1）若函數(shù)y＝log＿｛2}（x＾2ax＋3a)在2,＋∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－4,4。（2）已知函數(shù)f(x)＝a＾xb＾x（a＞0，b＞0，a≠b），若f(1)＝f(2)＝2，則f(3)＝12。3、簡(jiǎn)答題（1）一個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)量P（單位：人）與時(shí)間t（單位：年）之間的關(guān)系可以用函數(shù)P＝P?e＾（kt)來(lái)表示，其中P?是初始人口數(shù)量，k是一個(gè)常數(shù)。已知小鎮(zhèn)初始人口為10000人，經(jīng)過5年后人口變?yōu)?2000人。①求常數(shù)k的值；②10年后這個(gè)小鎮(zhèn)的人口數(shù)量是多少？答：①將P?＝10000，t＝5，P＝12000代入函數(shù)P＝P?e＾（kt)中，得到：12000＝10000e＾（5k)，兩邊同時(shí)除以10000得：1.2＝e＾（5k)，對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得：ln1.2＝5k，解得k＝ln1.2／5≈0.0365。②當(dāng)t＝10時(shí)，將P?＝10000，k＝0.0365代入函數(shù)中，可得：P＝10000e＾（0.036510)＝10000e＾0.365≈14396人。（2）某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為5000元，每生產(chǎn)1件產(chǎn)品增加成本100元，設(shè)產(chǎn)品的產(chǎn)量為x件，總成本為y元，銷售收入為R元，且R＝0.5x＾2＋400x。①寫出總成本y與產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)開始盈利（即銷售收入大于總成本）？答：①總成本y與產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝5000＋100x。②要使企業(yè)盈利，則R＞y，即：0.5x＾2＋400x＞5000＋100x，移項(xiàng)得到：0.5x＾2300x＋5000＜0，對(duì)于二次函數(shù)z＝0.5x＾2300x＋5000，其判別式Δ＝（－300)＾240.55000＝9000010000＝80000，由求根公式可得兩根為：x?＝（300√80000)／1＝300200√2≈117.2，x?＝（300＋√80000)／1＝300＋200√2≈482.8，所以當(dāng)產(chǎn)量大于117件且小于482件時(shí)，企業(yè)開始盈利。（三）拓展題（適合學(xué)有余力的同學(xué)，預(yù)計(jì)完成時(shí)間30分鐘）1、論述題請(qǐng)?jiān)敿?xì)論述指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)等不同學(xué)科領(lǐng)域中的應(yīng)用實(shí)例，并分析它們是如何通過函數(shù)模型來(lái)解決實(shí)際問題的。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，例如在計(jì)算復(fù)利時(shí)會(huì)用到指數(shù)函數(shù)。假設(shè)你有一筆初始資金P元，年利率為r，經(jīng)過n年，按照復(fù)利計(jì)算，資金總額A就可以用指數(shù)函數(shù)A＝P(1＋r)＾n來(lái)表示。這個(gè)模型可以幫助投資者預(yù)測(cè)在不同利率和投資年限下的收益情況，以便做出合理的投資決策。在生物學(xué)中，種群增長(zhǎng)模型有時(shí)候會(huì)用到指數(shù)函數(shù)。如果一個(gè)種群在理想環(huán)境下，沒有資源限制、沒有天敵等因素影響，其種群數(shù)量N與時(shí)間t的關(guān)系可以近似表示為N＝N?e＾（rt)，其中N?是初始種群數(shù)量，r是種群的增長(zhǎng)率。這有助于生物學(xué)家研究種群的增長(zhǎng)趨勢(shì)，預(yù)測(cè)未來(lái)種群數(shù)量，以便對(duì)瀕危物種的保護(hù)或者對(duì)有害生物的控制做出決策。在物理學(xué)中，放射性物質(zhì)的衰變可以用指數(shù)函數(shù)來(lái)描述。設(shè)放射性物質(zhì)的初始質(zhì)量為m?，衰變常數(shù)為λ，經(jīng)過時(shí)間t后，剩余質(zhì)量m可以表示為m＝m?e＾（λt)。通過這個(gè)模型，物理學(xué)家可以研究放射性物質(zhì)的半衰期等特性，對(duì)于核能利用、放射性物質(zhì)的處理等方面有著重要意義。對(duì)數(shù)函數(shù)在不同學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用。在化學(xué)中，pH值的計(jì)算用到對(duì)數(shù)函數(shù)，pH＝log??H?，這里H?是氫離子濃度。通過這個(gè)公式，化學(xué)家可以方便地表示溶液的酸堿度，并且根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究酸堿中和等反應(yīng)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，對(duì)于一些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的分析，如果數(shù)據(jù)呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)或衰減的趨勢(shì)，為了更好地觀察數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，有時(shí)會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)進(jìn)行分析。例如，研究某國(guó)的GDP增長(zhǎng)情況，取對(duì)數(shù)后可以更清晰地看到增長(zhǎng)的速度變化等情況。2、實(shí)驗(yàn)報(bào)告利用函數(shù)模型模擬細(xì)菌繁殖的實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^建立函數(shù)模型來(lái)模擬細(xì)菌繁殖的過程，加深對(duì)指數(shù)函數(shù)的理解。實(shí)驗(yàn)材料：計(jì)算器、記錄紙、筆。實(shí)驗(yàn)步驟：1、假設(shè)初始有100個(gè)細(xì)菌，細(xì)菌的繁殖速度是每小時(shí)繁殖為原來(lái)的2倍。2、建立函數(shù)模型：設(shè)經(jīng)過t小時(shí)后細(xì)菌的數(shù)量為y個(gè)，則y＝1002＾t。3、分別計(jì)算t＝1、2、3、4、5時(shí)細(xì)菌的數(shù)量，并記錄在表格中。｜t（小時(shí)）｜y（個(gè)）｜｜｜｜｜1|200|｜2|400|｜3|800|｜4|1600|｜5|3200|4、根據(jù)表格數(shù)據(jù)，繪制函數(shù)圖象。5、分析圖象和數(shù)據(jù)，得出關(guān)于細(xì)菌繁殖的結(jié)論，如繁殖速度隨著時(shí)間呈指數(shù)增長(zhǎng)等。3、調(diào)查報(bào)告調(diào)查你身邊的一種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象（如股票價(jià)格波動(dòng)、某種商品的價(jià)格變化等），嘗試建立函數(shù)模型來(lái)描述這種現(xiàn)象，并分析模型的合理性和局限性。調(diào)查對(duì)象：某品牌手機(jī)的價(jià)格變化。調(diào)查過程：1、收集數(shù)據(jù)：通過查詢網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)、手機(jī)專賣店等渠道，收集該品牌手機(jī)在過去6個(gè)月內(nèi)每個(gè)月的平均價(jià)格。｜月份|價(jià)格（元）｜｜｜｜｜1|3000|｜2|2800|｜3|2600|｜4|2500|｜5|2400|｜6|2300|2、建立函數(shù)模型：觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)價(jià)格呈現(xiàn)近似線性下降的趨勢(shì)，設(shè)月份為x，價(jià)格為y，建立一次函數(shù)模型y＝kx＋b。選取兩點(diǎn)(1,3000)和(6,2300)，計(jì)算斜率k：k＝（23003000)／（61)＝140，將點(diǎn)(1,3000)代入函數(shù)得：3000＝1401＋b，解得b＝3140，所以函數(shù)模型為y＝140x＋3140。3、模型分析：合理性：這個(gè)模型在一定程度上能夠描述該品牌手機(jī)價(jià)格在這6個(gè)月內(nèi)的下降趨勢(shì)，可以用于短期的價(jià)格預(yù)測(cè)。例如，可以預(yù)測(cè)下一個(gè)月的價(jià)格大致為y＝1407＋3140＝2160元。局限性：但實(shí)際生活中，手機(jī)價(jià)格的影響因素很多，如新款手機(jī)發(fā)布、市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)、促銷活動(dòng)等，這個(gè)簡(jiǎn)單的線性模型不能完全準(zhǔn)確地反映價(jià)格的變化。長(zhǎng)期來(lái)看，可能需要更復(fù)雜的函數(shù)模型，如考慮二次函數(shù)或者加入其他影響因素的多元函數(shù)模型等。三、作業(yè)中的趣味元素1、在基礎(chǔ)題的選擇題中，我們可以把每一個(gè)選項(xiàng)當(dāng)成一個(gè)小冒險(xiǎn)。比如在商品定價(jià)求利潤(rùn)的題目中，每個(gè)選項(xiàng)就像是不同的定價(jià)策略，讓同學(xué)們感覺像是在做一個(gè)商業(yè)小決策，充滿了挑戰(zhàn)和趣味。2、在提高題中，對(duì)于函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)的問題，可以想象函數(shù)圖象是一個(gè)神秘的地圖，而點(diǎn)就是地圖上的寶藏，同學(xué)們要通過函數(shù)的性質(zhì)這個(gè)“尋寶線索”來(lái)找到寶藏（正確答案）。3、在拓展題的論述題中，讓同學(xué)們像是在講述一個(gè)關(guān)于函數(shù)的神奇故事，在不同學(xué)科領(lǐng)域中，函數(shù)如何像超級(jí)英雄一樣解決各種各樣的問題。4、在實(shí)驗(yàn)報(bào)告中，把細(xì)菌繁殖的過程想象成一場(chǎng)小小的生物戰(zhàn)爭(zhēng)，細(xì)菌們以指數(shù)增長(zhǎng)的方式在“擴(kuò)張領(lǐng)土”，而同學(xué)們就是記錄這場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)進(jìn)程的小科學(xué)家。5、在調(diào)查報(bào)告中，把調(diào)查的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象當(dāng)成一個(gè)神秘的經(jīng)濟(jì)謎題，同學(xué)們要通過收集數(shù)據(jù)、建立模型來(lái)解開這個(gè)謎題，就像偵探破案一樣有趣。四、作業(yè)量和難度總體把控整個(gè)作業(yè)分為三個(gè)層次，基礎(chǔ)題主要是鞏固課堂上所學(xué)的函數(shù)模型的基本概念和簡(jiǎn)單計(jì)算，難度較低，大多數(shù)同學(xué)能夠在30分鐘內(nèi)輕松完成。提高題在基礎(chǔ)題的基礎(chǔ)上增加了一些難度，需要同學(xué)們對(duì)函數(shù)知識(shí)有更深