《2.6.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程》學(xué)習(xí)任務(wù)單

《2.6.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程》學(xué)習(xí)任務(wù)單“雙曲線及其方程之雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”學(xué)習(xí)單班級(jí)：姓名：組號(hào)：【學(xué)習(xí)內(nèi)容】高中人教B版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第二章平面解析幾何2.6.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程相關(guān)內(nèi)容【我的目標(biāo)】1、能說出雙曲線的定義，就像能清楚地說出自己最喜歡的明星的特征一樣準(zhǔn)確。2、會(huì)推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，就像會(huì)推導(dǎo)1+1=2那樣熟練。3、能夠正確運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單的數(shù)學(xué)問題，就像能輕松地用鑰匙打開家門一樣自然?！局仉y點(diǎn)】重點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程以及理解。難點(diǎn)：根據(jù)雙曲線的定義準(zhǔn)確建立坐標(biāo)系來推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程?！疚业难芯俊恳?、雙曲線的定義探索1、想象一下，我們?cè)谝粋€(gè)很大很大的操場上。有兩個(gè)小伙伴，一個(gè)在操場的左邊某個(gè)位置（設(shè)為F1），另一個(gè)在操場的右邊某個(gè)位置（設(shè)為F2）?，F(xiàn)在有一個(gè)調(diào)皮的小皮球，這個(gè)小皮球在操場上滾動(dòng)，但是呢，它到這兩個(gè)小伙伴的距離之差的絕對(duì)值是一個(gè)定值（假設(shè)這個(gè)定值是2a，a>0）。那這個(gè)小皮球滾動(dòng)的軌跡就是雙曲線啦?，F(xiàn)在你試著用數(shù)學(xué)語言來描述一下雙曲線的定義呢？2、那如果我們改變這個(gè)定值2a的大小，你覺得雙曲線的形狀會(huì)發(fā)生什么變化呢？是會(huì)變得更胖還是更瘦呢？你可以自己在紙上簡單畫一下，感受一下哦。二、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)1、我們要推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程啦。首先，我們要建立一個(gè)坐標(biāo)系。那怎么建立才好呢？我們以F1和F2所在的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)雙曲線的焦距為2c（c>0），那么F1和F2的坐標(biāo)分別是什么呢？2、設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)P（x，y），根據(jù)雙曲線的定義，|PF1-PF2|=2a。那你能根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式把PF1和PF2表示出來嗎？PF1=sqrt((x+c)^2+y^2)，PF2=sqrt((x-c)^2+y^2)，然后把|PF1-PF2|=2a這個(gè)式子展開化簡一下吧。這個(gè)過程可能有點(diǎn)像在解開一個(gè)很復(fù)雜的謎題哦，不過只要你一步一步來，就一定可以的。3、在化簡的過程中，我們會(huì)得到一個(gè)很復(fù)雜的式子，但是不要害怕。我們可以通過一些數(shù)學(xué)技巧來繼續(xù)化簡。比如移項(xiàng)、平方等操作。你能試著把它化簡成雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程x^2/a^2-y^2/(c^2-a^2)=1的形式嗎？這里面還有一個(gè)小知識(shí)哦，我們令b2=c2-a2（b>0），這樣雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就變成了我們常見的x^2/a^2-y^2/b^2=1啦。你看，經(jīng)過這么多步驟，就像攀登一座山峰一樣，終于到達(dá)了山頂，得到了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢。三、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用1、現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，那我們就來用它解決一些問題吧。比如說，已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，焦距是6，雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值是4，那你能求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？按照我們前面推導(dǎo)的思路，先求出a、b、c的值，然后代入標(biāo)準(zhǔn)方程就可以啦。這就像我們知道了做蛋糕的配方，然后按照配方做出美味的蛋糕一樣。2、再看一個(gè)問題，如果雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x^2/9-y^2/16=1，那這個(gè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是什么呢？實(shí)半軸長和虛半軸長分別是多少呢？這個(gè)問題就像在一個(gè)裝滿寶藏的箱子里找特定的寶物一樣，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，我們就能找到這些答案哦?！窘M內(nèi)過關(guān)】（課內(nèi)完成）1、對(duì)于雙曲線的定義，下面的說法正確的是（）A.平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于定長的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。B.平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于定長（定長小于兩定點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。C.平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于定長（定長大于兩定點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。D.平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于定長（定長等于兩定點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。2、已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，且一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），實(shí)半軸長為3，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。3、若雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y^2/16-x^2/9=1，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)半軸長、虛半軸長?！井?dāng)堂檢測】（課內(nèi)完成）1、雙曲線的焦距是10，實(shí)軸長是8，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（分焦點(diǎn)在x軸和y軸兩種情況）。2、已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2/16-y^2/9=1，雙曲線上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為7，求P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離。3、若雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過點(diǎn)（2，-3），實(shí)半軸長為3，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程?！净?dòng)環(huán)節(jié)】1、在小組內(nèi)互相分享一下你在推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)遇到的困難，以及你是怎么克服的。就像分享自己的冒險(xiǎn)故事一樣，說不定你的方法能幫助到其他小伙伴呢。2、對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用問題，大家一起討論一下有沒有什么更簡便的解題思路。【自我評(píng)估方法及標(biāo)準(zhǔn)】自我評(píng)估方法：1、對(duì)于雙曲線定義的理解，如果能準(zhǔn)確無誤地說出定義并且能通過例子解釋清楚，那就說明掌握得很好。如果在描述時(shí)有一些小錯(cuò)誤或者解釋不清楚，那就還需要復(fù)習(xí)一下。2、在推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，如果能夠獨(dú)立完成推導(dǎo)過程，并且每一步的理由都能說清楚，那就是優(yōu)秀。如果在推導(dǎo)過程中需要一些提示或者有步驟錯(cuò)誤，那就要加強(qiáng)練習(xí)。3、對(duì)于應(yīng)用問題，如果能夠正確解答大部分題目，并且解題思路清晰，那就是掌握得不錯(cuò)。如果錯(cuò)誤較多或者解題思路混亂，那就需要重新學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)。標(biāo)準(zhǔn)：1、雙曲線定義部分：回答正確得30分，有小錯(cuò)誤得20分，錯(cuò)誤較多得10分。2、標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)部分：獨(dú)立正確推導(dǎo)得30分，在提示下完成得20分，推導(dǎo)錯(cuò)誤得10分。3、應(yīng)用問題部分：正確解答3題及以上得40分，正確解答2題得30分，正確解答1題得20分，都答錯(cuò)得10分。答案：【組內(nèi)過關(guān)】1、B2、因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），所以c=5，又實(shí)半軸長a=3，根據(jù)c2=a2+b2，可得b2=c2-a2=25-9=16，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2/9-y^2/16=1。3、焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±5），實(shí)半軸長為4，虛半軸長為3?！井?dāng)堂檢測】1、因?yàn)榻咕?c=10，所以c=5，實(shí)軸長2a=8，所以a=4，由c2=a2+b2可得b2=9。當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2/16-y^2/9=1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為y^2/16-x^2/9=1。2、根據(jù)雙曲線的定義，雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于實(shí)軸長2a，由標(biāo)準(zhǔn)方程x^2/16-y^2/9=1可知a=4，設(shè)點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為d，則|7-d|=8，解得d=15或d=-