高中數學第二章數列2.3等差數列的前n項和一導學案新人教A版必修5

2.3等差數列的前n項和（一）【教學目標】1.駕馭等差數列前n項和公式及其獲得思路.2.經驗公式的推導過程，體驗從特別到一般的探討方法，學會視察、歸納、反思.3.嫻熟駕馭等差數列的五個量a1，d，n，an，Sn的關系，能夠由其中三個求另外兩個．【教學過程】一、創(chuàng)設情景老師首先提出問題：通過學生對課本的預習，讓學生通過觀看《2.3等差數列的前n項和（一）》課件“情景導入”部分，思索與等差數列前n項和有關的兩個實際問題的解法，從而引發(fā)進一步學習相關學問的愛好.二、自主學習教材整理等差數列的前n項和閱讀教材P42～P44例2，完成下列問題．1．數列的前n項和的概念一般地，稱a1＋a2＋…＋an為數列{an}的前n項和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．等差數列的前n項和公式已知量首項、末項與項數首項、公差與項數求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d三、合作探究問題1高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50快速求出了等差數列前100項的和．但假如是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇數項還是偶數項怎么辦？提示：不知道共有奇數項還是偶數項導致不能配對．但我們可以采納倒序相加來回避這個問題：設Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝eq\f(nn＋1,2).問題2等差數列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3項和S3嗎？提示：S3＝eq\f(3a1＋a3,2)＝3eq\f(a1＋a3,2)＝3a2＝21.問題3我們對等差數列的通項公式變形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通項公式與一次函數的關系．你能類比這個思路分析一下Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d嗎？提示：按n的降冪綻開Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n是關于n的二次函數形式，且常數項為0.問題4假如{an}是等差數列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差數列嗎？提示：(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝＝100d，類似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差數列．探究點1等差數列前n項和公式的應用命題角度1方程思想例1已知一個等差數列{an}的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎？提示：由題意知S10＝310，S20＝1220，將它們代入公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10a1＋45d＝310，,20a1＋190d＝1220，))解方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝6.))∴Sn＝n×4＋eq\f(nn－1,2)×6＝3n2＋n.名師點評：(1)在解決與等差數列前n項和有關的問題時，要留意方程思想和整體思想的運用；(2)構成等差數列前n項和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．命題角度2實際應用例2某人用分期付款的方式購買一件家電，價格為1150元，購買當天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的一個月起先算分期付款的第一個月，則分期付款的第10個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實際花費多少錢？提示：設每次交款數額依次為a1，a2，…，a20，則a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，…a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10個月應付款55.5元．由于{an}是以60為首項，以－0.5為公差的等差數列，所以有S20＝eq\f(60＋60－19×0.5,2)×20＝1105(元)，即全部付清后實際付款1105＋150＝1255(元)．名師點評：建立等差數列的模型時，要依據題意找準首項、公差和項數或者首項、末項和項數．本題是依據首項和公差選擇前n項和公式進行求解．探究點2等差數列前n項和的性質的應用例3(1)等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，求數列{an}的前3m項的和S3m；(2)兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，已知eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(7n＋2,n＋3)，求eq\f(a5,b5)的值．提示：(1)在等差數列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列．∴30,70，S3m－100成等差數列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.(2)eq\f(a5,b5)＝eq\f(\f(1,2)a1＋a9,\f(1,2)b1＋b9)＝eq\f(\f(9a1＋a9,2),\f(9b1＋b9,2))＝eq\f(S9,T9)＝eq\f(7×9＋2,9＋3)＝eq\f(65,12).名師點評：等差數列前n項和Sn的有關性質在解題過程中，假如運用得當可以達到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果．四、當堂檢測1．在等差數列{an}中，若S10＝120，則a1＋a10的值是()A．12B．24C．36D．482．記等差數列的前n項和為Sn，若S2＝4，S4＝20，則該數列的公差d等于()A．2B．3C．6D．73．在一個等差數列中，已知a10＝10，則S19＝________.4．已知等差數列{an}中：(1)a1＝eq\f(3,2)，d＝－eq\f(1,2)，Sn＝－15，求n及an；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.提示：1．B2.B3.1904．解(1)∵Sn＝n×eq\f(3,2)＋(－eq\f(1,2))×eq\f(nn－1,2)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝eq\f(3,2)＋(12－1)×(－eq\f(1,2))＝－4.∴n＝12，an＝a12＝－4.(2)由Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n1－512,2)＝－1022，解得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.五、課堂小結本節(jié)課我們學習過哪些學問內容?提示：1．求等差數列前n項和公式的方法稱為倒序相加法，在某些數列求和中也可能用到．2．等差數列的兩個求和公式中，一共