《2.6.1 雙曲線的標準方程》學習任務單

《2.6.1雙曲線的標準方程》學習任務單“雙曲線及其方程之雙曲線的標準方程”學習單班級：姓名：組號：【學習內(nèi)容】高中人教B版（2019）選擇性必修第一冊第二章平面解析幾何2.6.1雙曲線的標準方程相關內(nèi)容【我的目標】1、能說出雙曲線的定義，就像能清楚地說出自己最喜歡的明星的特征一樣準確。2、會推導雙曲線的標準方程，就像會推導1+1=2那樣熟練。3、能夠正確運用雙曲線的標準方程解決簡單的數(shù)學問題，就像能輕松地用鑰匙打開家門一樣自然?！局仉y點】重點：雙曲線標準方程的推導過程以及理解。難點：根據(jù)雙曲線的定義準確建立坐標系來推導標準方程?！疚业难芯俊恳?、雙曲線的定義探索1、想象一下，我們在一個很大很大的操場上。有兩個小伙伴，一個在操場的左邊某個位置（設為F1），另一個在操場的右邊某個位置（設為F2）?，F(xiàn)在有一個調(diào)皮的小皮球，這個小皮球在操場上滾動，但是呢，它到這兩個小伙伴的距離之差的絕對值是一個定值（假設這個定值是2a，a>0）。那這個小皮球滾動的軌跡就是雙曲線啦?，F(xiàn)在你試著用數(shù)學語言來描述一下雙曲線的定義呢？2、那如果我們改變這個定值2a的大小，你覺得雙曲線的形狀會發(fā)生什么變化呢？是會變得更胖還是更瘦呢？你可以自己在紙上簡單畫一下，感受一下哦。二、雙曲線標準方程的推導1、我們要推導雙曲線的標準方程啦。首先，我們要建立一個坐標系。那怎么建立才好呢？我們以F1和F2所在的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系。設雙曲線的焦距為2c（c>0），那么F1和F2的坐標分別是什么呢？2、設雙曲線上任意一點P（x，y），根據(jù)雙曲線的定義，|PF1-PF2|=2a。那你能根據(jù)兩點間距離公式把PF1和PF2表示出來嗎？PF1=sqrt((x+c)^2+y^2)，PF2=sqrt((x-c)^2+y^2)，然后把|PF1-PF2|=2a這個式子展開化簡一下吧。這個過程可能有點像在解開一個很復雜的謎題哦，不過只要你一步一步來，就一定可以的。3、在化簡的過程中，我們會得到一個很復雜的式子，但是不要害怕。我們可以通過一些數(shù)學技巧來繼續(xù)化簡。比如移項、平方等操作。你能試著把它化簡成雙曲線的標準方程x^2/a^2-y^2/(c^2-a^2)=1的形式嗎？這里面還有一個小知識哦，我們令b2=c2-a2（b>0），這樣雙曲線的標準方程就變成了我們常見的x^2/a^2-y^2/b^2=1啦。你看，經(jīng)過這么多步驟，就像攀登一座山峰一樣，終于到達了山頂，得到了雙曲線的標準方程呢。三、雙曲線標準方程的應用1、現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了雙曲線的標準方程，那我們就來用它解決一些問題吧。比如說，已知雙曲線的焦點在x軸上，焦距是6，雙曲線上一點到兩焦點距離之差的絕對值是4，那你能求出雙曲線的標準方程嗎？按照我們前面推導的思路，先求出a、b、c的值，然后代入標準方程就可以啦。這就像我們知道了做蛋糕的配方，然后按照配方做出美味的蛋糕一樣。2、再看一個問題，如果雙曲線的標準方程是x^2/9-y^2/16=1，那這個雙曲線的焦點坐標是什么呢？實半軸長和虛半軸長分別是多少呢？這個問題就像在一個裝滿寶藏的箱子里找特定的寶物一樣，根據(jù)標準方程的形式，我們就能找到這些答案哦?！窘M內(nèi)過關】（課內(nèi)完成）1、對于雙曲線的定義，下面的說法正確的是（）A.平面內(nèi)到兩個定點的距離之差等于定長的點的軌跡是雙曲線。B.平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于定長（定長小于兩定點間距離）的點的軌跡是雙曲線。C.平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于定長（定長大于兩定點間距離）的點的軌跡是雙曲線。D.平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于定長（定長等于兩定點間距離）的點的軌跡是雙曲線。2、已知雙曲線的焦點在x軸上，中心在原點，且一個焦點坐標為（5，0），實半軸長為3，求雙曲線的標準方程。3、若雙曲線的標準方程為y^2/16-x^2/9=1，求它的焦點坐標、實半軸長、虛半軸長。【當堂檢測】（課內(nèi)完成）1、雙曲線的焦距是10，實軸長是8，求雙曲線的標準方程（分焦點在x軸和y軸兩種情況）。2、已知雙曲線的標準方程為x^2/16-y^2/9=1，雙曲線上一點P到一個焦點的距離為7，求P到另一個焦點的距離。3、若雙曲線的中心在原點，焦點在y軸上，且經(jīng)過點（2，-3），實半軸長為3，求雙曲線的標準方程?！净迎h(huán)節(jié)】1、在小組內(nèi)互相分享一下你在推導雙曲線標準方程時遇到的困難，以及你是怎么克服的。就像分享自己的冒險故事一樣，說不定你的方法能幫助到其他小伙伴呢。2、對于雙曲線標準方程的應用問題，大家一起討論一下有沒有什么更簡便的解題思路?！咀晕以u估方法及標準】自我評估方法：1、對于雙曲線定義的理解，如果能準確無誤地說出定義并且能通過例子解釋清楚，那就說明掌握得很好。如果在描述時有一些小錯誤或者解釋不清楚，那就還需要復習一下。2、在推導雙曲線標準方程時，如果能夠獨立完成推導過程，并且每一步的理由都能說清楚，那就是優(yōu)秀。如果在推導過程中需要一些提示或者有步驟錯誤，那就要加強練習。3、對于應用問題，如果能夠正確解答大部分題目，并且解題思路清晰，那就是掌握得不錯。如果錯誤較多或者解題思路混亂，那就需要重新學習相關知識。標準：1、雙曲線定義部分：回答正確得30分，有小錯誤得20分，錯誤較多得10分。2、標準方程推導部分：獨立正確推導得30分，在提示下完成得20分，推導錯誤得10分。3、應用問題部分：正確解答3題及以上得40分，正確解答2題得30分，正確解答1題得20分，都答錯得10分。答案：【組內(nèi)過關】1、B2、因為焦點在x軸上，中心在原點，一個焦點坐標為（5，0），所以c=5，又實半軸長a=3，根據(jù)c2=a2+b2，可得b2=c2-a2=25-9=16，所以雙曲線的標準方程為x^2/9-y^2/16=1。3、焦點坐標為（0，±5），實半軸長為4，虛半軸長為3?！井斕脵z測】1、因為焦距2c=10，所以c=5，實軸長2a=8，所以a=4，由c2=a2+b2可得b2=9。當焦點在x軸上時，標準方程為x^2/16-y^2/9=1；當焦點在y軸上時，標準方程為y^2/16-x^2/9=1。2、根據(jù)雙曲線的定義，雙曲線上一點到兩焦點距離之差的絕對值等于實軸長2a，由標準方程x^2/16-y^2/9=1可知a=4，設點P到另一個焦點的距離為d，則|7-d|=8，解得d=15或d=-