微積分 第3版 課件 第二章 極限與連續(xù)

2.1數(shù)列無(wú)窮小與極限

數(shù)列是指定義在正整數(shù)集上的函數(shù)數(shù)列簡(jiǎn)記為例如,簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為第二章極限與連續(xù)數(shù)列的定義域正整數(shù)集是無(wú)限集,沒有最大正整數(shù).

即對(duì)任意給定的正數(shù)C,總存在正整數(shù)N,使得

依次取

在幾何上,數(shù)列可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

數(shù)列的變化過程包含兩個(gè)相關(guān)的無(wú)限過程:n的主動(dòng)變化過程是自變量n的主動(dòng)變化過程和因變量的被動(dòng)變化過程.即n從1開始,不斷增大(每次加1,無(wú)限重復(fù)).我們將n的這種變化過程稱為n趨于無(wú)窮大,記為考察數(shù)列變化趨勢(shì).對(duì)于數(shù)列我們主要研究當(dāng)時(shí)的是一個(gè)確定的正數(shù),對(duì)任意給定的正數(shù),而在所有正整數(shù)中,大于的正整數(shù)有無(wú)限多個(gè),

我們從中任意選定一個(gè),記之為N,即等價(jià)于都存在正整數(shù)N,于是當(dāng)時(shí),有即數(shù)列從某一項(xiàng)(第N+1項(xiàng))開始,我們把具有這種特征的數(shù)列稱為無(wú)窮小,對(duì)任意給定的,使得

每一項(xiàng)與常數(shù)0的距離都小于

也說它的極限是

定義2.1(數(shù)列極限的定義)

如果使得當(dāng)時(shí),不等式成立,記作設(shè)為數(shù)列,或稱數(shù)列是無(wú)窮小.

則稱當(dāng)時(shí)數(shù)列的極限是0,

如果存在某個(gè)常數(shù)A,使得

則稱當(dāng)時(shí)數(shù)列的極限是A,

或稱數(shù)列收斂于A.

記作如果不存在這樣的常數(shù)A,使得

則稱數(shù)列沒有極限,

或稱數(shù)列發(fā)散.

定理2.1(無(wú)窮小比較定理)

證正整數(shù)

n,

由定義,如果存在正數(shù)C,設(shè)則故對(duì)任意的使得對(duì)于所有證及無(wú)窮小比較定理,有證及無(wú)窮小比較定理,有證及無(wú)窮小比較定理,有練習(xí)證明證注意到及無(wú)窮小比較定理,有由

練習(xí)證明幾何解釋:只有有限個(gè)

(至多有N個(gè))落在其外.2.2函數(shù)無(wú)窮小與極限

2.2.1函數(shù)在一點(diǎn)極限

在數(shù)軸上,常量對(duì)應(yīng)于定點(diǎn),變量對(duì)應(yīng)于動(dòng)點(diǎn).我們用表示自變量x無(wú)限接近但不等于

即且動(dòng)點(diǎn)x到定點(diǎn)的距離無(wú)限接近0.考察函數(shù)和

當(dāng)時(shí),

無(wú)限接近0,無(wú)限接近1,我們說當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限是

0,是無(wú)窮小,也稱當(dāng)時(shí)而函數(shù)的極限是

1.定義2.2(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無(wú)窮小.

記作假設(shè)當(dāng)時(shí),

則稱當(dāng)時(shí)的極限是0,

或稱當(dāng)時(shí),如果A是常數(shù),且

則稱當(dāng)時(shí)的極限是A,

記作由可得其中

C為正數(shù).無(wú)窮小比較定理顯然,

即當(dāng)時(shí),是無(wú)窮小.例2.3證明證因由有例2.4設(shè)證因由

有

證明練習(xí)證明證因而所以例2.5證因不妨設(shè),

顯然有,

證明即,

故.

對(duì),

有

而所以我們用表示點(diǎn)x從的

右側(cè)無(wú)限接近但不等于的過程.我們用表示點(diǎn)x從的

左側(cè)無(wú)限接近但不等于的過程;單側(cè)極限在定義2.2中,把分別改為與就得到

的數(shù)學(xué)定義,

分別稱為f(x)在點(diǎn)的左極限與右極限.等價(jià)于

定理2.2(極限與左、右極限的關(guān)系)

注:也記成

也記成

例2.6證明不存在.由于左、右極限存在但不相等,證所以,不存在.2.2.2函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)的極限考察函數(shù)

我們用表示x無(wú)限地遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn),即無(wú)限增大的過程.

當(dāng)時(shí),無(wú)限增大,因此無(wú)限接近0,

我們說當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限是0,也稱當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小.定義2.3(函數(shù)極限的定義)

有定義.有是無(wú)窮小.

記作假設(shè)當(dāng)時(shí),

則稱當(dāng)時(shí)的極限是0,

或稱當(dāng)時(shí),如果A是常數(shù),且

則稱當(dāng)時(shí)的極限是A,

記作的幾何意義:之內(nèi).函數(shù)的圖形完全落在帶型區(qū)域比較法的思想同樣可以研究自變量趨于無(wú)窮時(shí)由可得其中

C為常數(shù).例2.7證明證由有函數(shù)的極限.其中n為正整數(shù).

不妨設(shè)

當(dāng)時(shí),因例2.8證明證由有當(dāng)時(shí),不妨設(shè)

在定義2.3中,把分別改為與就得到

的數(shù)學(xué)定義.

等價(jià)于

例如,

因此

不存在.

2.2.3極限的性質(zhì)證設(shè)取有即在

的空心鄰域內(nèi)有界.定理2.3(唯一性)若存在,則極限值是唯一的.定理2.4(局部有界性)

若存在,則在x0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有界.由極限的定義

于是定理2.5(局部保號(hào)性)

證只需證第一部分.

不妨設(shè)(1)若因即于是設(shè)則在

的某個(gè)空心鄰域內(nèi)與A同號(hào).(2)如果在

的某個(gè)空心鄰域內(nèi)2.2.4

無(wú)窮大考察函數(shù)

當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì).

任意給定的正數(shù)M,無(wú)論M多么大,

就有

我們稱當(dāng)時(shí)是無(wú)窮大量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮大.是無(wú)窮大,

是正無(wú)窮大,

定義2.4記作如果則稱當(dāng)時(shí)

不會(huì)和任意一個(gè)固定的常數(shù)無(wú)限接近,因而極限不存在.注意:當(dāng)時(shí)是無(wú)窮大,

如果且,

則稱當(dāng)時(shí)

記作是負(fù)無(wú)窮大,

如果且,

記作則稱當(dāng)時(shí)

證不妨設(shè)

因于是只要證所以故例2.9證明2.3極限的運(yùn)算法則證設(shè)且于是

定理2.6兩個(gè)無(wú)窮小之和為無(wú)窮小.即有

定理2.7

無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積為無(wú)窮小.定理2.7其實(shí)是比較法的直接推論.都是無(wú)窮小.例如,當(dāng)解練習(xí)求由有界,有由有界,有例2.10求解幾個(gè)極限不存在的例子:因因定理2.8(極限四則運(yùn)算法則)

則有

證(2)設(shè)

故由

再由定理2.6

是無(wú)窮小.

所以是無(wú)窮小.

特別地

即:常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.有,都是無(wú)窮小,且在附近有界.有利用極限的運(yùn)算法則及我們可以求解一些簡(jiǎn)單的極限問題:

例如,對(duì)任意的多項(xiàng)式函數(shù)注意:(1)和(2)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù).

例2.11

求

解由函數(shù)商的極限法則,有解消去零因子法時(shí),分子、分母的極限都是零.例2.12

求

一般地,設(shè)

則商的法則不能使用.則當(dāng)時(shí),有解時(shí),分子、分母的極限都是無(wú)窮大,例2.13

求

分子、分母同時(shí)除以

x的最高次冪.解由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得練習(xí)求

一般地,當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí),有解根式有理化

原式例2.14

求

解原式練習(xí)求

定理2.9(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的極限法則,為了求

如果

設(shè)復(fù)合函數(shù)在的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義.

再求令(稱為變量代換),先求得

例2.15

求解由有如果定理2.10(函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的關(guān)系)則

且

例2.16證明不存在.

證令則

令由定理2.10,有則

如果

存在,設(shè)

矛盾。

答案原式練習(xí)(1)

求

解原式(2)

求

(3)試確定常數(shù)

a,

使解令則即準(zhǔn)則I(夾擠定理)

則2.4

極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限

這一節(jié)介紹極限存在的兩個(gè)充分條件,稱之為極限存在準(zhǔn)則,并用它們證明兩個(gè)重要的極限.的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義,且滿足以下條件:在x0證所以是無(wú)窮小，所以由有由有如果數(shù)列及滿足以下條件:則準(zhǔn)則I’(數(shù)列夾擠定理)

證有而例2.17證明,為自然數(shù).

所以第一個(gè)重要極限:證于是作單位圓O,作單位圓的切線AC,即由夾擠定理因即再由夾擠定理第一個(gè)重要極限對(duì)于復(fù)合函數(shù)有其中的非零無(wú)窮小.解例2.18求下列極限:

練習(xí)解單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列幾何解釋:準(zhǔn)則II

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.如果數(shù)列滿足:第二個(gè)重要極限:

(1)數(shù)列形式(2)函數(shù)形式解解例2.19求

例2.20

求

2.5

函數(shù)的連續(xù)性2.5.1函數(shù)的連續(xù)性定義2.5(函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性)則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),稱為的連續(xù)點(diǎn).如果注意:函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)性包含以下三個(gè)條件:設(shè)所以,在點(diǎn)連續(xù)等價(jià)于:則顯然,

定義2.6(函數(shù)在一點(diǎn)左、右連續(xù))點(diǎn)左、右連續(xù).例2.21討論函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性.證因函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)且右連續(xù),所以在該點(diǎn)連續(xù).處右連續(xù),在在處左連續(xù),連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.定義2.7(函數(shù)在區(qū)間連續(xù))則稱它在開區(qū)間內(nèi)連續(xù);如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),則稱它在閉區(qū)間上連續(xù).通常把所有區(qū)間I

上的連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合記作

如閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全體記為

如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),證由夾擠定理,

因例2.22證明函數(shù)

內(nèi)連續(xù).同理,定理2.11(函數(shù)四則運(yùn)算的連續(xù)性)例如,故在其定義域內(nèi)連續(xù).定理2.12(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)定理2.13

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)而且連續(xù),則其反函數(shù)也單調(diào)且連續(xù).由此,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).即注:初等函數(shù)的連續(xù)性提供了極限的簡(jiǎn)單求法.例2.23求解因函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

是定義區(qū)間內(nèi)點(diǎn).

定理2.14(初等函數(shù)的連續(xù)性)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.例2.24已知

解因求由極限的保號(hào)性,在的某個(gè)空心鄰域內(nèi),有

在這個(gè)空心鄰域內(nèi)有由初等函數(shù)的連續(xù)性,有例2.25求解所以因2.5.2函數(shù)的間斷點(diǎn)的一個(gè)間斷點(diǎn).下列三種情形至少有一種會(huì)發(fā)生:

例如,函數(shù)在

點(diǎn)左右極限都存在但不相等,所以,為的間斷點(diǎn).函數(shù)在

點(diǎn)左右極限都存在且相等,但函數(shù)在點(diǎn)無(wú)定義,所以,為的間斷點(diǎn).如果和中至少一個(gè)不存在,例如,函數(shù)因所以,為函數(shù)的間斷點(diǎn).點(diǎn)是間斷點(diǎn).函數(shù)在

點(diǎn)左右極限都不存在,另外,也是函數(shù)的間斷點(diǎn).根據(jù)間斷點(diǎn)的具體情形,可以將其做如下分類:第一類間斷點(diǎn):第一類間斷點(diǎn)又可以分成兩種情形:

如果左、右極限相等,則稱其為可去間斷點(diǎn);如果左、右極限不相等,則稱為跳躍間斷點(diǎn).間斷點(diǎn).的間斷點(diǎn),如果和都存在,則稱的第一類例如,為的跳躍間斷點(diǎn);如果補(bǔ)充定義

為的可去間斷點(diǎn).在間斷是因?yàn)楹瘮?shù)在這個(gè)點(diǎn)沒有定義,

這也是把稱為可去間斷點(diǎn)的原因.那么它就在連續(xù)了.第二類間斷點(diǎn):除去第一類間斷點(diǎn)之外的間斷點(diǎn),若其中有一個(gè)為則稱為無(wú)窮間斷點(diǎn).事實(shí)上,和中至少有一個(gè)不存在,則點(diǎn)就是第二類間斷點(diǎn).

統(tǒng)稱第二類間斷點(diǎn).初等函數(shù)無(wú)定義的孤立點(diǎn)是間斷點(diǎn);分段函數(shù)的分段點(diǎn)是可能的間斷點(diǎn),需要討論.求函數(shù)的間斷點(diǎn)的方法:并判斷其間斷點(diǎn)的類型.解函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

由初等函數(shù)的連續(xù)性,函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).例2.26

討論函數(shù)的連續(xù)性,所以函數(shù)的間斷點(diǎn)是所以,x

=0為可去間斷點(diǎn).所以,x

=1為第二類無(wú)窮間斷點(diǎn).2.5.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)在區(qū)間I有定義,則稱是函數(shù)在區(qū)間I的最大值(最小值).定理2.15(最大最小值定理)設(shè)在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上有最大值最小值.有即若注意:

若區(qū)間是開區(qū)間或區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.推論2.1

(有界性定理)設(shè)在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上有界.

顯然,函數(shù)的最大、最小值分別是它的一個(gè)上界和一個(gè)下界.定理2.16(零點(diǎn)定理)

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),使得則至少有一點(diǎn)證由零點(diǎn)定理,所以,方程使得例2.27設(shè)證明方程至少有一個(gè)小于的正實(shí)根.證由零點(diǎn)定理,得證.使得例2.28證明方程至少有一個(gè)小于的正根.令練習(xí)

證明方程證由零點(diǎn)定理,一根.所以,方程使得練習(xí)設(shè)函數(shù)證由零點(diǎn)定理,使得即定理2.17

(介值定理)

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),若則至少有一點(diǎn)使得證設(shè)由零點(diǎn)定理,故推論2.2

閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.證則如果例2.29設(shè)在上連續(xù)，且證明：至少存在一點(diǎn)，使得不妨設(shè)則結(jié)論成立.如果則由介值定理,至少存在一點(diǎn),使得得證.例如,當(dāng)不可比.下面我們對(duì)無(wú)窮小趨于零的速度進(jìn)行比較.觀察各極限極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不存在,2.6

無(wú)窮小的比較定義2.8

(無(wú)窮小的階的比較)

記作記作等價(jià)無(wú)窮小;是同階無(wú)窮小;的高階無(wú)窮小;例2.30證明當(dāng)

證(1)因

(2)因(3)因例2.31常用等價(jià)無(wú)窮小:證明當(dāng)

證(1)因

(2)令故(3)

由(2)有

再由(1)有

證因定理2.18

(無(wú)窮小的等價(jià)代換)意義:利用等價(jià)無(wú)窮小代換,可以簡(jiǎn)化極限的計(jì)算.

所以故解注意:無(wú)窮小的等價(jià)代換適用于乘、除情形,代數(shù)和的情形需慎用.例2.32

用無(wú)窮小的等價(jià)代換求解解錯(cuò)例2.33求性質(zhì):一個(gè)無(wú)窮小例如,當(dāng)特別地,如果當(dāng)時(shí),是無(wú)窮小,習(xí)慣將同冪函數(shù)進(jìn)行比較.

例2.34當(dāng)時(shí),試確定下列無(wú)窮小的階數(shù):

解(1)注:

如果用表示任意一種極限,包括六種情況下函數(shù)的極限和數(shù)列極限,

則可以用代替定義2.8和定理2.18中的即無(wú)窮小的等價(jià)代換仍然成立.解分子、分母同乘以因子

則練習(xí)1.求解故2.求1.三個(gè)基本無(wú)窮小第一章習(xí)題課(極限部分)一、重點(diǎn)內(nèi)容2.

關(guān)于無(wú)窮小的比較定理且在點(diǎn)a的某個(gè)空心鄰域內(nèi)

如果成立，其中

C為常數(shù).3.設(shè)q為常數(shù),則4.

常用等價(jià)無(wú)窮小證因二、典型例題例1證明數(shù)列是無(wú)窮小.

而是無(wú)窮小,根據(jù)比較定理,數(shù)列是無(wú)窮小.例2證明證因當(dāng)時(shí),

是無(wú)窮小

.例3證明證因由比較定理,例4求極限解由夾擠定理得

例5設(shè)解令由夾擠定理則求例6設(shè)解顯然求且例7已知求常數(shù)a,b.解例8設(shè)解分子、分母同乘以因子

則求解例9設(shè)解原極限例10已知求常數(shù)a,b.故例11當(dāng)是

x的幾階無(wú)窮小?解設(shè)其為

x

的

k

階無(wú)窮小,所以,當(dāng)則證因一、證明數(shù)列是無(wú)窮小.

而是無(wú)窮小,練習(xí)題根據(jù)比較定理,數(shù)列是無(wú)窮小.二、證明證因由比較定理,三、求下列極限:

四、已知極限