《3.7 可化為一元一次方程的分式方程》作業(yè)設計方案

《3.7可化為一元一次方程的分式方程》作業(yè)設計方案【設計理念與目的】咱這個作業(yè)設計呢，是按照青島版（2012）八年級上冊第3章分式里3.7可化為一元一次方程的分式方程的教學要求來的。就像咱們生活里好多事兒都有一定的規(guī)則和步驟一樣，數(shù)學也有它的規(guī)則，分式方程這部分就是要讓同學們學會把復雜的分式方程轉化成簡單的一元一次方程來求解。咱得讓同學們通過做這些作業(yè)，既掌握基礎知識，又能在生活里碰到類似問題的時候知道咋解決。這就好比是學騎自行車，得先知道咋上車、咋蹬踏板、咋拐彎兒，熟練了就能滿大街跑了?！咀鳂I(yè)重點】1、掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法，這個就像掌握騎自行車的基本動作一樣重要。要知道咋把分式方程變成一元一次方程，然后順利地解出來。2、理解分式方程產生增根的原因。這就好比騎車的時候知道為啥有時候會摔跟頭，得弄清楚背后的原因才能避免。3、能夠應用分式方程解決實際生活中的問題，就像騎車是為了出門辦事兒一樣，數(shù)學知識得在生活里有用處?！咀鳂I(yè)難點】1、準確找出分式方程中的最簡公分母，這就像在一堆東西里找到關鍵的那個物件兒一樣不容易。最簡公分母找錯了，后面的計算就全亂套了。2、正確檢驗分式方程的解，特別是對增根的判斷。這就像檢查自行車有沒有毛病，得仔仔細細的，不然騎到半道兒出問題就麻煩了。3、把實際問題轉化為分式方程的數(shù)學模型，這就像把生活里的事兒用數(shù)學的語言表達出來，好多同學在這兒就犯迷糊?！咀鳂I(yè)設計原則】1、漸進性原則：作業(yè)就像上樓梯，得一步一步來。先從簡單的開始，讓同學們慢慢熟悉分式方程的解法，然后再增加難度，就像從一樓慢慢爬到更高的樓層。2、實用性原則：作業(yè)里的題目得和生活相關，不能光是干巴巴的數(shù)字。就像咱講的騎自行車的例子，得讓同學們感覺到數(shù)學在生活里無處不在。3、趣味性原則：不能讓作業(yè)太枯燥，得像玩游戲一樣有點樂趣。這樣同學們才愿意做，就像玩游戲的時候都很投入一樣。4、創(chuàng)新性原則：鼓勵同學們多想辦法，不能總是按照老一套來解題。就像騎自行車，有時候換個路線可能更有趣或者更快到達目的地?！咀鳂I(yè)內容】作業(yè)一：復習鞏固1、填空(1)分式方程\(\frac{2}{x+1}=1\)的最簡公分母是\(x+1\)。(2)若分式方程\(\frac{1}{x-2}+\frac{k}{x+2}=\frac{4}{x^{2}-4}\)有增根，則增根可能是\(x=2\)或者\(x=-2\)。2、把下列分式方程化為整式方程（不用求解）(1)分式方程\(\frac{3}{x}=\frac{2}{x-1}\)，兩邊同乘\(x(x-1)\)可化為整式方程：\(3(x-1)=2x\)。(2)分式方程\(\frac{x}{x-3}+1=\frac{1}{x-3}\)，兩邊同乘\(x-3\)可化為整式方程：\(x+(x-3)=1\)。3、我來講個事兒啊。有一次我去買水果，蘋果的價格是每斤\(x\)元，我花了\(10\)元錢買了\(\frac{10}{x}\)斤蘋果。后來發(fā)現(xiàn)另一家店蘋果每斤便宜\(1\)元，那在另一家店\(10\)元能買\(\frac{10}{x-1}\)斤蘋果。如果我在第一家店買的蘋果比在第二家店少\(2\)斤，那這個事兒就可以用分式方程來表示：\(\frac{10}{x-1}-\frac{10}{x}=2\)。同學們試著把這個分式方程化為整式方程吧。4、對于分式方程\(\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}\)，回答以下問題：(1)它的最簡公分母是\(x(x-3)\)。(2)化為整式方程是\(2x=3(x-3)\)。作業(yè)二：基礎練習1、解下列分式方程：(1)分式方程\(\frac{1}{x}=\frac{2}{x+3}\)解：方程兩邊同乘\(x(x+3)\)得：\(x+3=2x\)移項得：\(2x-x=3\)解得：\(x=3\)檢驗：當\(x=3\)時，\(x(x+3)=3\times(3+3)=18\neq0\)所以\(x=3\)是原分式方程的解。(2)分式方程\(\frac{x}{x-1}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}\)解：方程兩邊同乘\((x-1)(x+2)\)得：\(x(x+2)-(x-1)(x+2)=3\)展開括號得：\(x^{2}+2x-(x^{2}+2x-x-2)=3\)即：\(x^{2}+2x-x^{2}-2x+x+2=3\)合并同類項得：\(x+2=3\)解得：\(x=1\)檢驗：當\(x=1\)時，\((x-1)(x+2)=(1-1)(1+2)=0\)所以\(x=1\)是增根，原分式方程無解。2、口頭作業(yè)給同桌講講分式方程增根是怎么產生的。就像你給小伙伴講你玩游戲為啥輸了一樣，要講得清楚明白。3、我再給大家說個事兒。我家附近有個小工廠，原來生產一種零件，每個零件的成本是\(x\)元，每天能生產\(100\)個，那每天的成本就是\(100x\)元。后來改進了技術，成本降低了\(5\)元，每天能生產的零件數(shù)量增加了\(10\)個，變成了\(110\)個?，F(xiàn)在每天的成本是\((x-5)\times110\)元。如果改進技術前后成本不變，那這個事兒可以列出分式方程：\(\frac{100x}{110(x-5)}=1\)。同學們回家后試著解這個方程。作業(yè)三：鞏固練習1、解下列分式方程：(1)分式方程\(\frac{3}{x-2}+\frac{1}{x+2}=\frac{8}{x^{2}-4}\)解：方程兩邊同乘\((x-2)(x+2)\)得：\(3(x+2)+(x-2)=8\)展開括號得：\(3x+6+x-2=8\)合并同類項得：\(4x+4=8\)移項得：\(4x=4\)解得：\(x=1\)檢驗：當\(x=1\)時，\((x-2)(x+2)=(1-2)(1+2)=-3\neq0\)所以\(x=1\)是原分式方程的解。(2)分式方程\(\frac{2x}{x+1}-\frac{x-1}{x}=1\)解：方程兩邊同乘\(x(x+1)\)得：\(2x^{2}-(x-1)(x+1)=x(x+1)\)展開括號得：\(2x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}+x\)即：\(2x^{2}-x^{2}+1=x^{2}+x\)移項得：\(2x^{2}-x^{2}-x^{2}-x=-1\)合并同類項得：\(-x=-1\)解得：\(x=1\)檢驗：當\(x=1\)時，\(x(x+1)=1\times(1+1)=2\neq0\)所以\(x=1\)是原分式方程的解。2、實踐作業(yè)找一個生活中的場景，比如購物、運動等，然后根據(jù)這個場景列出一個分式方程，并把它解出來。就像我們之前講的買水果和小工廠的例子一樣。然后把這個過程寫下來，包括場景描述、方程列出、求解過程和檢驗過程。3、有一個分式方程\(\frac{k}{x-1}+\frac{3}{1-x}=1\)，當\(x=2\)時是這個方程的解，求\(k\)的值。解：把\(x=2\)代入原方程得：\(\frac{k}{2-1}+\frac{3}{1-2}=1\)即：\(k-3=1\)解得：\(k=4\)作業(yè)四：思維訓練1、解下列分式方程（含有參數(shù)）(1)分式方程\(\frac{m}{x+2}+\frac{1}{x-2}=\frac{4}{x^{2}-4}\)（\(m\)為常數(shù)）解：方程兩邊同乘\((x+2)(x-2)\)得：\(m(x-2)+(x+2)=4\)展開括號得：\(mx-2m+x+2=4\)移項合并同類項得：\((m+1)x=2m+2\)當\(m+1\neq0\)，即\(m\neq-1\)時，解得：\(x=2\)檢驗：當\(x=2\)時，\((x+2)(x-2)=(2+2)(2-2)=0\)所以當\(m\neq-1\)時，原分式方程無解。當\(m=-1\)時，方程變?yōu)閈(0x=0\)，方程的解為任意實數(shù)，但要排除增根，所以原分式方程無解。(2)分式方程\(\frac{2a}{x-a}+\frac{1}{x+a}=\frac{3}{x^{2}-a^{2}}\)（\(a\neq0\)為常數(shù)）解：方程兩邊同乘\((x-a)(x+a)\)得：\(2a(x+a)+(x-a)=3\)展開括號得：\(2ax+2a^{2}+x-a=3\)移項合并同類項得：\((2a+1)x=3+a-2a^{2}\)解得：\(x=\frac{3+a-2a^{2}}{2a+1}\)檢驗：當\(x=\frac{3+a-2a^{2}}{2a+1}\)時，只要\((x-a)(x+a)\neq0\)，即\((\frac{3+a-2a^{2}}{2a+1}-a)(\frac{3+a-2a^{2}}{2a+1}+a)\neq0\)原分式方程的解就是\(x=\frac{3+a-2a^{2}}{2a+1}\)。2、論述題說說分式方程在工程問題中的應用。比如一項工程，甲單獨做\(x\)天完成，乙單獨做\(y\)天完成，兩人合作\(z\)天完成的工作量可以用分式方程表示。先講講這個方程怎么列出來的，然后再說說在這種情況下分式方程的特點以及求解時要注意的問題。就像你在給小伙伴解釋游戲里的一個復雜任務一樣，要詳細清楚。3、有一個分式方程\(\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{k}{x^{2}-1}\)，若方程有增根，求\(k\)的值。解：方程兩邊同乘\((x-1)(x+1)\)得：\(3(x+1)+2(x-1)=k\)展開括號得：\(3x+3+2x-2=k\)合并同類項得：\(5x+1=k\)因為方程有增根，所以增根為\(x=1\)或者\(x=-1\)。當\(x=1\)時，\(k=5\times1+1=6\)；當\(x=-1\)時，\(k=5\times(-1)+1=-4\)?！就卣寡由臁?、拓展題目設計(1)解分式方程：\(\frac{1}{x^{2}-3x+2}+\frac{1}{x^{2}-x-2}=\frac{1}{x^{2}-1}\)這個方程的分母需要先進行因式分解，然后再找最簡公分母求解，這就比之前的方程更有挑戰(zhàn)性了。(2)已知分式方程\(\frac{x+a}{x-b}+\frac{x+b}{x-a}=2\)（\(a\neqb\)），求\(x\)的值。這個方程含有兩個參數(shù)，并且方程的結構相對復雜，需要同學們靈活運用分式方程的解法。2、跨學科融合(1)在物理中，根據(jù)歐姆定律\(I=\frac{V}{R}\)（\(I\)是電流，\(V\)是電壓，\(R\)是電阻），如果有兩個電阻\(R_1\)和\(R_2\)串聯(lián)，總電阻\(R=R_1+R_2\)，電壓\(V\)不變。已知通過電阻\(R_1\)的電流為\(I_1=\frac{V}{R_1}\)，通過電阻\(R_2\)的電流為\(I_2=\frac{V}{R_2}\)，如果總電流為\(I\)，可以列出分式方