2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章概率同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊

PAGE單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)(五)(第十章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.下列說法中正確的個(gè)數(shù)為 ()①彩票的中獎(jiǎng)率為千分之一,那么買一千張彩票就確定能中獎(jiǎng);②拋擲一枚勻稱的硬幣,假如前兩次都是反面,那么第三次出現(xiàn)正面的可能性就比反面大;③在袋子中放有2白2黑大小相同的四個(gè)小球,甲乙玩嬉戲的規(guī)則是從中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個(gè)小球,如兩球同色則甲獲勝,否則乙獲勝,那么這種嬉戲是公允的.A.1 B.2 C.3 D.0【解析】選D.對(duì)于①,彩票的中獎(jiǎng)率為千分之一,但買一千張彩票不確定能中獎(jiǎng),故錯(cuò)誤;對(duì)于②,拋擲一枚勻稱的硬幣,假如前兩次都是反面,第三次出現(xiàn)正面的可能性與出現(xiàn)反面一樣大,故錯(cuò)誤;對(duì)于③,在袋子中放有2白2黑大小相同的四個(gè)小球,甲乙玩嬉戲的規(guī)則是從中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個(gè)小球,如兩球同色則甲獲勝,否則乙獲勝,則甲獲勝的概率為QUOTE,那么這種嬉戲是不公允的,故錯(cuò)誤.故說法正確的個(gè)數(shù)為0個(gè).2.奧林匹克會(huì)旗中心有5個(gè)相互套連的圓環(huán),顏色自左至右,上方依次為藍(lán)、黑、紅,下方依次為黃、綠,象征著五大洲.在手工課上,老師將這5個(gè)環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)制作,每人分得1個(gè),則事務(wù)“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是 ()A.對(duì)立事務(wù)B.不行能事務(wù)C.互斥但不對(duì)立事務(wù)D.既不互斥又不對(duì)立事務(wù)【解析】選C.甲、乙不能同時(shí)得到紅色,因而這兩個(gè)事務(wù)是互斥事務(wù);又甲、乙可能都得不到紅色,即“甲或乙分得紅色”的事務(wù)不是必定事務(wù),故這兩個(gè)事務(wù)不是對(duì)立事務(wù).3.已知小紅的錢包中有2枚“壹分”,2枚“貳分”,3枚“伍分”的硬幣,她隨意地從錢包中取出2枚硬幣視察其面值.這一試驗(yàn)的基本領(lǐng)件總數(shù)n等于 ()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】選A.由題意知,基本領(lǐng)件有(1,1),(1,2),(1,5),(2,2),(2,5),(5,5),故6個(gè).4.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件,設(shè)事務(wù)A={抽到一等品},事務(wù)B={抽到二等品},事務(wù)C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.則事務(wù)“抽到的是二等品或三等品”的概率為 ()A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3【解析】選D.由題意知,事務(wù)A、B、C互為互斥事務(wù),記事務(wù)D=“抽到的是二等品或三等品”,則P(D)=P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.2+0.1=0.3.5.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題:糧倉開倉收糧,有人送來米1524石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷56粒,則這批米內(nèi)夾谷約為 ()A.1365石 B.336石 C.168石 D.134石【解析】選B.設(shè)這批米內(nèi)夾谷約為x石,則依據(jù)題意得到QUOTE=QUOTE?x=336.6.甲、乙兩人參與“社會(huì)主義價(jià)值觀”學(xué)問競賽,甲、乙兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率分別為QUOTE和QUOTE,甲、乙兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立,則這兩個(gè)人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.依據(jù)題意,恰有一人獲得一等獎(jiǎng)就是甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得,則所求概率是QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.7.一個(gè)袋子中裝有編號(hào)分別為1,2,3,4的4個(gè)小球,現(xiàn)有放回地摸球,規(guī)定每次只能摸一個(gè)球,若第一次摸到的球的編號(hào)為x,其次次摸到的球的編號(hào)為y,構(gòu)成數(shù)對(duì)(x,y),則全部數(shù)對(duì)(x,y)中滿意xy=4的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由題意可知,兩次摸球得到的全部數(shù)對(duì)(x,y)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2)(4,3),(4,4),共16個(gè),其中滿意xy=4的數(shù)對(duì)有(1,4),(2,2),(4,1),共3個(gè).故所求事務(wù)的概率為QUOTE.8.袋里裝有大小相同的黑、白兩色的手套,黑色手套3只,白色手套2只.現(xiàn)從中隨機(jī)地取出2只手套,假如2只是同色手套則甲獲勝,2只手套顏色不同則乙獲勝.則甲、乙獲勝的機(jī)會(huì)是 ()A.一樣大 B.甲大C.乙大 D.不能確定【解析】選C.乙獲勝的概率為QUOTE,甲獲勝的概率為QUOTE,乙獲勝的概率大于甲獲勝的概率.二、多選題(每小題5分,共20分,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.下列事務(wù)中,是隨機(jī)事務(wù)的為 ()A.在學(xué)校校慶的田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上,學(xué)生張濤獲得1000米跑冠軍B.在明天下午體育課上,體育老師隨機(jī)抽取一名學(xué)生去拿體育器材,抽到李凱C.從標(biāo)有1,2,3,4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?為5號(hào)簽D.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水在0℃時(shí)結(jié)冰【解析】選AB.C是不行能事務(wù),D是必定事務(wù),AB是隨機(jī)事務(wù).10.由閱歷得知,在人民商場付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如表:排隊(duì)人數(shù)012345人及以上概率0.110.160.30.290.10.04則 ()A.有1人或2人排隊(duì)的概率為0.19B.有大于4人排隊(duì)的概率為0.04C.有5人以下排隊(duì)的概率是0.96D.至多有2人排隊(duì)的概率為0.29【解析】選BC.記“沒有人排隊(duì)”為事務(wù)A,“1人排隊(duì)”為事務(wù)B,“2人排隊(duì)”為事務(wù)C,“5人及以上排隊(duì)”為事務(wù)D.A、B、C、D彼此互斥,故有1人或2人排隊(duì)的概率為P(B∪C)=0.16+0.3=0.46;有大于4人排隊(duì)的概率為P(D)=0.04;有5人以下排隊(duì)的概率是P(QUOTE)=1-0.04=0.96;至多有2人排隊(duì)的概率為P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.11+0.16+0.3=0.57.11.某種植園在芒果接近成熟時(shí),隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個(gè)芒果,其質(zhì)量分別在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400](單位:克)中,經(jīng)統(tǒng)計(jì)頻率分布直方圖如圖所示.某經(jīng)銷商來收購芒果,以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值,用樣本估計(jì)總體,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個(gè),經(jīng)銷商提出以下兩種收購方案:方案①:全部芒果以9元/千克收購;方案②:對(duì)質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個(gè)收購,對(duì)質(zhì)量高于或等于250克的芒果以3元/個(gè)收購.則 ()A.抽取的100個(gè)芒果質(zhì)量的平均數(shù)為251B.若按分層隨機(jī)抽樣從質(zhì)量為[200,250),[250,300)的芒果中隨機(jī)抽取5個(gè),再從這5個(gè)中隨機(jī)抽取2個(gè),則這2個(gè)芒果都來自同一個(gè)質(zhì)量區(qū)間的概率為QUOTEC.種植園選擇方案①獲利更多D.種植園選擇方案②獲利更多【解析】選BD.由頻率分布直方圖知,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)QUOTE≈0.07×125+0.15×175+0.20×225+0.30×275+0.25×325+0.03×375=255,A錯(cuò).利用分層隨機(jī)抽樣從這兩個(gè)范圍內(nèi)抽取5個(gè)芒果,則質(zhì)量在[200,250)內(nèi)的芒果有2個(gè),記為a1,a2,質(zhì)量在[250,300)內(nèi)的芒果有3個(gè),記為b1,b2,b3;從抽取的5個(gè)芒果中抽取2個(gè)共有10種不同狀況:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3).記事務(wù)A為“這2個(gè)芒果都來自同一個(gè)質(zhì)量區(qū)間”,則A有4個(gè)樣本點(diǎn):(a1,a2),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),從而P(A)=QUOTE=QUOTE,B正確.方案①收入:y1=QUOTE×10000×9=QUOTE×10000×9=22950(元);方案②:低于250克的芒果收入為(0.07+0.15+0.2)×10000×2=8400(元);不低于250克的芒果收入為(0.25+0.3+0.03)×10000×3=17400(元);故方案②的收入為y2=8400+17400=25800(元).由于22950<25800,所以選擇方案②獲利多,C錯(cuò)D對(duì).12.已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-bx+1,設(shè)集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b得到數(shù)對(duì)(a,b).則 ()A.全部的數(shù)對(duì)(a,b)共有30種可能B.函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)的概率為QUOTEC.使函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增的數(shù)對(duì)(a,b)共有13個(gè)D.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增的概率為QUOTE【解析】選BC.(a,b)有(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共15種狀況.函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)等價(jià)于Δ=b2-4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6種狀況滿意條件.所以函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)的概率為QUOTE=QUOTE.因?yàn)閍>0,函數(shù)y=f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=QUOTE,在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以有QUOTE≤1,滿意條件的(a,b)為(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共13種.所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增的概率為QUOTE.三、填空題(每小題5分,共20分)13.在集合QUOTE中任取一個(gè)元素,所取元素恰好滿意方程cosx=QUOTE的概率是.

【解析】基本領(lǐng)件總數(shù)為10,滿意方程cosx=QUOTE的基本領(lǐng)件數(shù)為3,故所求概率P=QUOTE.答案:QUOTE14.在1,2,3,4四個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)記為a,再在剩余的三個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)記為b,則“QUOTE不是整數(shù)”的概率為,“QUOTE是整數(shù)”的概率為.

【解析】因?yàn)樵?,2,3,4四個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)記為a,再在剩余的三個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)記為b,所以基本領(lǐng)件總數(shù)n=4×3=12.“QUOTE不是整數(shù)”包含的基本領(lǐng)件有QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,共8個(gè),所以“QUOTE不是整數(shù)”的概率為QUOTE=QUOTE.“QUOTE是整數(shù)”與“QUOTE不是整數(shù)”是對(duì)立事務(wù),其概率為1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE15.為了調(diào)查新疆阿克蘇野生動(dòng)物愛護(hù)區(qū)內(nèi)鵝喉羚的數(shù)量,調(diào)查人員逮到這種動(dòng)物400只,標(biāo)記后放回.一個(gè)月后,調(diào)查人員再次逮到該種動(dòng)物800只,其中有標(biāo)記的有2只,估算該愛護(hù)區(qū)有鵝喉羚只.

【解析】設(shè)愛護(hù)區(qū)內(nèi)有鵝喉羚x只,每只鵝喉羚被逮到的概率是相同的,所以QUOTE=QUOTE,解得x=160000.答案:16000016.甲、乙兩位同學(xué)玩嬉戲,對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a1,按下列方法操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù):由甲、乙同時(shí)各擲一枚勻稱的硬幣,假如出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上,則把a(bǔ)1乘以2后再減去6;假如出現(xiàn)一個(gè)正面朝上,一個(gè)反面朝上,則把a(bǔ)1除以2后再加上6,這樣就可得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)a2,對(duì)實(shí)數(shù)a2仍按上述方法進(jìn)行一次操作,又得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)a3,當(dāng)a3>a1時(shí),甲獲勝,否則乙獲勝,若甲勝的概率為QUOTE,則a1的取值范圍是.

【解析】由題意可知,進(jìn)行兩次操作后,可得如下狀況:當(dāng)a3=2(2a1-6)-6=4a1-18時(shí),其出現(xiàn)的概率為QUOTE=QUOTE,當(dāng)a3=QUOTE(2a1-6)+6=a1+3時(shí),其出現(xiàn)的概率為QUOTE=QUOTE,當(dāng)a3=2QUOTE-6=a1+6時(shí),其出現(xiàn)的概率為QUOTE=QUOTE,當(dāng)a3=QUOTE+6=QUOTE+9時(shí),其出現(xiàn)的概率為QUOTE=QUOTE,因?yàn)榧撰@勝的概率為QUOTE,即a3>a1的概率為QUOTE,則滿意QUOTE或QUOTE整理得a1≤6或a1≥12.答案:(-∞,6]∪[12,+∞)四、解答題(共70分)17.(10分)對(duì)一批U盤進(jìn)行抽檢,結(jié)果如表:抽出件數(shù)a50100200300400500次品件數(shù)b345589次品頻率QUOTE(1)計(jì)算表中次品的頻率.(2)從這批U盤中隨意抽取一個(gè)是次品的概率約是多少?(3)為保證買到次品的顧客能夠剛好更換,要銷售2000個(gè)U盤,至少需進(jìn)貨多少個(gè)U盤?【解析】(1)表中次品頻率從左到右依次為0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.(2)當(dāng)抽取件數(shù)a越來越大時(shí),出現(xiàn)次品的頻率在0.02旁邊搖擺,所以從這批U盤中隨意抽取一個(gè)是次品的概率約是0.02.(3)設(shè)須要進(jìn)貨x個(gè)U盤,為保證其中有2000個(gè)正品U盤,則x(1-0.02)≥2000,因?yàn)閤是正整數(shù),所以x≥2041,即至少需進(jìn)貨2041個(gè)U盤.18.(12分)一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相等的1個(gè)白球和已有不同編號(hào)的三個(gè)黑球,從中隨意摸出2個(gè)球.(1)共有多少個(gè)不同的基本領(lǐng)件,這樣的基本領(lǐng)件是否為等可能的?該試驗(yàn)是古典概型嗎?(2)摸出的兩個(gè)球都是黑球記為事務(wù)A,問事務(wù)A包含幾個(gè)基本領(lǐng)件?(3)計(jì)算事務(wù)A的概率.【解析】(1)隨意摸出兩球,共有{白球和黑球1},{白球和黑球2},{白球和黑球3},{黑球1和黑球2},{黑球1和黑球3},{黑求2和黑球3}6個(gè)基本領(lǐng)件.因?yàn)?個(gè)球的大小相同,所以摸出每個(gè)球是等可能的,故6個(gè)基本領(lǐng)件都是等可能事務(wù).由古典概型定義知,這個(gè)試驗(yàn)是古典概型.(2)從4個(gè)球中摸出2個(gè)黑球包含3個(gè)基本領(lǐng)件.即事務(wù)A包含3個(gè)基本領(lǐng)件.(3)因?yàn)樵囼?yàn)中基本領(lǐng)件總數(shù)n=6,而事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)m=3.所以P(A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.19.(12分)計(jì)算機(jī)考試分理論考試與實(shí)際操作考試兩部分,每部分考試成果只記“合格”與“不合格”,兩部分考試都“合格”者,則計(jì)算機(jī)考試“合格”并頒發(fā)“合格證書”.甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為QUOTE,QUOTE,QUOTE,在實(shí)際操作考試中“合格”的概率依次為QUOTE,QUOTE,QUOTE,全部考試是否合格相互之間沒有影響.(1)若甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試,則誰獲得“合格證書”的可能性大?(2)求甲、乙、丙三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后,恰有兩人獲得“合格證書”的概率.【解析】(1)記“甲獲得′合格證書′”為事務(wù)A,“乙獲得′合格證書′”為事務(wù)B,“丙獲得′合格證書′”為事務(wù)C,則P(A)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(B)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(C)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,從而P(C)>P(B)>P(A),所以丙獲得“合格證書”的可能性大.(2)記“甲、乙、丙三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后,恰有兩人獲得′合格證書′”為事務(wù)D,則P(D)=P(ABQUOTE)+P(AQUOTEC)+P(QUOTEBC)=QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.20.(12分)受轎車在保修期內(nèi)的修理費(fèi)等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān),某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車,甲品牌車保修期為3年,乙品牌車保修期為2年,現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌的轎車中分別隨機(jī)抽取50輛,統(tǒng)計(jì)在保修期內(nèi)首次出現(xiàn)故障的車輛數(shù)據(jù)如表:品牌甲乙首次出現(xiàn)故障的時(shí)間x/年0<x≤11<x≤22<x≤3x>30<x≤11<x≤2x>2轎車數(shù)量/輛213442345(1)從該廠生產(chǎn)的甲種品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛,求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率.(2)從該廠生產(chǎn)的乙種品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛,求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率.(注:將頻率視為概率)【解析】(1)設(shè)A,B,C分別表示甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障在第1年,第2年和第3年之內(nèi),設(shè)D表示甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障在保修期內(nèi),因?yàn)锳,B,C是彼此互斥的,其概率分別為P(A)=QUOTE=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(C)=QUOTE,所以P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=QUOTE,即首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為QUOTE.(2)乙品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為QUOTE=QUOTE.21.(12分)(2024·北京高考)某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng),分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)方案:方案一、方案二.為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持,對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡潔隨機(jī)抽樣,獲得數(shù)據(jù)如表:男生女生支持不支持支持不支持方案一200人300人400人100人方案二350人150人250人250人假設(shè)全部學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.(1)分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率;(2)從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人,全體女生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率;(3)將該校學(xué)生支持方案二的概率的估計(jì)值記為p0,假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生,除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為p1,試比較p0與p1的大小.(結(jié)論不要求證明)【解析】(1)樣本中,男生支持方案一的頻率為QUOTE=QUOTE,女生支持方案一的頻率為QUOTE=QUOTE,用樣本估計(jì)總體,用頻率估計(jì)概率,所以估計(jì)該校男生支持方案一的概率為QUOTE,女生支持方案一的概率為QUOTE.(2)記事務(wù)Ai(i=1,2)為抽取的第i個(gè)男生支持,事務(wù)B為抽取的女生支持,則P(Ai)=QUOTE,P(B)=QUOTE,所求概率p=P(A1A2QUOTE+A1QUOTEB+QUOTEA2B)=P(A1A2QUOTE)+P(A1QUOTEB)+P(QUOTEA2B)=QUOTE×QUOTE×(1-QUOTE)+QUOTE×(1-QUOTE)×QUOTE+(1-QUOTE)×QUOTE×QUOTE=QUOTE;(3)p0=QUOTE=